Histoires de sciences

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Français
279 pages
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Description

Comment fait-on de la recherche scientifique ? Comment les idées viennent-elles aux chercheurs ? Il faut croire à l'intuition, à l'analogie, au hasard, à l'accident, à la chance et même à l'erreur, facteurs qui interviennent tous dans chaque découverte scientifique. En s'appuyant sur des témoignages, ce livre cherche à faire comprendre ce qu'est la créativité et à faire saisir comment se construit la connaissance scientifique. Les circonstances et les hasards qui ont pu orienter les travaux des scientifiques sont mis en lumière dans les biographies de la seconde partie de l'ouvrage.

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Date de parution 01 mars 2006
Nombre de lectures 229
EAN13 9782336255569
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,0005€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

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Histoires de Sciences

Inventions, d´couvertes et savants

Acteurs de la Science
collection dirig´e par
Richard Moreau
Professeur honoraire ` l’Universit´ de Paris XII,
Correspondant national de l’Acad´mie d’Agriculture de France

La collectionActeurs de la Sciencecomprend des ´tudes sur les
acteurs d’une ´pop´e scientifique qui, depuis le dix-neuvi`me si`cle,
donna ` l’homme l’impression de dominer la nature, ou sur certains
de leurs pr´curseurs; des in´dits et des r´impressions de textes anciens
´crits par les savants qui firent la Science ou sur eux par leurs pairs;
des d´bats et des ´valuations sur les d´couvertes les plus marquantes
depuis le si`cle des Lumi`res et sur la pratique de la Science.

D´j` parus :

Andr´ Audoyneau,Le Docteur Albert Schweitzer et son hˆpital `
Lambar´n´. L’envers d’un mythe, 2005.
Jacques Verdrager,L’OMS et le paludisme. M´moires d’un m´decin
sp´cialiste de la malaria, 2005.
Christian Marais,L’ˆge du plastique. Pr´face de Pierre-Gilles de Gennes,
2005.
Jean Perdijon,Einstein, la relativit´ et les quanta, 2005.
Lucienne F´lix,R´flexion d’une agr´g´e de math´matiques au XX`me si`cle,
2005.
Lise Brachet,Le professeur Jean Brachet, mon p`re, 2004.
Jacques Risse,Les professions m´dicales en politique (1875-2002), 2004.
Patrice Pinet,Pasteur et la philosophie, 2004.
Jean Defrasne,HistoiredesAssocitaifsno¸narsiaces, 2004.
Pierre Schuller,La face cach´e d’une vocation, 2004.
Franc¸oisDuMesnilduBuisson,Penser la recherche. L’exemple de
physiologie animale, 2003.
Michel Cointat,Le Moyen Age moderne : sc`nes de la vie quotidienne au
XX`me si`cle, 2003.
Robert Sigalea,Johann-Martin Hongberger, m´decin et aventurier de l’Asie,
2003.
Philippe Caspar (sous la dir. de),Maladies sexuellement transmissibles.
Sexualit´ et institutions, 2003.

Suite des titres de la collection en fin de volume.

Le m´tier de chercheur

Comment fait-on de la recherche scientifique? Comment
trouve-t-on ?Comment les id´es viennent-elles aux chercheurs?
La cr´ativit´ est-elle inn´e ou peut-on la d´velopper, la cultiver?
Ce sont des questions que l’on se pose souvent, surtout lorsque l’on
n’est pas directement impliqu´ dans la recherche. Disons tout de
suite qu’il n’y a pas de r´ponse ` ces questions, tout simplement
parce qu’il n’y a pas de recette pour trouver, pour d´couvrir, pour
inventer. Si une telle recette existait, alors il n’y aurait plus
besoin (ou presque) de chercheurs; il suffirait d’appliquer bˆtement
la recette, de tourner la manivelle (ou l’ordinateur, ce qui revient
au mˆme) et d’attendre le r´sultat. Je crois plutˆt ` la bonn
etoile,`l’inspiration,`l’intuitione,`l’analogie,`lad´duction,`la
synth`se, ` l’illumination soudaine, ` la bonne f´e et ` sa baguette
magique, au hasard, ` l’accident, ` la chance, aux tˆtonnements et
mˆme ` l’erreur, facteurs qui interviennent tous, ` plus ou moins
fortes doses, dans toute d´couverte scientifique et, bien entendu,
au travail, souvent acharn´. Yehudi Menuhin (1916-1999) va mˆme
plus loin quand il ´criton ne peut atteindre la perfection que si la
recherche devient mode de vie.
Il est cependant possible, en s’appuyant sur les t´moignages
dont nous disposons, de faire comprendre ce qu’est la cr´ativit´
et comment viennent les id´es nouvelles. Il est ´galement
possible de d´crire la m´thode (ou l’absence de m´thode)
scientifique. On peut ainsi parvenir, peu ` peu, sinon ` comprendre
totalement, du moins ` saisir comment se construit la
connais∗
sancescientifique,comments’´laborecequeFranc¸oisJacob(n´
en 1920) appellela science de nuitpar opposition ` lascience
de jourqui est pr´sent´e dans les manuels et dans les articles

des revues sp´cialis´es. Comme l’a dit E. Rabier dans un discours
prononc´ ` la Sorbonne ` l’occasion de la distribution des prix
du Concours G´n´ral en 1886,c’est faire le plus grand tort aux
d´couvertes scientifiques, que de les d´tacher de leurs origines et
de ne voir en elles que la seule v´rit´. D’apr`s l’astronome et
math´maticienfran¸caisPierreSimondeLaplace(1749-1827)la
connaissance de la m´thode qui a guid´ l’homme de g´nie n’est pas
moins utile aux progr`s de la science et mˆme ` sa propre gloire
que ses d´couvertes; cette m´thode en est souvent la partie la plus

int´ressante(1646-1716) ´crivait. Et Gottfried Wilhelm Leibniz
il y a une chose plus importante que les belles d´couvertes, c’est
la connaissance de la m´thode par laquelle on les fait.
Il ne faut pas non plus s´parer ces d´couvertes des femmes et
deshommesquilesontfaites.`d´tacherlasciencedesesacteurs,
on risque de la rendre s`che, inhumaine et uniquement technique.
Il ne faut pas oublier qu’elle fait partie de l’histoire de l’humanit´
et, qu’avant d’ˆtre devenus dessavants, ces acteurs ont ´t´
enfants, adolescents, ´tudiants, qu’ils ont fond´ des familles, eu des
contacts avec des coll`gues, qu’ils ont pu ˆtre en butte ` des
difficult´s de tous ordres. On verra comment les circonstances et le
hasard ont pu, quelquefois, orienter leur carri`re, leurs recherches
et mˆme toute leur vie. La science n’est pas sortie de nulle part,
elle s’est bˆtie pas ` pas, chacun b´n´ficiant du travail de ses
pr´d´cesseurs, comme nous allons nous en rendre compte. La voie
vers la d´couverte n´cessite souvent un long d´tour et
l’ascension vers le sommet est difficile. La science progresse lentement.
Il faut laisser les connaissances s’accumuler et mˆrir. Elle est le
fruit d’une multitude de serviteurs, chacun apportant sa pierr
al’´dificecollectif.Detempsenetemps,surgitunesprithorsdu
commun qui lui fait faire un pas de g´ant.
J’ai donc essay´ de rassembler ici l’histoire d’un certain nombre
de d´couvertes et d’inventions scientifiques, dans des domaines
aussi vari´s que possible. J’esp`re qu’elles donneront une id´e des
diff´rents chemins qui peuvent mener ` des r´sultats nouveaux.
On verra, ` cette occasion, que les processus ne sont pas tr`s
diff´rents d’une science ` l’autre. Bien sˆr, les sciences de la nature
pr´sentent, dans certains cas, un cˆt´ plus exp´rimental que, par
exemple, les math´matiques, mais nous verrons que l’exp´rience y
intervient aussi. On verra que le travail du chercheur commence,
en g´n´ral, par la pr´paration pendant laquelle il examine toutes

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les faces de son probl`me. Il s’impr`gne de son sujet. Puis vient
la phase d’incubation o` l’esprit travaille seul, inconsciemment, `
partir des informations accumul´es pendant la pr´paration. C’est
une digestion et une assimilation mentale qui s’effectuent en y
incorporant toutes les connaissances acquises pr´alablement, mˆme
celles qui semblent n’avoir aucun rapport avec la question. Ensuite
surgit l’illumination qui, d’apr`s le Littr´, estla connaissance
soudaine, spontan´e, indubitable, comme celle que la vue nous donne
de la lumi`re et des formes sensibles. Cette illumination
s’accompagne, la plupart du temps, de la certitude d’avoir trouv´ la bonne
r´ponse. Cette illumination, qui peut se produire dans les
situations les plus ´tranges, semble ´chapper ` toute logique et ` toute
analyse. De nombreux t´moignages en font ´tat. Il semble bien
que la cr´ation artistique passe par des ´tapes analogues.
L’illumination ne survient pas, en g´n´ral, lors d’un effort intense pour
r´soudre le probl`me. Le cerveau est bloqu´, comme lorsque l’on
cherche un mot qui ne vient pas, et il a besoin de repos. Il faut
savoir arrˆter son travail pour prendre du recul; c’est alors que
l’illumination surgit. La derni`re phase du travail du chercheur
est la v´rification de la validit´ de l’intuition, soit par le biais
d’exp´riences, pour les sciences de la nature, soit ` l’aide d’une
d´monstration pour les math´matiques. Mais les id´es les plus
bizarres et les plus irrationnelles peuvent se montrer f´condes. La
v´rit´ est sans doute que, dans toute d´couverte, le rationnel et
l’irrationnel se cˆtoient.
La beaut´ d’une d´couverte va, en g´n´ral, de pair avec sa
simplicit´. Un mod`le en est la d´monstration de l’irrationalit´ de
la racine carr´e de 2 par les math´maticiens de la Gr`ce antique.
On a souvent parl´ de po´sie au sujet des math´matiques. Ce sont
souvent les id´es les plus simples, et donc esth´tiquement les plus
belles, qui apportent les r´sultats les plus int´ressants. Mais la
simplicit´ et l’´vidence de certaines d´couvertes ne se voient que
lorsqu’elles ont ´t´ obtenues.
On pourrait multiplier les citations de scientifiques et de
philosophes qui ont essay´ d’analyser les processus de la cr´ation.
J’ai pr´f´r´ laisser le lecteur s’en faire une id´e en racontant un
certainnombreded´couvertesetd’inventions.`cˆt´desr´cits
destin´s ` mettre en lumi`re les chemins de la d´couverte, j’ai
plac´, pour leur seul int´rˆt, d’autres aventures scientifiques. Elles
illustrent la marche de la science. On peut cependant dire que le

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d´veloppement d’un travail de recherche selon la m´thode
inductive se d´compose en trois phases : l’analyse des faits connus,
l’´laboration d’un mod`le et la v´rification du mod`le. Cette
v´rification consiste, dans les sciences de la nature, en de
nouvelles observations. C’est ce qu’il s’est produit, par exemple, pour
la d´viation des rayons lumineux lorsqu’ils passent au voisinage
d’un corps c´leste massif. Cette d´viation avait ´t´ pr´vue par la
th´orie de la relativit´ et elle fut observ´e lors de l’´clipse de 1919.
S i la v´rification n’est pas concluante, on modifie le mod`le et l’on
recommence une nouvelle v´rification. En math´matiques,
l’obtention de r´sultats nouveaux suit ´galement le mˆme sch´ma. En
effet, apr`s avoir analys´ un certain nombre de r´sultats ant´rieurs
et y avoir incorpor´ ses propres remarques, le chercheur en vient
` formuler une id´e, il pense qu’un certain r´sultat doit ˆtre vrai.
C’est son mod`le. Il essaye alors de le d´montrer. S’il n’y
parvient pas, il doit rajouter des hypoth`ses, c’est-`-dire modifier
son mod`le. Puis il reprend sa d´monstration. On proc`de ainsi
jusqu’` l’aboutissement et l’on obtient alors ce qui s’appelle un
th´or`me. L’analyse num´rique est la branche des math´matiques
o` s’´laborent et s’´tudient les m´thodes (on ditalgorithmes) qui
permettentder´soudrenum´riquement,eng´n´raldefa¸conap-
proch´e, les probl`mes que les math´matiques classiques ne savent
pas r´soudre. Cette r´solution num´rique s’effectue sur
ordinateur. La mise au point d’un nouvel algorithme suit, elle aussi, une
d´marche inductive; le mod`le que l’on ´labore est l’algorithme
et sa v´rification prend la forme d’essais num´riques effectu´s sur
ordinateur.
On peut disserter longtemps sur la diff´rence entre d´couverte
et invention. On d´couvre quelque chose qui pr´existait, comme la
structure du benz`ne ou l’´lectron, alors que l’on invente quelque
chose de nouveau, comme un objet, un instrument, une technique
ou un vaccin. Cependant la fronti`re entre invention et d´couverte
est floue; doit-on dire d’une th´orie nouvelle, comme la relativit´
qui rend compte de ph´nom`nes jusqu’alors inexpliqu´s, qu’elle
est une invention, puisqu’elle n’existait pas avant sa formulation
par Einstein, ou une d´couverte, puisque la nature ob´issait d´j` `
ses lois avant que celles-ci n’aient ´t´ explicit´es? Nous laisserons
ce d´bat de cˆt´.
De mˆme qu’il existe des branches diverses dans les sciences,
il existe des cat´gories diff´rentes de chercheurs. Il y a ceux, fort

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utiles, qui, une fois lanc´s, suivent une voie trac´e par un maıtre,
et ceux qui ouvrent des voies v´ritablement nouvelles, originales et
d’une grande port´e. Il y a ceux qui r´solvent des probl`mes pos´s
et les cr´ateurs d’id´es. Ils y a ceux qui explorent des contr´es
vierges et ceux qui partent ` la conquˆte d’un pic montagneux
rep´r´ par d’autres, ou organisent l’exp´dition. Comme l’a dit le
math´maticien Mark Kac (1914-1984) dans son autobiographie
En sciences, de mˆme que dans les autres domaines de
l’activit´ humaine, il y a deux sortes de g´nies : lesordinaireset
lesmagiciens. Un g´nie ordinaire est quelqu’un que vous et moi aurions
pu ´galer, si nous avions seulement ´t´ plusieurs fois meilleurs.
Il n’y a aucun myst`re sur la mani`re dont son esprit travaille.
Une fois que l’on a compris ce qu’il a fait on est certain que
nous, ´galement, nous en aurions ´t´ capables. C’est diff´rent avec
les magiciens... Mˆme apr`s avoir compris ce qu’ils ont fait, le
proc´d´ par lequel ils l’ont fait est compl`tement obscur.
Les g´nies ordinaires voient des analogies entre des concepts
ou des r´sultats exp´rimentaux ou th´oriques, tandis que, comme
l’a dit le math´maticien polonais Stefan Banach (1892-1945), les
g´nies voient des analogies entre analogies. Les g´nies sont dou´s
d’intuition, ils devinent l’existence d’un tr´sor ignor´. Ils savent,
sans raisonnement, sans analyse, ce qu’il leur importe de savoir et
s’orientent spontan´ment dans la direction o` il y a une d´couvert
afaire.Ilyaaussilesespritsleogiquesetlesintuitifs.Certains
scientifiques restent solitaires et n’ont que rarement des ´l`ves,
d’autres fondent une ´cole. Ces diff´rences de temp´rament entre
les chercheurs conditionnent, bien entendu, le style des travaux
de chacun. Certains sont plus attir´s par la th´orie et d’autres
parl’exp´rimentation.Certainsaimentleslargesaper¸cus,d’autres
pr´f`rent ce concentrer sur un probl`me pr´cis. Certains sont
int´ress´s par les applications de leurs d´couvertes et d’autres pas.
Il y a une mani`re personnelle de traiter la science et d’en
parler. Chaque œuvre est unique, personnelle et porte la marque de
son cr´ateur. Il y a une vari´t´ infinie de styles en science, comme
en art, en litt´rature ou en peinture. Ces diverses cat´gories de
chercheurs et de styles apportent chacune leur contribution au
d´veloppementdelascience.Mais,detoutefa¸con,ilexisteun
point commun entre tous les types de chercheurs dans toutes les
sciences : la passion.

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Il ne faut pas croire non plus que, pour effectuer des
d´couvertes scientifiques, il soit n´cessaire de poss´der une culture
encyclop´dique dans un domaine. Ce n’est pas la somme des
connaissances qui entre en jeu, mais la cr´ativit´, la facult´ d’avoir
des id´es nouvelles, d’ˆtre capable de voir et d’interpr´ter
correctement ce qu’il se passe, ce que l’on observe. L’imagination est
plus importante que la connaissance. Il faut une forme de pens´e
qui diff`re de celle qui permet d’enregistrer le savoir, sans ˆtre
capable de l’utiliser pour en faire surgir quelque chose de nouveau.
D’ailleurs, comme de nombreux chercheurs l’ont fait remarquer,
vouloir tout lire, tout connaıtre sur un sujet peut ˆtre n´faste car
cela oriente l’esprit dans une certaine voie et peut nuire `
l’originalit´ de la pens´e. Il faut ´galement savoir se poser les bonnes
questions au bon moment, distinguer ce qui est important de ce
qui l’est moins.
J’ai pr´f´r´ s´parer l’histoire des d´couvertes de la biographie
des chercheurs qui les ont faites. Cela laisse plus de libert´ au
lecteur pour aller et venir ` sa guise. J’ai donn´ les dates de
naissance et de d´c`s des personnes cit´es ; cela permet de trouver plus
facilement les pages web correspondantes.
Puissent ces quelques images de sciences et ces biographies
soulever le voile qui entoure les processus de d´couverte scientifique
et, pourquoi pas, faire naıtre des vocations!
Un ast´risque qui suit le nom d’un personnage indique que sa
biographie est donn´e dans le Chapitre 3.

Remerciements: Je tiens ` remercier ma femme Nicole pour sa
lecture attentive de ce texte, les corrections et les am´liorations
qu’elle a sugg´r´es. Je remercie Renzo Paolo Vedova qui m’
eclair´surl’histoired’AntonioMaeuccietdeGrahamBell.Lesou-
tien de Michela Redivo Zaglia ne s’est jamais d´menti et je lui
suis reconnaissant de son aide constante. Le Professeur Richard
Moreau a bien voulu accepter cet ouvrage dans la collection qu’il
dirige. Il m’a ´galement fait b´n´ficier de ses vastes connaissances,
m’a fait part de nombreuses remarques constructives et m’a dirig´
vers des sources que je ne connaissais pas. Je lui en sais gr´. Enfin,
je tiens ` remercier toute l’´quipe de l’Harmattan pour son aide
dans la pr´paration finale du texte.

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Les sentiers de la d´couverte

Je vais ici raconter l’histoire d’un certain nombre de
d´couvertes scientifiques. Mon but est de montrer que les
sentiers de la d´couverte peuvent ˆtre sinueux, tortueux, souvent
impr´visibles. La d´couverte peut ˆtre r´fl´chie, mˆrie mais elle
peut tout aussi bien ˆtre le fruit du hasard, ou passer par la
subite illumination avec son sentiment de certitude, ou encore
provenir d’erreurs. J’ai aussi ajout´ l’histoire d’un certain nombre de
d´couvertes qui, bien qu’elles n’illustrent pas mon propos, m’ont
sembl´ int´ressantes pour une raison ou une autre. On y verra
certaines histoires se croiser, montrant ainsi l’influence d’un domaine
sur un autre.
Quand les scientifiques ont eux-mˆmes racont´ leur d´couverte,
la parole leur sera laiss´e. Rien ne vaudra jamais les r´cits de
premi`re main.
Des ´l´ments biographiques concernant certains savants
´voqu´s sont donn´s directement dans les histoires qui suivent.
Cependant, une biographie, parfois succincte, des principaux
ac∗
teurs est fournie dans le Chapitre suivant. Une ast´risque` la
suite d’un nom propre l’indique.
Dans chacun des domaines de la science, j’ai essay´, dans la
mesure du possible, de pr´senter les r´cits dans l’ordre
chronologique de la d´couverte majeure. Cependant, cela n’a pas ´t´
toujours possible puisque certaines histoires s’´tendent dans le temps
et mettent en sc`ne de nombreux acteurs. Chacune des histoires
peut ˆtre lue s´par´ment.

Lesmath´matiques

La quadrature du cercle

Pour d´signer un probl`me impossible ` r´soudre, une
expression populaire ´voque la quadrature du cercle. Ce probl`me
math´matique a cependant ´t´ r´solu vers la fin du dix-neuvi`me
si`cle, comme nous allons le voir.
En quoi ce probl`me consiste-t-il? Il s’agit, en faisant usage
seulement d’une r`gle et d’un compas, de construire un carr´ ayant
la mˆme superficie qu’un cercle donn´. Il est tr`s difficile de savoir
qui s’est pos´ le premier cette question. Mais on l’attribue
cependant ` Anaxagoras de Clazomenae (c. 500 av. J.-C.-c. 428 av.
J.C.). Depuis cette ´poque ce probl`me fascine les math´maticiens
professionnels ainsi que de tr`s (et trop!) nombreux amateurs.
En effet, comme le th´or`me de Fermat, l’expos´ du probl`me est
simple et l’on peut facilement s’imaginer que sa solution l’est tout
autant, ce qui est loin d’ˆtre le cas.
Il faudrait un livre entier pour mentionner les contributions
fausses et celles qui ont pav´ la voie de la solution. Je n’en
´voquerai que quelques unes, sans entrer dans des d´tails
techniques. Bien entendu, ce probl`me est li´e ` la nature arithm´tique
du nombreπ= 3.1415926535. . .qui donne le rapport entre la
circonf´rence d’un cercle et son diam`tre.
Hippocrate (c. 460 av. J.-C.-377 av. J.-C.) semble ˆtre le
premier ` avoir cherch´ ` r´soudre le probl`me. Il s’´tait int´ress´ `
la quadrature d’autre figures g´om´triques mais il savait tr`s bien
que sa m´thode ´chouait pour le cercle. D’autres savants grecs,
moins connus, s’y attaqu`rent ´galement, mais Aristote (384 av.
J.-C.-322 av. J.-C.) n’appr´ciait pas leurs efforts.
La contribution suivante vint d’Archim`de (287 av. J.-C.-212
av. J.-C.) dans son travail sur les spirales. Il montra que la surface
d’un cercle est ´gale ` celle d’un triangle rectangle ayant ses
petits cˆt´s ´gaux respectivement au rayon et ` la circonf´rence du
cercle. Mais cela ne r´solvait pas pour autant le probl`me.
Apollonius de Perga (c. 262 av. J.-C.-c. 180 av. J.-C.) utilisa certaines
courbes pourquarrer le cercle, comme on dira plus tard, mais
on ne sait pas de quelles courbes il s’agissait. Bien qu’ils n’aient
pas ´t´ capables de le d´montrer, les math´maticiens grecs ´taient
persuad´s que le probl`me ´tait insoluble.

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Quittons maintenant le monde antique. Quelques essais furent
faits en Inde, o` les math´matiques ´taient tr`s d´velopp´es, ainsi
qu’en Chine o` un math´maticien du nom de Liu Hsing, fils du
philosophe Liu Hsio attach´ ` la maison imp´riale de la dynastie
Han, s’int´ressa ` la question aux alentours de l’an 25. On connaıt
les nombreux apports du monde arabe aux math´matiques. Le
probl`me de la quadrature du cercle n’´chappa pas ` leurs
investigations. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965-1040) essaya de
convaincre les gens que le probl`me pouvait ˆtre r´solu et il
promettait d’´crire un livre sur ce sujet. Mais, comme le livre n’est
jamais paru, on pense qu’il se rendit compte qu’il n’´tait pas arriv´
` la solution.
En 1050, Franco de Li`ge publia un trait´,De quadratura
circuli. Il examine trois m´thodes ant´rieures bas´es sur l’hypoth`se
queπest ´gal ` 25/8,49/16 ou 4. Puis il donne sa construction en
utilisant 22/7 = 3.142857. . .pourπ. Bien que l’ouvrage ait une
grande importance historique, il montre surtout combien le
raisonnement math´matique de cette ´poque ´tait loin derri`re celui
des grecs de l’antiquit´.
Bien que fausse, la m´thode de Nicolas de Cusa (1401-1464),
un cardinal allemand n´ dans le dioc`se de Tr`ves, fut l’une des
premi`res tentatives s´rieuses. Il utilisait des polygones inscrits et
circonscrits au cercle et calculait des moyennes. Regiomontanus
(1436-1476), un astronome allemand n´ ` K¨nigsberg et auteur
d’un trait´ de trigonom´trie, trouva une erreur dans son
argumentation.
De tr`s nombreux math´maticiens du seizi`me si`cle se
pench`rent sur le probl`me et L´onard de Vinci (1452-1519) eut
mˆme l’id´e de plusieurs machines pour le r´soudre.
Les d´buts du calcul diff´rentiel et int´gral augment`rent,
s’il en ´tait encore besoin, l’int´rˆt des math´maticiens. Une
d´monstration fausse fut donn´e dans un livre de Gr´goire de Saint
Vincent (1584-1667) publi´ en 1647. Puis ce fut au tour de James
Gregory (1638-1675) de s’en mˆler. Il utilisait les id´es qu’il avait
d´velopp´es sur la convergence des suites infinies pour essayer de
d´montrer l’impossibilit´ de la quadrature du cercle. Il voulait
montrer que le nombreπne pouvait ˆtre racine d’un polynˆm
acoefficientsentiers,c’est-`-direequeπ´tait un
nombretranscendant. C’est une ´tape fondamentale vers la solution puisque c’est
en utilisant cette propri´t´ que le probl`me sera r´solu plus tard.

13

De son cˆt´, Christiaan Huygens (1629-1695) croyait queπ´tait
un nombre alg´brique, racine d’un tel polynˆme.
Un second pas majeur fut franchi par Johann Heinrich
Lambert (1728-1777) qui d´montra en 1761 queπ´tait un nombre
irrationnel, ce qui veut dire qu’il ne peut pas s’exprimer sous la forme
d’une fraction. Mais cela ne r´solvait pas encore notre probl`me.
Il y avait ` cette ´poque tellement de solutions fausses qui ´taient
pr´sent´es ` l’Acad´mie des Sciences que celle-ci d´cida, en 1775,
de n’en plus examiner aucune. La trisection de l’angle et le
mouvement perp´tuel subissaient le mˆme sort. Condorcet ´crivait `
propos de cette d´cision de l’Acad´mie des Sciences
Mais le nombre de ceux qui consument une partie de leur vie `
ces vaines recherches, dont tout le fruit est de nuire ` leur fortune
et trop souvent d’alt´rer leur raison, l’a d´termin´e ` prendre une
r´solution qu’elle a cru propre ` les d´tourner de cette occupation.
Elle a craint que, si elle continuait ` examiner leurs solutions, elle
pˆt ˆtre accus´e de les encourager ` s’en occuper, et qu’elle ne se
rendˆıt en quelque sorte complice des malheurs qui leur arrivent.
La Royale Society de Londres prit la mˆme d´cision.

En 1873, Charles Hermite(1822-1901) r´ussit ` d´monter la
transcendance du nombree, base des logarithmes n´p´riens. Il
utilisait pour cela une certaine g´n´ralisation des fractions continues.
S a d´monstration ´tait laborieuse (73 pages) et certains points
´taient mˆme obscurs. Mais il savait que son approche pouvait
s’appliquer `πlmhercBoar`CillWirc´tiavejusli,taehcd`r.t
(1817-1880)
Je ne me hasarderai point ` la recherche d’une d´monstration
de la transcendance du nombreπ. Que d’autres tentent
l’entreprise ;mais croyez m’en, mon cher ami, il ne laissera pas de leur
en coˆter quelques efforts.
Au grand ´tonnement d’Hermite et de toute la
communaut´ math´matique internationale, la r´ponse vint, en 1882, du
math´maticien allemand Carl Louis Ferdinand Lindemann
(18521939). Une controverse ouverte depuis plus de deux mille ans
se terminait ainsi par une r´ponse n´gative. Et cependant, `
l’heure actuelle, certaines personnes cherchent toujours ` r´soudre
le probl`me de la quadrature du cercle!

14

Eurˆka


L’histoire du bain d’Archim`de(287 av. J.-C.-212 av. J.-C.)
est connue de tous. Plutˆt que de la raconter une fois de plus, je
pense qu’il vaut mieux laisser la parole ` Marcus Vitruvius Pollio
(connu sous le nom de Vitruve), architecte et ing´nieur romain du
premier si`cle. Dans son c´l`bre livreDe l’architecture, il ´crit
Parmi le grand nombre d’admirables d´couvertes faites par
Archim`de, il faut remarquer celle dont je vais parler, et dans laquelle
il montre une subtilit´ d’esprit presque incroyable.
Lorsque Hi´ron r´gnait ` Syracuse, ce prince, ayant
heureusement r´ussi dans toutes ses entreprises, fit vœu d’offrir, dans un
certain temple, une couronne d’or aux dieux immortels. Il convint,
avecunouvrier,d’unegrandesommed’argentpourlafac¸on,et
lui donna l’or au poids. Cet artisan livra son ouvrage le jour qu’il
avait promis au roi, qui le trouva parfaitement bien ex´cut´, et la
couronne, ayant ´t´ pes´e, parut ˆtre du poids de l’or qui avait
´t´ donn´; mais, lorsqu’on fit l’´preuve, on reconnut que l’ouvrier
avait gard´ une partie de l’or, qu’il avait remplac´ par autant
d’argent dans cette couronne.
Le roi fut tr`s offens´ de cette tromperie et, ne pouvant
trouver de moyen pour convaincre l’ouvrier du vol qu’il avait fait,
il pria Archim`de d’en chercher quelqu’un dans son esprit. Un
jour qu’Archim`de, tout pr´occup´ de cette affaire, se mettait au
bain,ils’aper¸cutparhasardqu’`mesurequ’ils’enfonc¸aitdansle
bain l’eau s’en allait par dessus les bords. Cette observation lui fit
d´couvrir la raison de ce qu’il cherchait, et, sans tarder
davantage, la joie le transporta tellement qu’il sortit du bain, et courant
tout nu ` sa maison, il se mit ` crier qu’il avait trouv´ ce qu’il
cherchait, disant en Grec : Eurˆka! Eurˆka (Je l’ai trouv´! Je l’ai
trouv´ !).On dit qu’` la suite de cette premi`re d´couverte il fit
faire deux masses de mˆme poids qu’´tait la couronne, l’une d’or
et l’autre d’argent, qu’il plongea dans un vase plein d’eau la masse
d’argent,laquelle,`mesurequ’elles’enfonc¸ait,faisaitsortirune
quantit´ d’eau ´gale au volume qu’elle avait; qu’ensuite, l’ayant
ˆt´e, il remplit de nouveau le vase en y remettant autant d’eau
qu’il en ´tait sorti, et qu’il avait pris soin de mesurer, ce qui lui
fitconnaıˆtrelaquantit´d’eauquir´pondait`lamassed’argent
qu’il avait plac´e dans le vase. Apr`s cette exp´rience, il plonge
egalementlamassed’ordansleamˆmevasepleind’eau,etapr`s

15

l’avoir retir´e, il mesura de nouveau l’eau qui ´tait sortie, et il
trouva que la masse d’or n’avait pas fait sortir autant d’eau, et
que la diff´rence en moins ´tait ´gale ` la diff´rence du volume de
la masse d’or compar´e au volume de la masse d’argent qui ´tait
de mˆme poids; ensuite, il remplit encore le vase, et cette fois,
il y plongea la couronne, qui fit sortir plus d’eau que la masse
d’or qui ´tait de mˆme poids n’en avait fait sortir, et moins que
la masse d’argent n’en avait d´plac´. Calculant enfin, d’apr`s ces
exp´riences, de combien la quantit´ d’eau que la couronne avait
fait sortir ´tait plus grande que celle que la masse d’or avait aussi
fait sortir, il connut combien il y avait d’argent mˆl´ avec l’or, et
fit voir clairement ce que l’ouvrier avait d´rob´.
Archim`de avait trouv´ comment obtenir le volume d’un objet
de forme quelconque. La physique avait ainsi fourni une m´thode
g´n´rale de r´solution de toute une classe de probl`mes que les
math´matiques ne savaient (et ne savent toujours pas) r´soudre!

Le calcul infinit´simal

La d´couverte du calcul infinit´simal doit ˆtre partag´e entre

Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm
Leibniz(16461716). Dans une lettre ` Guillaume de L’Hospital, Marquis de
Sainte-Mesme, (1661-1704), ce dernier raconte comment s’effectua
cette d´couverte
J’avais pris depuis longtemps plaisir ` chercher les sommes des
s´ries de nombres et je m’´tais servi, pour cela, des diff´rences,
d’apr`s un th´or`me assez connu, que dans une s´rie d´croissant
al’infini,lepremiertermeeste´gal`lasommedetoutesses
diff´rences. Cela m’avait donn´ ce que j’appelais le triangle
harmonique, oppos´ au triangle arithm´tique de Pascal. Car Pascal
avait montr´ comment on peut donner les sommes des nombres
figur´s, qui proviennent en cherchant les sommes et les sommes
des sommes des termes de la progression harmonique naturelle;
et moi, je trouvais que les fractions des nombres figur´s sont
les diff´rences et les diff´rences des diff´rences des termes de la
progression harmonique naturelle, et qu’ainsi on peut donner les
sommes des s´ries des fractions figur´es, comme

1 1 11
+ + ++∙ ∙ ∙
1 3 6 10

16

et
1 11 1
+ ++ +∙ ∙ ∙
1 4 10 21
Reconnaissant donc cette grande diff´rence, et voyant
comment, par le calcul de Descartes, l’ordonn´e de la courbe peut
ˆtre exprim´e, je vis que pour les quadratures ou les sommes
des ordonn´es n’est autre chose que trouver une ordonn´e dont
la diff´rence soit proportionnelle ` l’ordonn´e donn´e. Je
reconnus aussi bientˆt que trouver les tangentes n’est autre chose que
diff´rencier, et trouver les quadratures n’est autre chose que
sommer, pourvu qu’on suppose les diff´rences incomparablement
petites. Je vis aussi que n´cessairement les grandeurs diff´rentielles
se trouvent hors de la fraction, et qu’ainsi on peut donner les
tangentes sans se mettre en peine des irrationnelles et des fractions.
Et voil` l’histoire de l’origine de ma m´thode, methodus
differentialis.
Quant ` Newton, il fut guid´ par une analogie m´canique
J’appellerai fluentes, ces quantit´s que je consid`re comme
croissantes ou d´croissantes graduellement et ind´finiment; et je
les repr´senterai paru, x, yetz. Quant aux vitesses que chacune
desfluentesre¸coitdumouvementg´n´rateur(vitessesquej’ap-
pelle fluxions), je les exprimerai par les lettres surmont´es d’un
point˙u, x˙, y˙etz˙.
On voit combien les associations d’id´es peuvent ˆtre
fructueuses.

Les m´thodes de Monte-Carlo

Il est difficile de donner une d´finition pr´cise des m´thodes
de Monte-Carlo car ce terme englobe des m´thodes de calcul tr`s
diverses. Cependant, l’un de leurs points communs est
l’utilisation de ph´nom`nes al´atoires (c’est-`-dire qui d´pendent du
hasard). Comme les calculs doivent, le plus souvent, ˆtre effectu´s
sur ordinateur ce ph´nom`ne consiste, la plupart du temps, en des
nombres tir´s au hasard suivant une loi de probabilit´ donn´e.
On peut dire qu’une m´thode de Monte-Carlo est une m´thode
qui consiste ` remplacer un probl`me de nature tout ` fait
d´terministe, difficile ` r´soudre, par un probl`me plus simple

17

mais de nature al´atoire. Les param`tres du probl`me
probabiliste seront associ´s ` ceux du probl`me d´terministe. La
solutionduprobl`med´terministeseracalcul´edefa¸conapproch´e`
partir des caract´ristiques statistiques du probl`me al´atoire. La
pr´cision du r´sultat obtenu d´pendra ´videmment de la pr´cision
de l’analogie entre les deux probl`mes.
Il ne faut pas confondre m´thode de Monte-Carlo et
simulation. Par simulation on entend, en g´n´ral, la reproduction
pure et simple d’un ph´nom`ne de nature al´atoire (alors que le
ph´nom`ne est d´terministe dans une m´thode de Monte-Carlo).
Par exemple, la synchronisation des feux de circulation dans une
ville rel`ve de la simulation car les divers flots d’automobiles dans
chaque rue sont de nature al´atoire.
Les m´thodes de Monte-Carlo sont largement utilis´es pour
r´soudre de nombreux probl`mes; en math´matiques appliqu´es,
pour la r´solution des syst`mes d’´quations lin´aires, le calcul
d’int´grales d´finies ou l’int´gration d’´quations aux d´riv´es
partielles ;en physique, pour la transmission des particules et, en
particulier, l’´quation de transport des neutrons; en chimie, pour
l’´tude de la p´n´tration d’un liquide dans un milieu poreux;
en astronomie, pour calculer la dur´e de vie d’une com`te; en
´lectronique, pour la r´solution en temps des d´tecteurs Ge(Li),
etc.
Historiquement, la premi`re m´thode de Monte-Carlo semble
avoir ´t´ la m´thode de Buffon pour d´terminer la valeur deπ. On
laisse tomber au hasard une aiguille sur un r´seau de parall`les
´quidistantes ;le rapport du nombre de fois o` l’aiguille coupe
l’une des parall`les au nombre total d’exp´riences r´alis´es est
proportionnel ` la valeur deπ. Buffon consid´rait cela seulement
comme un jeu et non pas comme un probl`me math´matique.
Comme Monsieur Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir,
Buffon se servait d’une m´thode de Monte-Carlo sans en avoir
conscience. C’est pour cela qu’il ne peut ˆtre cr´dit´ de son
invention. Je raconterai cependant cette histoire.
Georges Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788) est
universellement connu pour ses travaux de naturaliste. SonHistoire
naturellecomporte trente-six volumes. Mais ce que l’on sait moins,
c’est qu’il publia aussi des travaux de math´matiques. Il traduisit
l’ouvrage d’Isaac Newton (1642-1727) sur la m´thode des fluxions

18

et l’agr´menta d’une longue pr´face. Il ´crivit trois notes dans
lesquelles il critiquait un travail d’Alexis Clairaut (1713-1765) qui
pr´conisait d’ajouter un terme correctif ` la loi d’attraction
universelle de Newton. Enfin, il publia un ouvrage de 175 pages
intitul´Des probabilit´s de la dur´e de vie.
C’est dans un autre livre,Essai d’arithm´tique morale, de 1777
qu’il propose son jeu de l’aiguille. On lance une aiguille sur un
parquet constitu´ de lames parall`les puis l’on compte le nombre
de fois o` l’aiguille est tomb´e ` cheval sur deux lames. Voici ce
qu’il ´crit
L’Analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu’`
ce jour dans la science des probabilit´s, pour d´terminer et fixer
les rapports du hasard; la G´om´trie paraissait peu propre ` un
ouvrage aussi d´li´; cependant si l’on y regarde de pr`s, il sera
faciledereconnaıˆtrequecetavantagedel’AnalysesurlaG´om´trie
est tout ` fait accidentel, et que le hasard selon qu’il est modifi´ et
conditionn´, se trouve du ressort de la G´om´trie aussi bien que
celui de l’Analyse; pour s’en assurer, il suffira de faire attention
que les jeux et les questions de conjecture ne roulent ordinairement
que sur les rapports de quantit´s discr`tes; l’esprit humain plus
familier avec les nombres qu’avec les mesures de l’´tendue les a
toujours pr´f´r´s; les jeux en sont une preuve, car leurs lois sont
une arithm´tique continuelle; pour mettre donc la G´om´trie en
possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s’agit que
d’inventer des jeux qui roulent sur l’´tendue et sur ses rapports,
ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont d´j`
trouv´s ;le jeu du franc-carreau peut nous servir d’exemple : voici
ses conditions qui sont fort simples...
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est
simplement divis´ par des joints parall`les, on jette en l’air une baguette,
et que l’un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune
des parall`les du parquet, et que l’autre au contraire parie que la
baguette croisera quelques-unes de ces parall`les; on demande le
sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec
une aiguille ` coudre ou une ´pingle sans tˆte.
On estime donc la probabilit´ pour que l’aiguille coupe
l’une des raies de ce parquet. Comme on peut le d´montrer
math´matiquement cette probabilit´ est ´gale `π. Le calcul de
la valeur deπest bien un probl`me d´terministe. On a remplac´

19

ce calcul par une analogie probabiliste dont on calcule les
propri´t´s statistiques (ici c’est une moyenne). Si l’aiguille est de
longueur 2aet si la distance entre deux lattes est de 2b, avec
bien entenduaplus petit queb, alors la probabilit´ pour que
l’aiguille coupe une raie du parquet est ´gale ` 2a/πb. Buffon
donna une d´monstration g´om´trique de ce r´sultat. Voici une

d´monstration fort simple due ` ´mile Borel(1871-1956). On
commence par remarquer que le nombre moyen d’intersections
d’une aiguille de forme quelconque avec les bords des lattes est
proportionnel ` la longueur 2ade l’aiguille et inversement
proportionnel ` la largeur 2bdes lattes. Ce nombre est donc donn´ par
une expression de la formeCa/b, o`Cest une constante qu’il faut
d´terminer. Prenons, pour cela, une aiguille circulaire de diam`tre
b. Elle a pour longueurπboiesqulecoa¸aftllletnodn,ebmoteuQle.
elle coupe toujours deux fois une raie du parquet, d’o` 2 =Cπb/b
et on en d´duit queC= 2/π. La probabilit´ est donc finalement
2a/πb.

Pour obtenir la valeur exacte deπil faudrait r´aliser une
infinit´ de lancers. Cependant, plus on effectue de lancers et plus l’on
se rapproche de la valeur deπavec une bonne probabilit´. C’est
ainsi qu’en 1850, le math´maticien et astronome suisse Johann
Rudolf Wolf (1816-1893) effectua 5000 lancers avec un rapport
a/b= 0.8 et trouva 2532 intersections, d’o`π= 3.1596. On a
calcul´ que pour obtenir une pr´cision de 1/1000 avec une probabilit´
de 95% il faudrait effectuer environ 9 millions de lancers.

Ce n’est cependant que vers la fin de la seconde guerre
mondiale que les m´thodes de Monte-Carlo se sont d´velopp´es; le
nom de Monte-Carlo d´signait ` l’origine un dossier secret de
l’op´ration Overlord (le d´barquement du 6 juin 1944 en
Normandie). Ces m´thodes furent utilis´es d’abord par le physicien
∗ ∗
EnricoFermi(1901-1954)etlesmath´maticiensStanisWlawUlam
(1909-1984), Nicholas Constantine Metropolis (1915-1999), Mark
Kac (1914-1984) et surtout John von Neumann (1903-1957) qui
cherchaient ` calculer les valeurs propres associ´es ` l’´quation de
Schr¨dinger et ` r´soudre des probl`mes de diffusion de particules.
Comme nous allons le voir, c’est Ulam qui en fut le principal
inventeur alors qu’il s´journait ` l’hˆpital o`, pour passer le temps,
il faisait des exp´riences de ce type.

20

StanislWawUlamestunmath´maticiend’originepolonaisequ
emigraaux´tats-Unisavantlaisecondeguerremondialeetpar-
ticipa ` Los Alamos ` la construction de la bombe atomique. Il
est, entre autres travaux math´matiques de grande importance, le
v´ritable inventeur des m´thodes dites de Monte-Carlo. Donnons
lui la parole
L’id´e de ce qui fut plus tard appel´ m´thode de Monte-Carlo
me vint alors que je jouais au solitaire pendant ma maladie. Je
m’aper¸cusqu’ilpouvaitˆtrebeaucoupplusutiledanslapratique
pour avoir une id´e de la probabilit´ d’un d´nouement gagnant du
jeu de solitaire de disposer les cartes, ou de faire des exp´riences
avec le proc´d´ et de noter simplement quelle est la proportion
de gains, plutˆt que d’essayer de calculer toutes les possibilit´s
de combinaisons qui sont en nombre croissant exponentiellement
tellement grand que, sauf dans des cas tr`s ´l´mentaires, il n’y a
aucunefac¸ondel’estimer...Dansunprobl`mequelquepeucom-
pliqu´, l’essai r´el est mieux qu’une ´tude de toutes les suites de
possibilit´s.
Il me vint ` l’id´e que cela pouvait ´galement ˆtre vrai dans
tous les processus mettant en jeu des ramifications d’´v´nements,
comme dans la production et la multiplication ult´rieure des
neutrons dans certaines sortes de mat´riaux contenant de l’uranium
oud’autres´l´mentsfissiles.`chaque´tapeduprocessus,ily
a de nombreuses possibilit´s d´terminantes pour le sort du
neutron... On peut ´crire les ´quations diff´rentielles ou les ´quations
int´gro-diff´rentielles pour les moyennes, mais les r´soudre ou
mˆme obtenir une id´e approximative des propri´t´s de la
solution, est une toute autre affaire.
L’id´e ´tait d’essayer des milliers de telles possibilit´s et,
` chaque ´tape, de choisir au hasard, au moyen d’un nombre
al´atoire avec une probabilit´ convenable, le sort ou le type
d’´v´nement qui viendra ` la queue, pour parler ainsi, au lieu de
consid´rer toutes les branches. Apr`s avoir ´tudi´ les histoires
possibles de seulement quelques milliers, on aura un bon ´chantillon
et une r´ponse approximative au probl`me.
C’est l`, le type mˆme d’une attitude d’exp´rimentateur chez
unmath´maticien.`partirde1943lesm´thodesdeMonte-
Carlo ont ´t´ ´tendues ` des probl`mes importants avec le
d´veloppement des ordinateurs. Les premiers utilisateurs
pensaient qu’en r´p´tant un nombre ´lev´ de fois des s´quences

21

d’op´rations tr`s courtes ils pourraient r´soudre, sans grand
etudepr´alableet`peudefraies,desprobl`mescomplexespour
lesquels les sp´cialistes manquaient. Cependant la r´alit´ n’´tait
pas si simple et les r´sultats ´taient souvent tr`s ´loign´s de la
solution par insuffisance du nombre d’´preuves al´atoires (il n’est
pas rare qu’il en faille plusieurs millions!). Ce fut ` partir de 1951
que les probl`mes de pr´cision furent ´tudi´s et que les m´thodes
de Monte-Carlo entr`rent dans l’ˆge adulte. Elles reposent sur de
solides bases de statistique et de probabilit´. Elles sont toujours
utilis´es ` l’heure actuelle.

Les quaternions

Un nombre complexecest form´ par un couple de nombres :
le premier,a, s’appelle sa partie r´elle et le second,b, est sa
par√
tie imaginaire. Le nombrecs’´critc=a+ibo`i=−1. Ces
nombres furent introduits par le math´maticien italien de Bologne,
Raffaele Bombelli (1526-1572). Le nombrecpeut se repr´senter
comme un point dans le plan avec une abscisseaet une ordonn´e
b. Un nombre complexe a ainsi une repr´sentation g´om´trique
comme ´tant le vecteur joignant l’origine au pointcdu plan dans
l’espace de dimension deux. Cette construction est due ` John
Wallis (1616-1703) en 1685, mais Wallis ne savait pas comment
repr´senter g´om´triquement les op´rations arithm´tiques sur les
nombres complexes. Pour cela, apr`s un premier essai dˆ ` Henri
K¨hn (1690-1769) en 1756, il fallut attendre les travaux du
danois Caspar Wessel (1745-1818) en 1798 et surtout ceux du suisse
Jean Robert Argand (1768-1822) qui publia en 1806 unEssai
sur une mani`re de repr´senter les quantit´s imaginaires dans
les constructions g´om´triques. Ces travaux pass`rent presque
inaper¸cus.Cen’estqu’apr`slestravauxdeCarlFriedrichGauss
(1777-1855) et surtout ceux de Augustin Louis Cauchy
(17891857) que les nombres complexes furent accept´s.

On peut cependant l´gitimer l’existence des nombres
complexes sans avoir recours ` cette interpr´tation g´om´trique. C’est

ainsi qu’en 1837, William Rowan Hamilton(1805-1865) justifia
les nombres complexes comme des couples de nombres r´els sur
lesquels il d´finit l’addition et la multiplication. Hamilton voulait
´tendre ces r´sultats aux vecteurs de l’espace ` trois dimensions et

22

cherchait un calcul alg´brique qui puisse s’interpr´ter dans cet
espace. Il faut alors consid´rer des triplets de nombres ` la place de
couples. Mais c’est en faisant l’inventaire des propri´t´s que ces
tripletsdoiventv´rifierqu’ils’aper¸coitqu’ilfaut,enfait,consid´rer,
non pas des triplets, mais des quadruplets de nombres.
Hamilton inventa les quaternions le 16 octobre 1843 et communiqua sa
d´couverte ` son ami John Thomas Graves (1806-1870) d`s le jour
suivant. En d´livrant les op´rations alg´briques de la
commutativit´, sa d´couverte marqua un grand pas dans l’´volution vers
l’alg`bre moderne.
Hamilton consid´ra, d`s le d´but, que c’´tait l` sa plus belle
d´couverte scientifique et il augura qu’il passerait le reste de sa
vie ` en explorer les cons´quences. Il est clair qu’il pensait que les
quaternions joueraient, dans l’espace ` trois dimensions, un rˆle
analogueauxnombrescomplexesdansleplan.Ilselanc¸adansces
recherches avec un grand z`le qui ne se d´mentit jamais. Quelque
temps avant sa mort survenue le 2 septembre 1865, il d´crivait
ainsi sa d´couverte dans une lettre ` son fils Archibald
En octobre 1843, ´tant r´cemment revenu d’un congr`s de la
British Association ` Cork, le d´sir de d´couvrir les lois de
multiplication des triplets me reprit avec une certaine force et une
certaine ardeur, qui s’´taient assoupies quelques ann´es, mais ´tait
alors sur le point d’ˆtre couronn´e et dont je vous ai parfois parl´.
Chaque matin, au tout d´but du mois en question, quand je
descendais pour le petit d´jeuner, votre fr`re William Edwin et vous
mˆme aviez l’habitude de me demander :alors, Papa,
pouvezvous multiplier les triplets?Ce ` quoi j’´tais toujours oblig´ de
r´pondre, avec un triste hochement de tˆte,non, je peux seulement
les additionner et les soustraire. Mais le seizi`me jour du mˆme
mois - qui tombait un lundi et un jour de conseil de la Royal
Irish Academy - j’allais ` pied pour y assister et pr´sider et votre
m`re marchait avec moi en suivant le Royal Canal vers lequel elle
avait ´t´ peut-ˆtre pouss´e; et bien qu’elle me parlˆt de temps `
autre, un courant de fond de pens´es se d´roulait cependant dans
mon esprit, qui produisit ` la fin un r´sultat dont ce n’est pas
trop de dire que j’en sentis tout de suite l’importance. Un
circuit ´lectrique sembla se former et une ´tincelle jaillit, pr´curseur
(comme je l’entrevis imm´diatement) de nombreuses ann´es `
venir de pens´es et de travail dans une direction pr´cise, par
moimˆme si elles me sont accord´es, ou tout au moins par d’autres

23

si je suis autoris´ ` vivre assez longtemps pour communiquer la
d´couverte. Je sortis sur le champ un carnet qui existe encore et
je pris une note s´ance tenante. Je ne pus pas plus r´sister `
l’impulsion - aussi anti-philosophique que cela puisse ˆtre - de graver
avec un couteau sur une pierre de Brougham Bridge, alors que
nous passions dessus, la formule fondamentale avec les symboles
i, j, k
2 2 2
i=j=k=ijk=−1,

qui contient la solution du probl`me mais naturellement, comme
toute inscription, elle a ´t´ effac´e depuis longtemps[` la place,
une plaque comm´more l’´v´nement]. Une note plus durable,
cependant, reste sur les livres du conseil de l’Acad´mie pour ce jour
(16 octobre 1843) qui rappelle le fait que j’ai alors demand´ et
obtenu l’autorisation de pr´senter un article sur les quaternions `
la premi`re r´union g´n´rale de la session; cette lecture eut bien
lieu en cons´quence le 13 novembre suivant.
En 1844, paraissait le livre de Hermann G¨nther Grassmann
(1809-1877). Il y exposait un proc´d´ de calcul sur les vecteurs
de l’espace ` un nombre quelconque de dimensions. On lui doit la
notion d’ind´pendance lin´aire et les d´finitions de dimension d’un
espace vectoriel et de sous-espace vectoriel. Son œuvre ne sera
appr´ci´e qu’apr`s sa red´couverte par Giuseppe Peano
(18581932).

Les g´om´tries non euclidiennes

En physique, de nombreuses th´ories nouvelles, comme la
relativit´ ou la th´orie des quanta, sont n´es parce qu’un
chercheur suffisamment audacieux d´cida d’un coup d’abandonner
une hypoth`se sur laquelle ´tait bˆtie la th´orie ancienne pour
une autre sur laquelle il allait construire sa nouvelle th´orie.
Le cas est plus rare en math´matiques o` toutes les
propositions sont d´montr´es les unes ` partir des autres et o` aucun
r´sultat, aucune hypoth`se ne repose sur une exp´rience
sensorielle. Tout est juste et certain. Il existe cependant des exceptions
dont l’une est la g´om´trie qui est fond´e sur un certain nombre
d’axiomes ind´montrables mais que le bon sens nous dit
d’accepter comme vrais sans d´monstration. Ainsi s’exprimait Henri

Poincar´ (1854-1912)

24

Toute conclusion suppose des pr´misses; ces pr´misses
ellesmˆmes ou bien sont ´videntes par elles-mˆmes et n’ont pas besoin
de d´monstration ou bien ne peuvent ˆtre ´tablies qu’en s’appuyant
sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi `
l’infini, toute science d´ductive, et en particulier la g´om´trie, doit
reposer sur un certain nombre d’axiomes ind´montrables. Tous les
trait´s de g´om´trie d´butent donc par l’´nonc´ de ces axiomes.
Parmi eux, le c´l`bre axiome des parall`les d’Euclide qui dit
que, par un point ext´rieur ` une droite, on ne peut faire passer
qu’une et qu’une seule droite parall`le ` celle-ci.
On a longtemps cherch´ ` d´montrer cet axiome jusqu’au jour
o` il fut prouv´ que cette d´monstration ´tait impossible. Puisque
la d´monstration est impossible, que se passe-t-il si l’on remplace
cet axiome des parall`les par sa n´gation ? C’est la question que se
pos`rent presque simultan´ment Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

en 1824, J´nos Bolyai(1802-1860) en 1825 et Nicolaı Ivanovitch
Lobatchevski (1792-1856) en 1826. Tous les trois purent obtenir, `
partir des nouveaux axiomes, un syst`me logique de propositions
sans contradictions. Ainsi, ` cˆt´ de la g´om´trie euclidienne
classique, il y avait place pour des g´om´tries diff´rentes, non
euclidiennes.
Ce fait ´tait tellement inattendu, extraordinaire et
r´volutionnaire que Gauss ne le publia jamais. Dans une
lettre adress´e en 1929 ` Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) il
´crit :J’ai peur des criaillements des ignorants.
J´nos Bolyai publia ses r´sultats en appendice d’un livre de

son p`re, Wolfgang Bolyai(1775-1856), lui-mˆme math´maticien
de renom. J´nos Bolyai ne fut jamais ni critiqu´ ni attaqu´ en
public. Les seuls affrontements qu’il eut ` subir furent ceux avec
son p`re qui n’acceptait pas ses id´es.
Il en alla tout autrement pour Lobatchevski. Ayant soumis ses
r´sultats ` l’Acad´mie des Sciences de Saint-P´tersbourg, Mikhail
Vasilevich Ostrogradski (1801-1862) d´clara :L’´tude t´moigne
de si peu de soin qu’elle reste, pour sa plus grande partie,
inintelligible...[ce travail]ne m´rite pas l’attention de messieurs les
Acad´miciens.Ostrogradski fit mˆme publier dans le journalLe
fils de la patrieun article anonyme, mais r´dig´ par un journaliste
r´actionnaire notoire, dans lequel il ´crivait :on se demande
pourquoi on ´crit et surtout on publie de telles fantasmagories. Malgr´

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l’intervention de coll`gues, Lobatchevski fut d´mis en 1846 de sa
charge de Recteur de l’Universit´ de Kazan et relev´, un an plus
tard, de son titre de Professeur et de tous les autres postes
universitaires qu’il occupait.

Il fallut attendre les ann´es 1870 et Bernhard
Riemann(18261866) pour que les g´om´tries non euclidiennes soient accept´es.
On connaıt leur rˆle primordial dans le d´veloppement de la
relativit´ g´n´rale. Riemann ´tait d’ailleurs tout ` fait conscient du lien
entre ces nouvelles g´om´tries et la physique puisqu’il ´crivait dans
son travailHypoth`ses qui servent de fondement ` la g´om´trie:
La question de la validit´ des hypoth`ses de la G´om´trie dans
l’infiniment petit est li´e avec la question du principe intime des
rapports m´triques dans l’espace... Il faut donc, ou que la r´alit´
sur laquelle est fond´ l’espace forme une vari´t´ discr`te, ou que
le fonctionnement des rapports m´triques soit cherch´ en dehors
de lui, dans les forces de liaison qui agissent en lui.
La r´ponse ` ces questions ne peut s’obtenir qu’en partant de la
conception des ph´nom`nes, v´rifi´e jusqu’ici par l’exp´rience, et
que Newton a prise pour base, et en apportant ` cette conception
les modifications successives, exig´es par les faits qu’elle ne peut
pas expliquer.
Opinion proph´tique s’il en fut!

Stieltjes et les fractions continues

Quand un sujet de math´matiques est trop difficile ` ´tudier
directement, on peut essayer de deviner sa solution par
l’observation de cas particuliers. C’est, en quelque sorte, une d´marche
exp´rimentale. La d´monstration g´n´rale vient ensuite. Tous les
math´maticiens ont un jour proc´d´ de cette mani`re, il n’y a rien
d’extraordinaire ` cela. Nous allons donner des exemples de cette

attitude. Thomas Jan Stieltjes(1856-1894) est un math´maticien
d’origine hollandaise qui fit carri`re ` Toulouse. Une grande partie
de son travail touchait aux fractions continues.
Une fraction continue est une fraction dont le d´nominateur
est un nombre plus une fraction. Le d´nominateur de cette
nouvelle fraction est lui-mˆme un nombre plus une autre fraction et
ainsi de suite jusqu’` l’infini. Les fractions continues ont une
histoire qui remonte aux premiers ˆges des math´matiques et leur

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importance dans l’histoire de cette science a ´t´ tout a fait
fondamentale. La compr´hension des d´tails math´matiques qui suivent
n’a que peu d’importance pour saisir l’attitude exp´rimentale des
math´maticiens.

Dans sa volumineuse correspondance avec Charles Hermite
(1822-1901), Stieltjes ´crit, le 3 mai 1894
′ ′′
`l’´garddesfractionsP /PetP /P, je vous avouerai que
je n’ai point la pr´tention d’´claircir un sujet aussi difficile par la
r´flexion et par l’imagination seules. Je proc´derai comme les
naturalistes, en appelant au secours l’observation. Pour le moment
donc, je fais des calculs num´riques, assez laborieux, en cherchant
toutes les fractions convergentes pour quelques cas particuliers
jusqu’`P= 200etP= 500... C’est seulement lorsque j’aurai amass´
decettefa¸conungrandmat´rielquejepourraicommencer`tra-
vailler s´rieusement sur cette mati`re. Je ne sais point du tout si
cela me m`nera ` quelque chose, mais je veux en avoir le cœur
net.
Le 13 mai, Hermite r´pond
Je me sens tout joyeux de vous savoir en si bonne
disposition que vous vous transformez en naturaliste pour observer les
ph´nom`nes du monde arithm´tique. Votre doctrine est la mienne ;
je crois que les nombres et les fonctions de l’analyse ne sont pas
le produit arbitraire de notre esprit; je pense qu’ils existent en
dehors de nous avec le mˆme caract`re de n´cessit´ que les choses de
la r´alit´ objective, et que nous les rencontrons ou les d´couvrons,
et les ´tudions, comme les physiciens, les chimistes et les
zoologistes,...
Il ne faut pas s’´tonner de cette attitude de Stieltjes. En effet,
pour stimuler l’imagination et entrevoir une r`gle g´n´rale, il est
souvent n´cessaire devoirles objets math´matiques que l’on
manipule.L’unedesfa¸consd’yarriverestdeselivrer`descalculs
num´riques.

La correspondance entre Hermite et Stieltjes est une mine de
renseignements pour qui s’int´resse ` l’histoire de la pens´e
scientifique. Voici un autre exemple emprunt´ ` une lettre de Stieltjes
du 31 mai 1894. Il montre que des analogies entre diff´rents sujets
peuvent ˆtre fructueuses
Je suis un peu fatigu´ et peu propre au travail en ce moment,
ce qui me contrarie beaucoup, parce que je suis hant´ par une

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