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Bien démarrer sa prépa ECE

De

Cet ouvrage permet de faire la transition en mathématiques entre la Terminale et la classe préparatoire. Ainsi il aide les élèves à :
- réviser et approfondir les notions de Terminale réinvesties en classes préparatoires, avec quelques prolongements indispensables
- se familiariser avec l'esprit et le langage « prépa »
- apprendre à organiser leur travail en combinant étroitement le cours, les méthodes et les exercices.
Il comprend un cours très synthétique, des méthodes en oeuvres sur des cas concrets et des exercices, intégralement corrigés et commentés.

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Avant-propos
Cet ouvrage est conçu pour permettre aux étudiants des classes préparatoires ECE d’aborder leur première année dans les meilleures conditionsen facilitant la transition avec l’enseignement secondaire. Ainsi, l’objectif n’est ni de traiter par anticipation le programme de prépa (il y a une année entière pour cela !) ni de réviser à fond celui de Terminale ES (le baccalauréat appartient au passé !), mais plutôt deréinvestir les principaux acquis du lycée dans la forme et dans l’esprit des classes préparatoires, tout en introduisant quelques notions nouvelles fondamentales. Chaque chapitre comprend : LeCours, synthétique et illustré de nombreux exemples, qui résume tout ce qu’il faut connaître. LesExercices,classés par niveaux de difficulté, dont les solutions sont enrichies de commentaires et de conseils. Nous espérons que ce livre aidera les étudiants à démarrer avec confiance leur année et nous répondrons volontiers à toute suggestion, remarque ou critique par e-mail à l’adresse infos@editions-breal.fr.
Sommaire
L’éditeur et les auteurs.
Chapitre 1Calculs algébriques dans .......................................................
Chapitre 2Logique.........................................................................................
Chapitre 3Fonctions numériques ................................................................
Chapitre 4Calcul intégral..............................................................................
Chapitre 5Suites numériques ......................................................................
Chapitre 6Systèmes linéaires et calculs matriciels ...................................
Chapitre 7Probabilités ..................................................................................
Chapitre 8Quelques conseils de méthode..................................................
2
3
2
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9
7
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3
7
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139
157
CHAPITRE 1
Calculs algébriques dans
A. Puissances
+2 (x,y), n n yxyx. 3 3 Ainsi82car.28
Pour faire disparaître la somme ou la différence de racines carrées d’un dénomi-nateur, on peut multiplier en haut et en bas par l’expression conjuguée du dénominateur. C’est une technique souvent utilisée pour les calculs de limites.
1.Opérations sur les puissances Les formules suivantes sont valables : pour toutxetyréels lorsqueαetβsont des entiers naturels ; pour toutxetyréels non nuls lorsqueαetβsont des entiers négatifs ; pour toutxetyréels strictement positifs lorsqueαetβsont réels. 0 x =1pourx0 α β α+β xx=x α β αβ (x )=x x    xpourx0 x α α α (xy)=x y
–ième 2.Racinesndex Pour toutx réel positif ou nul et pour tout entier naturel 1 n n–ième xx, qui se lit « racinendex».
n non-nul, on pose
Cas particulier pourn= 2 1 2 Pour toutxréel positif ou nul,xxet on a les propriétés suivantes :
+2 • pour tout(x,y),xyx y
2 • pour toutxréel,xx
Remarque xyl’expression conjuguée de est (xy)(xy)xy.
x ;y
x y
2 pouyr0;(x)x
etxl’on ay
3
Chapitre 1 : Calculs algébriques dans
B. Équations polynomiales
Résoudre l’équation 2 x– 4x+ 3 = 0 : Δ’ = 1 ;x1= 1 ;x2= 3
L’étude du signe de la somme et du produit des raci-nes permet l’étude des racines de l’équation
4
1.Premier degré 2 C’est une équation (E) du typeaxb0(a,b)b – Sia0, cette équation a une solution uniquex . a
b0, l’ensemble des solutions est– Sia =0et b0, l’équation n’a pas de solution
et l’inconnue estx.
Application Résoudre et discuter suivant les valeurs demréel l’équation(E)d’inconnuex : 2 (m –1)x = m +1 1 – Sim\{1 ; – 1},(E)a une solution uniquex. m1 – Sim =1,(E)s’écrit0x =2et l’équation n’a pas de solution. – Sim =– 1 (E)s’écrit0x= 0et l’ensemble des solutions est.
2.Second degré
2*2 C’est une équation(E)du typebx + cax + = 0a,(b,c)et l’incon-nue estx.
Résolution 2On calcule le discriminantΔ=b4ac. – SiΔ< 0,(E)n’a pas de racine réelle. b – SiΔ= 0,(E)a une racine doublex . 2a – SiΔ> 0,(E)a deux racines réelles distinctes :
bx1 2a
 btx e22a
Formules simplifiées – Discriminant réduit 2 Lorsqueb =2b’, on peut calculerΔ’ =b – ac, appelé discriminant réduit. Si Δ0, les racines de l’équation sont:
b  x1 a
 b  et2x a
Somme et produit des racinesb LorsqueΔ0,on aSxx 1 2 a

c Px x et1 2a
y = a
Factorisation d’un polynôme
n y = x
a >0
5
x20x1 a <0y = a
Applications
x – a:
1 n n – sia >0,xaa; – sia =0,x=0 ; 1 n n – sia <0, .x  a (a)
2 SiP(x)a xbxcadmet deux racinesx1etx2éventuellement confon-dues, alorsP(x)a(xx)(xx). 1 2
n 3.Équation ,xa n• Sinest pair et n n – sia >0, l’équation a deux solutions :xaetx a 1 2 – sia =0, l’équation a pour unique solution 0 ;
2.Cas général SoitP(x)un polynôme de degrén> 2. SiP(x)admet pour racinex=a, alorsP(x)peut se factoriser par P(x)(xa)Q(x), oùQest un polynôme de degrén –1.
n y = x y = a
0n xa
SiΔ<0, le polynôme n’est pas factorisable.
C. Factorisation d’un polynôme
– sia <0, l’équation n’a pas de solution.
• Sinest impair, l’équation a pour solution unique :
2 si et seulement sixetysont les racines de l’équationXSXP0.
1.Cas du polynôme du second degré
2 • Soit l’équationx3x20. Cette équation admet une racine évidente x= 1, or=x x 2, doncx= 2. 1 1 2 2 2 • Soit l’équation2x5x40.a etcétant de signe contraire, on a néces-sairementΔ> 0. On aP = – 2donc les racines sont de signe contraire.
Recherche de deux nombres avec S et P connusSoitSetPdeux réels donnés. Le couple (x,y) est solution du système : xyS xyP
Déterminer deux nombres dont la somme est 6 et le pro-duit 5. Ces deux nombres, s’ils existent, sont les racines de l’équation : 2 x6x50. Les deux nombres sont 1 et 5.
;
3 2 P(2)222220, donc2est racine évidente.
6
Chapitre 1 : Calculs algébriques dans
Factoriser un polynôme Pour factoriser un polynômeP, on peut trouver une racine évidente, c’est-à-dire un réela(généralement–1;1;2ou–2) tel queP(a) =0, puis écrire le polynôme sous la formeP(x)=(x – a)Q(x), oùQ(x)est un polynôme de degré inférieur d’une unité à celui deP(x). On procède ensuite à une « identification », c’est-à-dire que l’on développe le produit et que l’on écrit que les coefficients deP(x)et du produit sont identiques.
1.Règles sur les inégalités
Attention : on ne soustrait pas des inégalités.
Multiplication • pour toutk+, .abkakb • pour toutk–, .abkakb
On inverse le sens de l’iné-galité.
Exemple
2 et .P(x)(x2)(x1)
D. Ordre dans
aaaba bbb
a1  a1 b2a 2doncsoitb0 c2b1   c1   2c 2
0ab • .0ac  bd 0cd
2 3 2 P(x)(x2)(a xbxc)a x(b2a)x(c2b)x2c
3 2 etP(x)x2xx2
3 2 P(x)x2xx2.
2 Soit(a,b).abba0 .
Addition