//img.uscri.be/pth/0f12f9ef121cea76469e6353690f1eee4730089b
Cette publication ne fait pas partie de la bibliothèque YouScribe
Elle est disponible uniquement à l'achat (la librairie de YouScribe)
Achetez pour : 11,90 € Lire un extrait

Téléchargement

Format(s) : PDF

avec DRM

Bien démarrer sa prépa ESC

De
224 pages

Cet ouvrage permet de faire la transition en mathématiques entre la Terminale et la classe préparatoire. Ainsi il aide les élèves à :
- réviser et approfondir les notions de Terminale réinvesties en classes préparatoires, avec quelques prolongements indispensables
- se familiariser avec l'esprit et le langage « prépa »
- apprendre à organiser leur travail en combinant étroitement le cours, les méthodes et les exercices.
Il comprend un cours très synthétique, des méthodes en oeuvres sur des cas concrets et des exercices, intégralement corrigés et commentés.

Voir plus Voir moins
Avantpropos
Cet ouvrage est conçu pour permettre aux étudiants des classes préparatoires ECS d’aborder leur première année dans les meilleures conditionsen facilitant la transition avec l’enseignement secondaire. Ainsi, l’objectif n’est ni de traiter par anticipation le programme de prépa (il y a une année entière pour cela !) ni de réviser à fond celui de Terminale S (le baccalauréat appartient au passé !), mais plutôt deréinvestir les principaux acquis du lycée dans la forme et dans l’esprit des classes préparatoires, tout en introduisant quelques notions nouvelles fondamentales. Chaque chapitre comprend : LeCours, synthétique et illustré de nombreux exemples, qui résume tout ce qu’il faut connaître. LesExercices,classés par niveaux de difficulté, dont les solutions sont enrichies de commentaires et de conseils. Nous espérons que ce livre aidera les étudiants à démarrer avec confiance leur année et nous répondrons volontiers à toute suggestion, remarque ou critique par e-mail à l’adresse infos@editions-breal.fr.
Sommaire
L’éditeur et les auteurs.
Chapitre 1Calculs algébriques dans .......................................................
Chapitre 2Nombres complexes ...................................................................
Chapitre 3Logique.........................................................................................
Chapitre 4Fonctions numériques ................................................................
Chapitre 5Calcul intégral..............................................................................
Chapitre 6......................................................................Suites numériques
Chapitre 7Systèmes linéaires et calculs matriciels ...................................
Chapitre 8Probabilités ..................................................................................
Chapitre 9Quelques conseils de méthode..................................................
2
3
2
4
5
9
1
3
7
1
115
137
155
173
CHAPITRE Calculs 1 algébriques dans
A. Puissances
Rappels sur les puissances fractionnaires : *2 +* (n,p),xn p n p yxxy n p n p xx
Les formules suivantes sont valables: pour toutxetyréels lorsqueαetβsont des entiers naturels ; pour toutxetyréels non nuls lorsqueαetβsont des entiers négatifs ; pour toutxetyréels strictement positifs lorsqueαetβsont réels. 0 x =1pourx0 α β α+β xx=x α β αβ (x )=x x    xpourx0 x α α α (xy)=x y
B. Équations polynomiales
1.Premier degré 2 C’est une équation (E) du typeaxb0(a,b)b – Sia0, cette équation a une solution uniquex . a b0, l’ensemble des solutions estia – S=0etb0, l’équation n’a pas de solution
et l’inconnue estx.
Application Résoudre et discuter suivant les valeurs demréel l’équation(E)d’inconnuex : 2 (m –1)x = m +1 1 – Sim\{1 ; – 1},(E)a une solution uniquex. m1 – Sim =1,(E)s’écrit0x =2et l’équation n’a pas de solution. – Sim =(E)– 1 s’écrit0x= 0et l’ensemble des solutions est.
3
Chapitre 1 : Calculs algébriques dans
Résoudre l’équation 2 x– 4x+ 3 = 0 : Δ’ = 1 ;x1= 1 ;x2= 3
L’étude du signe de la somme et du produit des raci-nes permet l’étude des racines de l’équation
Déterminer deux nombres dont la somme est 6 et le pro-duit 5. Ces deux nombres, s’ils existent, sont les racines de l’équation : 2 x6x50. Les deux nombres sont 1 et 5.
a >0
n y = x y = a
x20x1 a <0y = a
4
2.Second degré 2*2 C’est une équation(E)du typebx + cax + = 0a,(b,c)et l’incon-nue estx.
Résolution 2On calcule le discriminantΔ=b4ac. – SiΔ< 0,(E)n’a pas de racine réelle. b – SiΔ= 0,(E)a une racine doublex . 2a – SiΔ> 0,(E)a deux racines réelles distinctes : b  bx1etx 2 2a2a
Formules simplifiées – Discriminant réduit 2 Lorsqueb =2b’, on peut calculerΔ’ =bac – , appelé discriminant réduit. Si Δ0, les racines de l’équation sont: b   b  1etx2xa a
Somme et produit des racinesb Δ0 Sxx Lorsque , on a1 2 a
Applications
c Pxetx1 2a
2 • Soit l’équationx3x20. Cette équation admet une racine évidente x1= 1, orx1x2=2, doncx2= 2. 2 • Soit l’équation2x5x40.a etcétant de signe contraire, on a néces-sairementΔ> 0. On aP = – 2donc les racines sont de signe contraire.
Recherche de deux nombres avec S et P connusSoitSetPdeux réels donnés. Le couple (x,y) est solution du système : xyS xyP
2 si et seulement sixetysont les racines de l’équationXSXP0.
n 3.Équation ,xa n• Sinest pair et n n – sia, l’équation a deux solutions :1et2 a >0xa x – sia =0, l’équation a pour unique solution 0 ; – sia <0, l’équation n’a pas de solution.
;
Remarque 1 n n ase note aussia.
2 SiP(x)a xbxcadmet deux racinesx1etx2éventuellement confon-dues, alorsP(x)a(1)x x2. x x()
1.Cas du polynôme du second degré
2.Cas généralSoitP(x)un polynôme de degrén> 2. SiP(x)admet pour racinex=a, alorsP(x)peut se factoriser par P(x)(xa)Q(x), oùQest un polynôme de degré n–1.
Inverse2 Soit(a,b)*avecaetbde même signe. 1 1 • .0ab0b a 1 1 • .ab00 b a
Factorisation d’un polynôme
Soit 3 2 P(x) = 2xx+ 2x– 3. On aP(1) = 0et 2 P(x) = (x –1)(2x+x+ 3).
Attention : on ne soustrait pas des inégalités.
On inverse le sens de l’iné-galité.
Attention : on ne divise pas des inégalités, même si elles portent sur des réels stricte-ment positifs.
1 a 1 1y = – x b 0a b
1.Règles sur les inégalitésAddition aaaba bbb
D. Ordre dans
y = a
0n xa
x – a:
5
n y = x
2 Soit(a,b).abba0 .
Multiplication • pour toutk+, .abkakb • pour toutk–, .abkakb
0ab • .0acbd 0cd
n • Sinest impair, l’équation a pour solution uniquexa.
C. Factorisation d’un polynôme
Chapitre 1 : Calculs algébriques dans
–a
a
0
a
y =x
a a – h a + h L’intervalle [a – h,a + h] est un intervalle de centrea.
Sia> 0, la fonction xax + best strictement croissante sur.
b b – – a[– –;+[ a Sia< 0, la fonction xax + best strictement déroissante sur. b – – a b ]–;– –] a
x 1 y du signe de a
6
a <0,Δ>0 2 y = ax + bx + c y du signe contraire à ax2
2.Valeur absolue
asia0 Soita.amax(a,a). asia0
Propriétés aaeta0.a0 • .aba b a a • pourb0, . b b • Inégalité triangulaire : 2 (a,b), .ababab 2 +* En conséquence,(x,a)eth: xahahxah.
3.Inéquations du premier degré 2 Soit l’inéquationaxb0, où(a,b)et l’inconnue estx.b – Sia >0, l’ensemble des solutions est l’intervalle [; +[. a b – Sia <0, l’ensemble des solutions est l’intervalle ]–∞ ;]. a b0, l’ensemble des solutions est. – Sia =0etb0, l’ensemble des solutions est vide.
Application Résoudre et discuter suivant les valeurs deml’inéquation : mx +20. 2 – Sim >0, l’ensemble des solutions est [;+[. m 2 – Sim <0, l’ensemble des solutions est ]–;]. m – Sim =0, l’ensemble des solutions est.
4.Signe du trinôme du second degré
2 Soit ,f(x)a xbxcaveca0. – SiΔ<0,le trinôme est du signe deapour tout réelx. b – SiΔ=0, le trinôme est du signe deapour tout réelxdifférent de, valeur 2a pour laquelle il s’annule. – SiΔ>0, le trinôme est du signe deapourx]–,x1[]x2, +[et du signe contraire àapourx]x1,x2[(x1etx2étant les racines du trinôme, avecx1<x2).