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Équations différentielles

De
268 pages
Ce livre vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les séries de Fourier, pour les résoudre.
Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines conditions.
Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide d’exemples typiques. De plus, le manuel contient près de 250 exercices, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.
Mario Lefebvre est professeur à l’École Polytechnique de Montréal.
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Extrait de la publicationéquations différentielles
Extrait de la publicationdu même auteur

Aux Presses internationales Polytechnique, Montréal
Cours et exercices de probabilités appliquées, 2003.
Cours et exercices de statistique mathématique appliquée, 2004.
Processus stochastiques appliqués, 2005.
Chez Springer, New York
Applied Probability and Statistics, 2006.
Applied Stochastic Processes, 2007.
Extrait de la publicationMario Lefebvre
équations
différentielles
Les Presses de l’Université de Montréal
Extrait de la publicationCatalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada
Lefebvre, Mario, 1957-
Équations différentielles
Comprend des réf. bibliogr. et un index.
isbn 978-2-7606-2139-8
eisbn 978-2-7606-2548-8
1. Équations différentielles. 2. Équations différentielles - Problèmes et exercices.
I. Titre.
qa371.l43 2009 515’.35 c2008-942382-8
eDépôt légal : 4 trimestre 2008
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
© Les Presses de l’Université de Montréal, 2008
Les Presses de l’Université de Montréal reconnaissent l’aide fnancière du gouvernement du
Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition
(PADIÉ) pour leurs activités d’édition.
Les Presses de l’Université de Montréal remercient de leur soutien fnancier le Conseil des arts
du Canada et la Société de développement des entreprises culturelles du Québec (SODEC).
imprimé au canada en décembre 2008`A la m ´emoir e de mon p `er ePage laissée blanche
Extrait de la publication- os
A vant-pr op os
Ce livr e es t bas ´e sur les notes d e c ou rs que j ’ai ´ec r ite s p our le c ou rs
´ ´in t itul ´e Equations diff ´er en tiel les `a l’ Ecole P oly te c hn ique d e M on tr ´eal.
Ce c ou rs e st sur tout pri s p ar d e s ´etud ian ts d e fi n de pr e mi `ere ann ´e e
ou d ´ebu t de deux i `e me ann ´e e. On tien t p our ac q uis qu e ces ´etud ian ts
p os s `e d e n t l e s n otions ´e l ´eme n t aires de calcul d iff ´eren tiel e t d ’alg `ebre
lin ´e ai re.
´Le cour s ense ign ´e a` l’ Ecole P olytec h niq ue v is e `a f aire c ompr e n dre le
rˆol e e t la p e r tinence d e s ´equ ations diff ´e r e n t ie l le s e n g ´enie, ma ˆıtriser le s
m ´e th o des de base p erme ttan t de r ´es ou dr e les ´e qu ation s d iff ´e ren ti e ll e s,
et c on na ˆıt re quelqu e s ´e q uation s au x d ´e r iv ´ee s par tie l le s par m i les p lus
imp ortan tes e n g ´enie. Dans le cas des ´e qu ation s aux d ´eriv ´ees p arti e ll e s,
on in s i s te sur tout sur la m ´e th o de de s ´e p aration de s v ar iabl e s, de conce r t
a v e c le s s ´eries de F ou rier, p our les r ´es ou dr e .
Ce man uel com p orte s ept c h api tres . Le p rem i e r c hap itre four nit u ne
courte in tr o du c t ion au d om ai ne des ´equati ons d iff ´e r e n ti e ll e s. En s u ite,
les ´equati ons d iff ´e r e n ti e ll e s ordi nair e s d ’ord re u n et d’ord re deux son t
l’ob j e t des c h apitr e s d e u x et tr ois , res p ec ti v e me n t. Le c hapi tre troi s e st
le pl us lon g du man uel. Cette m at i `e r e constitu e le no y au dur de tou t
cours d’in tro d uction au x ´equ ations diff ´ere n tielles .
Au c hapi tre quatr e , n ous t raiton s des syst `e mes d’ ´e qu ation s di ff
´erentielles d’ordre un. C e c hapitre e st suivi par ce lui sur les transform ´ee s
de Lapl ac e. Ce s tran s f orm ´e es s on t parti c u li `ere men t ut iles p our r ´es ou dre
des ´e qu ation s d iff ´eren tielles qui fon t i n te r v e n ir d e s fon c ti ons disc on
tin u e s. Dans ce c hapi tre cin q, nous in tr o du is on s la fon c t ion delta de
Dir ac .
Le c hap itre six es t consac r ´e au x s ´eries de F our ier, d on t nou s n ous
se rv iron s p our r ´e soud re des ´equati ons aux d ´e r iv ´e es parti e ll e s. En fin ,
nou s pr ´e se n tons au c hap itre se p t le s pri ncipales ´equati ons au x d ´e r iv ´ee s
par tielles : l’ ´equati on d e la c h aleur, c elle d e Lap lace , e t l ’ ´e q uation
Extrait de la publicationd’onde . Nous pr ´e sen tons auss i bri `ev e men t la d ´eriv ation des ces
´equation s .
Pu isque c e l ivre s ’ad res se a v an t t out aux ´etud ian ts en sc ience s ap-ptanvopar
pliqu ´e es , m ˆeme si nous donnons la pre uv e de la plupart de s r ´es ultats
math ´em at iques pr ´e se n t ´e s, le s e xercic es son t pres q ue tou s des app
lications d e la th ´eorie. Le s ´etud ian ts doiv en t g ´e n ´e ral e me n t tr ouv er la
soluti on e x pli c ite d’ une ´e q uation diff ´eren tielle donn ´e e, sous c ertain e s
condi tions.A vant-pr op os
Ce livr e es t bas ´e sur les notes d e c ou rs que j ’ai ´ec r ite s p our le c ou rs
´ ´in t itul ´e Equations diff ´er en tiel les `a l’ Ecole P oly te c hn ique d e M on tr ´eal.
Ce c ou rs e st sur tout pri s p ar d e s ´etud ian ts d e fi n de pr e mi `ere ann ´e e
ou d ´ebu t de deux i `e me ann ´e e. On tien t p our ac q uis qu e ces ´etud ian ts
p os s `e d e n t l e s n otions ´e l ´eme n t aires de calcul d iff ´eren tiel e t d ’alg `ebre
lin ´e ai re.
´Le cour s ense ign ´e `a l’ Ecole P olytec h niq ue v is e `a f aire c ompr e n dre le
rˆol e e t la p e r tinence d e s ´equ ations diff ´e r e n t ie l le s e n g ´enie, ma ˆıtriser le s
m ´e th o des de base p erme ttan t de r ´es ou dr e les ´e qu ation s d iff ´e ren ti e ll e s,
et c on na ˆıt re quelqu e s ´e q uation s au x d ´e r iv ´ee s par tie l le s par m i les p lus
imp ortan tes e n g ´enie. Dans le cas des ´e qu ation s aux d ´eriv ´ees p arti e ll e s,
on in s i s te sur tout sur la m ´e th o de de s ´e p aration de s v ar iabl e s, de conce r t
a v e c le s s ´eries de F ou rier, p our les r ´es ou dr e .
Ce man uel com p orte s ept c h api tres . Le p rem i e r c hap itre four nit u ne
courte in tr o du c t ion au d om ai ne des ´equati ons d iff ´e r e n ti e ll e s. En s u ite,
les ´equati ons d iff ´e r e n ti e ll e s ordi nair e s d ’ord re u n et d’ord re deux son t
l’ob j e t des c h apitr e s d e u x et tr ois , res p ec ti v e me n t. Le c hapi tre troi s e st
le pl us lon g du man uel. Cette m at i `e r e constitu e le no y au dur de tou t
cours d’in tro d uction au x ´equ ations diff ´ere n tielles .
Au c hapi tre quatr e , n ous t raiton s des syst `e mes d’ ´e qu ation s di ff
´erentielles d’ordre un. C e c hapitre e st suivi par ce lui sur les transform ´ee s
de Lapl ac e. Ce s tran s f orm ´e es s on t parti c u li `ere men t ut iles p our r ´es ou dre
des ´e qu ation s d iff ´eren tielles qui fon t i n te r v e n ir d e s fon c ti ons disc on
ti10 équations différentielleswn u e s. Dans ce c hapi tre cin q, nous in tr o du is on s la fon c t ion delta de
Dir ac .
Le c hap itre six es t consac r ´e au x s ´eries de F our ier, d on t nou s n ous
se rv iron s p our r ´e soud re des ´equati ons aux d ´e r iv ´e es parti e ll e s. En fin ,
nou s pr ´e se n tons au c hap itre se p t le s pri ncipales ´equati ons au x d ´e r iv ´ee s
par tielles : l’ ´equati on d e la c h aleur, c elle d e Lap lace , e t l ’ ´e q uation
d’onde . Nous pr ´e sen tons auss i bri `ev e men t la d ´eriv ation des ces
´equation s .
Pu isque c e l ivre s ’ad res se a v an t t out aux ´etud ian ts en sc ience s
appliqu ´e es , m ˆeme si nous donnons la pre uv e de la plupart de s r ´es ultats
math ´em at iques pr ´e se n t ´e s, le s e xercic es son t pres q ue tou s des app
lications d e la th ´eorie. Le s ´etud ian ts doiv en t g ´e n ´e ral e me n t tr ouv er la
soluti on e x pli c ite d’ une ´e q uation diff ´eren tielle donn ´e e, sous c ertain e s
condi tions.
Nous i llu s tr ons le p lus souv en t l e s conce p ts th ´eoriq ues `a l’ aide
d’ e xemples t ypi ques . De pl us, le man uel c on ti e n t pr `e s d e 250 e x e
rcice s, d on t plu s i e u rs s on t d e s p rob l `e mes d ´ej` a prop os ´e s en e xamen. Le s
r ´ep onse s `a tous les n um ´eros pairs son t donn ´ee s e n app endic e.
Je tiens a` r e me r c i e r mes coll `egues d e P oly te c hn ique qu i on t construi t
´le cours Equations diff ´er entiel les et en on t ´e t ´e les res p onsables: An toine
Sau c i e r , Marc Lafores t et Guy J om p he. Le u r tra v ail m’a grand e men t
aid ´e dan s la r ´edaction d e m es n ote s de cour s , pu is ensuit e de ce li vre.
Fin alem en t, j’ e xp rime ma grat itud e `a M . An t oine Del B u s so, d
irec te ur g ´e n ´e ra l de s Pre ss es de l’Univ e rs it ´e de Mon tr ´e al, et `a son ´equip e
p our l e u r in t ´er ˆet e n v e r s mon tr a v ail et leur aide dan s la r ´e ali s ation de
ce livr e .
Mar io Le f e b v re
Mon tr ´eal, no v e m br e 2008
Extrait de la publication1 1
odu ionIn t r o ductio n
1 .1 Co nce pt d’ ´equat io n diff ´er ent iell e et c hamps de
di r ecti ons
Soit y = f (x , x , . . . , x ) u ne fon c tion de n v ariab les r ´e elles . O n d it qu e1 2 n
y es t une v ariable d ´e p e ndan te et que x , x , . . . , x son t des v ar iables1 2 n
ind ´ep endantes .
D ´efiniti on 1. 1.1. Un e ´equation d ans laquel le app ar a ˆıt (uniquem en t)
une variabl e d ´ep enda nte et ses d ´er iv ´ees p ar r app ort a` une ou plu sieur s
vari a bl es i n d ´ep endant es est app el ´ee ´equati on diff ´erentiel le.
Ra pp el . La d ´eri v ´ee dy /dx es t le taux de var iation i n s t antan ´e de y par
rap p or t `a x.
Ex e mple 1.1.1. Une ´e q uation diff ´ere n tielle ´e l ´eme n t aire est l’ ´equati on
y (x) = x.
Des ´e q uation s d iff ´erenti e ll e s p lus in t ´eres san tes s on t
 y (x) = y (x) et y (x) = y (x) + x.
L’ ´equat ion 
y (x) = y (x) + y (x ) dx
es t un exe mpl e d’ ´equ ation in t ´egro-diff ´eren tielle, car e ll e fait in terv eni r
`a la fois la d ´eriv ´e e de l a f onction y et son in t ´e gr ale . E n d ´e ri v an t le s
deux mem br e s de l’ ´e qu ation , on obtien t l’ ´equ ation di ff ´erentielle
 y (x) = y (x) + y (x ).
citnrt12 équations différentiellesw
12 1 In t ro duct i on
Ex e mple 1.1. 2. Selon l a d e u xi `em e loi de Newton, l’ ac c ´e l ´erati on a d’ un
ob jet de mass e m soumis `a un e for c e F es t donn ´ee par
1
a = F .
m
C’es t-` a-dir e qu e l ’ac c ´e l ´e r ation es t prop orti onnelle `a la f orce , et la
constan te d e prop ort ionn alit ´e es t 1/m. Si l’on sup p os e qu e l’ob j e t e n q ues -
tion es t en c h u te lib re, et s i l’on n e consid `ere d ’ab ord qu e la gr a vit ´e,
alor s
F = m g ,
ou` la cons t an te g (p r `e s de la surf ac e de la terre) e st e n v iron ´egale `a 9,8
2m/s , et
2d y
a = ,
2dt
ou` y [= y (t)] est la di s tan c e par c ou ru e p ar l’ ob j e t par rapp ort `a une
hau teur fix ´e e. Ainsi, on obt ie n t l ’ ´e q uation d iff ´e r e n tie l le
2d y
= g .
2dt
Si l’on tien t c omp te d e l a r ´e sistance d e l’air, l’ ´equat ion ci-des sus
devien t
2d y dy
= g − k = g − k v , (1.1)
2dt dt
ou` on a sup p os ´e qu e la r ´es i s tan c e de l ’air es t p rop ortion nelle `a la vi te ss e
v = d y /dt de l’ob jet. La c on s tan te k doit bien s urˆ ˆe tre p os itiv e . ♦
R emar qu e. On p eut r ´e ´e crir e l’ ´equ ation (1.1) com me suit:
dv
= g − k v . (1.2)
dt
La solu tion v (t) ≡ g /k de ce t te ´e qu ation diff ´erentielle es t app e l ´e e
solu tion d’ ´equi li br e, c ar elle c or re sp ond au cas ou` la vit e ss e v ne c han ge
pas a v e c le tem ps t. Notons que l’on a b ie n d(g /k )/dt = 0, puisque g /k
es t une constan te.
Mai n te n an t, consid ´eron s l’ ´equat ion di ff ´erentielle
dy (t)
= f (t, y (t)). (1.3)
dt
San s r ´e soudr e expl ic i te me n t cette ´equati on, on p e u t a v oi r un e b on ne
id ´e e d u c omp or te men t d e s es soluti ons en t ra¸ c an t (`a l’aid e d’ un logiciel
Extrait de la publicationchamps de directions 13w 
1.1 Concept d’ ´eq ua ti on di ff ´ere nt i el le et c hamps de dire c ti ons 1313
mathmath ´´emem atat ique)ique) unun champchamp dede dirdir ee cticti oo nsns:: onon ´´evev aluealue d’abd’ab ordord lala fonfon cc tiontion
f en c h ac u n des ce n taines de p oi n ts d’u ne gri lle rec tan gulai re ; e n s u ite,ite,
p our c h ac u n des p oin ts, on tr ac e u n p e tit se gmen t de d roite a y an t p ouou rr
p e n te la v ale ur de la fonction f calc u l ´ee e n ce p oin t.
ExEx ee mplemple 1.1.3.1.1.3. SSupuppp oossoonnss qqueue kk == 22 dans l’l’ ´´equationequation (1.(1. 2).2). Alors,Alors,
aavveecc gg == 9,8,9,8, onon dd oitoit rr ´´ee soud rere
dv
= 9 ,8 − 2 v .
d t
EnEn ff ait,ait, ii ll eses tt ff acac ii lele d’obd’ob tete nn irir lala solusolu tiontion gg ´´enen ´´erer aleale dede cece tttt ee ´´equequ ationation
dd iffiff ´´ee rr ee nn tt ieiell lele,, cc oo mm mmee nn oo usus lele vv ee rr roro nn ss pp ll usus lolo ii nn .. CCee pp eendnd aa nn tt ,, oo nn pp eeutut
d’ ab or d fair e t rac er un c h amp d e dir e ction s . En se s erv an t du logiciel
Mapl e , on obti e n t la fi gure 1. 1. Notons qu e la soluti on d’ ´equi lib re eses tt

88
6
v(t)v(t)
44
2
0 1 2 3 4 5
t
Fi g. 1.1 . Cham p de di rect i ons p our l’ ex empl e 1.1.2.
ce ll e p our laqu e l le v (t) ≡ 4,9 et qu e la p e n te d e s se gme n ts d e droi tete
tend eff ectiv e men t v e rs z ´ero pr `e s de ce tte v ale ur de v . ♦♦
R emar qu e. Les c h am p s d e di rec tion s son t surtou t uti le s lorsque nou ss nn ee
pp ouvouv onon ss paspas rr ´´eses ouou drdr ee expliexpli cc itit ee meme nn tt l’l’ ´´equationequation diffdiff ´´erentielle cc oror resres pp
on-ondandan tete ..
Extrait de la publication14 équations différentiellesw
14 1 In t ro duct i on
Ex e r ci ces
1-1. T rou v e r t outes les s ol ution s de l’ ´equati on diff ´ere n tielle
y (x) = x.
1-2. T rou v e r u ne s olu tion d e la for m e y (x) = −x + c, ou` c es t une
constan te `a d ´eterminer, de l’ ´equati on diff ´ere n tielle
y (x) = y (x) + c.
1-3. T ran s f orme r l ’ ´e q uation i n t ´egro-diff ´e r e n tie l le

  2y (x ) = y (x) + y (x ) dx
en une ´e qu ation d iff ´e r e n tie l le .
cx1-4. T rou v e r un e soluti on de la f orme y (x) = e ,ou` c es t u ne c on s tan te
`a d ´ete rm ine r, de l’ ´e quation diff ´e re ntie lle
 
y (x) = y (x) + y (x ).
1-5. D ´ete r m i ner la ou le s s olu tions de l ’ ´e q uation d iff ´e r e n tie l le
dy (t)
= y (t) [ y (t) − 1] .
dt
1-6. F aire trace r, par u n logiciel m at h ´em ati que, un c hamp d e d irec t ions
p our l’ ´e qu ation d iff ´e renti e ll e de l’exe r c ice p r ´ec ´eden t.
1 .2 Sol uti ons g ´en ´e r ales et sol uti ons p a r t icul i `er es des
´equat io ns di ff ´er e nt iell es
Su pp osons qu e l’ob j e t e n c h ut e lib re dan s l’exem p le 1.1. 1 es t imm ob ile
`a l’in s tan t i niti al t = 0. C’es t-` a-dir e qu e
v (0) = 0. (1.4)
Ce tt e cond ition e st ap p el ´ee c ondition ini t i ale. Un exe mple de pr obl `eme
de val eur i nitiale es t celui p our le que l on doit trouv er la s olution d’une
´equat ion d iff ´e r e n tie l le c omm e (1.2) qui s ati s f ait `a la c on diti on in itial e
(1.4).
Extrait de la publicationsolutions générales et solutions particulières 15w 
1.2 Solutions g ´en ´erale s et s olutions part i culi `eres des ´equations di ff ´erentiel le s 15
En r ´e ´ecriv an t l’ ´equ ation (1.2) com me suit:
dv
= −k d t, (1.5)
v − (g /k )
ou` on doit supp ose r que v = g /k , et en in t ´egran t le s deux m em bres de
l’ ´equ ation, on ob tien t que
ln |v − (g /k )| = −k t + c , (1.6)0
ou` c es t un e constan te d ’in t ´egrati on. Il s ’ensui t q ue0
|v − (g /k )| = exp {−k t + c } = ⇒ v − (g /k) = ± exp {−k t + c }.0 0
(1.7)
Puisque c es t un e constan te ar bitr aire, on p eut ´ec r ire q ue0
−k tv (t) = ( g /k) + c e , (1.8)
ou` c es t une constan te qui es t d ´ete rm in ´ee de fa¸con unique en utilis an t
la cond ition ini tiale (1.4). E n eff et, en p os an t t = 0 ci-des sus, on trouv e
que
0 = v (0) = (g /k) + c; ( 1.9)
c’e st-` a- d ire que
c = −g /k . (1.10)
Don c , la s ol ution du pr obl `eme de v al e u r init iale es t
−k tv (t) = ( g /k )[1 − e ]. (1.11)
R emar qu es. i) Noton s qu e l a vites se v (t) n’ e st jamais ´e gale a` g /k dans
la s olu tion (1.8) s i c = 0, d e s ort e que l’ on p ouv ait e ffec ti v e me n t a v oir
v − (g /k ) au d ´e n om i nateur dan s ( 1.5). Le cas ou` c = 0 e st la s olu tion
d’ ´e qu ili bre que n ous a v on s d ´ej` a obt e n u e et p our l aquelle dv /d t ≡ 0.
ii) La fon c tion v (t) don n ´ee e n (1.8) es t la solu tion g ´en ´er ale de l’
´equation diff ´ere n tielle (1.2). P lusieurs solu tions p articu li `er es obte n ue s p our
di v e r s es v ale u rs d e la constan te c (avec g = 9,8 et k = 2) son t pr ´es en t ´ee s
dan s l a figur e 1. 2. La s olu tion qui corr e sp on d `a c = −g /k = −4,9 es t
la c ou rb e con tin u e dan s le graph iqu e .
16 équations différentiellesw
16 1 In t ro duct i on
15
10
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t
–5
Fi g. 1.2 . Di v e rses s olutions particul i `ere s de l ’ ´e quation diff ´erentie ll e (1. 2 ).
Ex e r ci ces
1-7. Ob te n ir la s ol ution p arti c u li `ere d e l’ ´equat ion diff ´erentielle
dv (t)
= 9,8 − 2 v (t) p our t > 0
dt
qu i s atisfai t `a la condi tion in itiale v (0) = 1.
1-8. Si −v (t) = dy (t)/dt dans l’exerc ic e pr ´e c ´e de n t, et si y (0) = 10,
p our qu e l le v aleur t de t aur a- t - on y (t ) = 0?0 0
R emar qu es. i) Ici, y (t) repr ´e se n te l a hau te u r d’ un ob j e t par r app ort au
sol.
ii) On p eut r ´es ou dre l’ ´equation obtnen u e a` l ’aid e d’u n logiciel
math ´em at ique.
1 .3 Cl assi ficat ion des ´equat io ns di ff ´er e nt iell es
D ´efiniti on 1. 3.1. L orsqu e la var iable d ´ep endante y est une fonct i on
d’au moi n s deux vari ables ind ´ep endan tes et qu e l ’ ´equ a ti o n diff ´er entiel l e
im p l iqu e des d ´eriv ´ees p ar r a pp or t a` a u m oins deu x de c es variabl es
ind ´ep endan tes, l ’ ´equation en question est dite ´equ a ti o n aux d ´eriv ´ees
par t iel les. Si l’ ´equ at i on diff ´er entiel le n e fai t intervenir qu’ une ou
plu sieur s d ´eri v ´ees p ar r app ort `a u ne seul e vari able i n d ´ep endant e, il
s’agi t d’une ´equ a ti o n di ff ´er ent i el le ord i naire.
Extrait de la publicationclassification des équations différentielles 17w 
1.3 Cl assi ficat i on de s ´equations di ff ´e rentiel les 17
Ex e mple 1.3. 1. L’ ´equat ion ( 1.1) es t un e xemple d ’ ´e q uation di ff
´erentielle ord inair e , c ar elle ne c on tie n t que des d ´e r iv ´ee s or di n ai r es, soit
2 2d y /d t et d y /dt . Un exem p le imp ortan t d ’ ´e q uation aux d ´e ri v ´e es p
artielles es t l’ ´equ at i on de L ap l ac e (en trois dime n s i ons):
2 2 2∂ f ∂ f ∂ f2∇ f (x, y , z ) := + + = 0. (1.12)
2 2 2∂ x ∂ y ∂ z

Su pp osons m ai n tenan t que les v ar iables x et y d ´ep e nden t de la v
ari able t, et que x(t) et y (t) s ati s f on t aux ´equation s d iff ´erenti e ll e s
dx
= f (t) x + f (t) y , (1.13)1 2
dt
dy
= g (t) x + g (t) y . (1.14)1 2
dt
En g ´en ´eral, p our d ´eterminer e xp licitem en t x (t) et y (t), il faut r ´es oudre
les deux ´equati ons di ff ´erenti e ll e s en m ˆeme te mps. Nous a v ons al ors un
sy st `em e d’ ´equations di ff ´er ent i el les .
D ´efiniti on 1. 3.2. On app el l e ordre d’u n e ´equ a ti o n diff ´er entiel le
(ordinair e ou aux d ´eriv ´ees p a r tiel l es) l ’or dr e de la d ´eri v ´ee la pl us ´el ev ´ee
qu’ el le c on ti en t.
Ex e mple 1.3. 2. L’ ´equat ion ( 1 . 1) es t u ne ´equati on d iff ´e rent ie l le d’or dre
deux , tan dis q ue (1.2) e st u ne ´equati o n d ’ord re un . L’ ´e qu ation de
Lapl ac e est u ne ´equ ation aux d ´e r iv ´ee s p arti e ll e s d ’ord re d e u x. ♦
R emar qu e. Dan s le cas d ’un e ´e qu ation diff ´ere n tielle ord inair e d ’ord re
n, on p e u t ´ecrire que
 
  (n)g t, y , y , y , . . . , y = 0, (1.15)
(n)et on supp ose qu’il es t p oss ible d’is oler y dan s l’ ´equation , d e sorte
que  
(n)   (n−1)y = f t, y , y , y , . . . , y . (1.16)
D ´efiniti on 1. 3.3. Un e soluti on de l ’ ´equation d i ff ´er ent i el l e (1.16) da ns
un interval l e (a, b ) est u ne f o nction (c on nu e) y dont les d ´eri v ´ees d’ o r dr e
1, 2, . . . , n exis t ent dans c et interval l e et sont tel l es que c ette ´equation
est satisf aite.
Extrait de la publication18 équations différentiellesw
18 1 In t ro duct i on
D ´efiniti on 1. 3.4. Un e ´equ at i on di ff ´er ent i el le est dite li n ´eaire si el le
n ’i mpli que qu e des fonctions l in ´eair es de la va r iable d ´ep en dante et de
toutes l es d ´eriv ´ees qu’el le c o ntient.
Ex e mple 1. 3.3. L’ ´equati on (1.15) es t l in ´eaire s i et s eul e me n t si on
p e u t ´ecrire que
(n) (n−1)a (t) y + a (t) y + . . . + a (t) y = h(t).n n−1 0
Un exe mp le d’ ´e qu ation d iff ´e rent ie l le non lin ´eair e e st le suiv an t:
  22 2∂ f ∂ f
+ y = 0. (1.17)
2 2∂ x ∂ y

R emar qu e. P ar fois, en u tilisan t d e s app ro ximation s , il es t p oss i ble de
li n ´ea r iser un e ´equati on diff ´erentielle n on lin ´e ai re.
Ex e r ci ces
1-9. T rou v e r t outes les s ol ution s de la forme
2 2f (x, y , z) = a x + b y + c z
de l’ ´equati on de Lap lace :
2 2 2∂ f ∂ f ∂ f
+ + = 0,
2 2 2∂ x ∂ y ∂ z
ou` a, b et c son t des c on s tan te s `a d ´e terminer.
1-10. D ´ete r m i ner l’ord re d e s ´equ ations diff ´ere n tielles suiv an tes :
2 3(a) [y (x)] = y (x) + y (x);
 1 4(b) y (x) = + x ;y (x)
 y (x) 3(c) y (x) y (x) = e + y (x);
y (x) 1 4(d) e = + y (x).y (x)
1-11. Is ol e r y (x) dans les ´e quations diff ´erentie lle s suiv an te s:
 y (x)  2(a) y (x) e = y (x) + y (x );
2  y (x) 2(b) [y (x) + y (x)] = e + x .classification des équations différentielles 19w 
1.3 Cl assi ficat i on de s ´equations di ff ´e rentiel les 19
1-12. Dir e si les ´equati ons diff ´e r e n tielles suiv an tes s on t l in ´eaires ou non
lin ´e ai res :
2 2∂ f ∂ f2(a) + y = 0;2 2∂ x ∂ y
 
∂ f ∂ f(b) exp + y = 0;∂ x ∂ y
∂ f ∂ f(c) + x = 0;
∂ x ∂ y
2∂ f ∂ fy(d) y + e .2∂ x ∂ y
1-13. T rou v e r tou te s l e s solut ions d e l’ ´equati on d e Lapl ac e en deux
dim ensions :
2 2∂ f ∂ f
+ = 0
2 2∂ x ∂ y
2 2qu i son t d e la forme f (x, y) = a x + b x + c y , ou` a, b et c son t des
constan tes a` d ´e t e rmin e r .Page laissée blanche
Extrait de la publication2 2
´Equati onséqudiffat ´erioenn tsiell diefsf orérdinaient riees lld’e ors dr e un
or es ’or
´2.1 Equati ons `a v ar i ables s ´epar ables
Consid ´eron s l’ ´equati on d iff ´e r e n tie l le ord inair e du pr e mier or dre (ou
d’ordre un)
dy
= f (x, y ). (2.1)
dx
On p eut touj our s la r ´e ´e crire s ou s la for m e
dy
N (x, y ) + M (x, y) = 0 ⇐⇒ N (x, y ) dy + M (x, y ) dx = 0. (2.2)
dx
D ´efiniti on 2. 1.1. Si on p eut ´ecri r e que M (x, y) = M (x) et N (x, y) =
N (y ) dans l’ ´equation (2.2), de sorte qu e
M (x ) dx + N (y ) dy = 0, (2.3)
alor s on dit qu ’il s’ agit d’u n e ´equation diff ´er entiel le `a v ar i ables s
´eparab l es.
P ou r r ´es ou dre l’ ´equati on diff ´erentielle (2.3), il suffit d’i n t ´e gr e r l e s
deux mem br e s de l’ ´e qu ation :
 
M (x) dx + N (y ) dy = c, (2.4)
ou` c es t un e c on s t an te arb itr aire. On p eut au s si ´e crir e qu e
 x y
M (u) du + N (u) du = c. (2.5)
Extrait de la publication
riadrnneiuddPage laissée blanche
Extrait de la publicationCe livre a été imprimé au Québec en décembre 2008
sur du papier entièrement recyclé
sur les presses de Transcontinental.
Extrait de la publication