Imagerie par rayonnement gamma diffusé (Coll. Traitement du signal et de l'image)

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Cet ouvrage a pour objectif de présenter un nouveau concept d'imagerie basée sur l'exploitation de la diffusion Compton du rayonnement émis par une source de radioactivité au sein d'un objet à imager. La modélisation de la formation d'images débouche sur deux transformations intégrales, encore inexistantes dans la littérature mathématique : la transformation de Radon conique en imagerie par émission et la transformation de type rayons X bilocale en imagerie par transmission. Dans ces deux modalités, les images sont indexées par l'angle de diffusion au lieu de l'angle de rotation spatial habituel bien connu en tomographie. Elles forment un ensemble complet de données pour la reconstruction tridimensionnelle d'un objet et sont avantageusement acquises sur un détecteur fixe. La mise à profit du rayonnement diffusé comme agent imageur actif s'inscrit dans le courant actuel d'idées innovantes en imagerie basée sur les rayonnements.
Chapitre 1. Introduction. Généralités. Les problèmes actuels de l'imagerie par rayonnements ionisants. Les dégradations liées à la diffusion Compton. Résumé. Première partie. Nouvelle imagerie gamma par émission basée sur le rayonnement diffusé. Chapitre 2. Principe d'imagerie par émission. La diffusion Compton. Hypothèses et conditions de travail. Chapitre 3. Imagerie gamma bidimensionnelle par émission. Imagerie par rayonnement primaire. Imagerie par rayonnement diffusé. Chapitre 4. Imagerie gamma tridimensionnelle par émission. Imagerie par rayonnement primaire. Imagerie par rayonnement diffusé. Transformation de Radon conique TC1. Convolution et son inverse. La transformation TC1C et son noyau. Images d'objets simples. Inversion directe de la transformation TC1C. Conditions pratiques de fonctionnement. Simulations numériques et conclusion. Chapitre 5. Reconstruction avec corrections à l'atténuation. Introduction. Atténuation, formation d'images et reconstruction d'objets. Détermination de la densité électronique par le rayonnement diffusé. Résultats numériques sur la reconstruction de la carte d'atténuation du milieu par la densité électronique. Reconstruction d'objets avec prise en compte de l'atténuation. Conclusion. Deuxième partie. Nouvelle imagerie gamma par transmission basée sur le rayonnement diffusé. Chapitre 6. Nouvelle imagerie gamma par transmission. Introduction. Équation fondamentale de l'imagerie par transmission du rayonnement doublement diffusé. Formulation équivalente par équation intégrale non linéaire. Le problème inverse. Conclusion. Chapitre 7. Applications en contrôle non destructif. Introduction. Principe de détection des défauts dans les milieux par le rayonnement diffusé. Conclusion. Chapitre 8. Conclusions et perspectives. Annexe. Régularisation des intégrales divergentes. Bibliographie. Index.

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Ajouté le 10 janvier 2006
Nombre de lectures 55
EAN13 9782746228665
Langue Français
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Imagerie par rayonnement gamma diffusé© LAVOISIER, 2006
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr
ISBN 2-7462-1216-1
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Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.Imagerie
par rayonnement
gamma diffusé
Mai K. Nguyen
Tuong T. TruongCOLLECTION TRAITEMENT DU SIGNAL ET DE L’IMAGE
sous la direction de Henri MaîtreTable des matières
Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chapitre 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1. Imagerie par transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. par émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Les problèmes actuels de l’imagerie par rayonnements ionisants . . . . 20
1.3. Les dégradations liées à la diffusion Compton . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Vers l’exploitation du rayonnement diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1. De l’idée d’utilisation du rayonnement diffusé en général . . . . . 26
1.4.2. Nouvelle idée sur l’exploitation du diffusé . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
PREMIÈRE PARTIE. NOUVELLE IMAGERIE GAMMA PAR ÉMISSION
BASÉE SUR LE RAYONNEMENT DIFFUSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapitre 2. Principe d’imagerie par émission . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. La diffusion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2. Expression du nombre de photons diffusés . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Hypothèses et conditions de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Caractérisation de l’objet source de rayonnement . . . . . . . . . 47
2.2.2. du milieu diffusant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.3. Le système de détection de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 Imagerie gamma
2.2.4. Caractérisation des mesures obtenues sur le détecteur . . . . . . . 50
2.2.5. Restrictions sur les fonctions utilisées en imagerie gamma . . . . 51
2.2.6. Modélisation mathématique de l’acquisition des données . . . . . 52
2.2.7. Passage aux quantités bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . 54
Chapitre 3. Imagerie gamma bidimensionnelle par émission . . . . . . . . 57
3.1. Imagerie par rayonnement primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. par diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1. Formation d’images par la transformationTVC . . . . . . . . . . 60
3.2.1.1. Première forme deTVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1.2. Deuxième forme de laTVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2. La transformation intégraleTV associée à la formation d’images 66
3.2.3. Le noyau deTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
¡13.2.4. Inversion deTV et noyau deTV . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.5. Preuve de la relation d’inversion pourTV . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.6. Inversion de la convolution dansTVC . . . . . . . . . . . . . . . 72
¡13.2.7. Inv deTVC et noyau de la transformation inverseTVC 73
03.2.8. Formulation alternative deTVC : laTV . . . . . 75
3.2.9. Exemples de transformées parTVC . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.9.1. Image d’une onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.9.2. Images d’objets linéaires simples parTVC . . . . . . . . . . 78
Chapitre 4. Imagerie gamma tridimensionnelle par émission . . . . . . . . 83
4.1. Imagerie par rayonnement primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2. par diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1. Formation d’images par la transformation de Radon conique com
posée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2. Régularisation des divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.3. Deuxième forme de l’équation de formation d’images . . . . . . . 91
4.3. Transformation de Radon coniqueTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
4.3.1. Noyau de la transformationTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
4.3.2. Forme alternative deTC dans l’espace de Fourier transversal . . 961
4.3.3. Inversion deTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
4.3.3.1. Procédure analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3.2. Noyau de l’inverse deTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991
4.3.3.3. Preuve de la relation d’inversion deTC . . . . . . . . . . . 1011
4.3.4. Exemples de transformées deTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
4.3.4.1. Fonction delta concentrée sur un segment de droite . . . . . 102
4.3.4.2. F exponentielle unimodulaire . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.5. Relation avec la transformation de Radon ordinaireR . . . . . . . 104
4.4. Convolution et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5. La transformationTC C et son noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
4.5.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Table des matières 7
4.5.2. Expression du noyau deTC C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
4.5.3. Comportement du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6. Images d’objets simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.1. Source linéique perpendiculaire au détecteur . . . . . . . . . . . . 113
4.6.2. parallèle au détecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.3. Disque circulaire au . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.4. Cylindre droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7. Inversion directe de la transformationTC C . . . . . . . . . . . . . . . 1201
4.7.1. Deux formes équivalentes de l’équation fondamentale de forma
tion d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7.1.1. Première forme de l’équation de formation d’images . . . . 121
4.7.1.2. Deuxième forme de de . . . 121
4.7.2. Inversion deTC C : première méthode . . . . . . . . . . . . . . . 1221
4.7.3. Inv deTC C : deuxième . . . . . . . . . . . . . . 1241
4.7.4. Démonstration de la relation d’inversion pourTC C . . . . . . . 1271
4.8. Conditions pratiques de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.1. Influence du collimateur mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.2. de la résolution énergétique finie du système de détection 130
4.8.3. Influence d’une source primaire non mono énergétique . . . . . . 132
4.8.4. Combinaison de diverses influences . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.9. Simulations numériques et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapitre 5. Reconstruction avec corrections à l’atténuation . . . . . . . . . 141
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2. Atténuation, formation d’images et reconstruction d’objets . . . . . . . 142
5.3. Détermination de la densité électronique par le rayonnement diffusé . 145
5.3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.2. Méthode de correction à l’atténuation des données . . . . . . . . . 147
5.3.3. Mise en œuvre de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.4. Stabilité et convergence de l’algorithme ISDC . . . . . . . . . . . 151
5.3.4.1. Convergence : cas des points près de la source . . . . . . . . 153
5.3.4.2. Convergence : cas des éloignés de la source . . . . . 153
5.3.4.3. Valeur critique de l’atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.4.4. Compensation à réaliser pour une atténuation sous critique . 156
5.3.4.5. Détermination de la zone de convergence de l’algorithme
ISDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.4.6. Conclusion sur la détermination de la densité électronique . 158
5.4. Résultats numériques sur la reconstruction de la carte d’atténuation du
milieu par la densité électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4.1. Algorithme ISDC pour un milieu avec atténuation constante . . . 159
5.4.2. Caractéristiques du fantôme numérique (milieu diffusant) pour
les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.4.3. Résultats sur la reconstruction de l’atténuation du milieu . . . . . 1628 Imagerie gamma
5.5. Reconstruction d’objets avec prise en compte de l’atténuation . . . . . 164
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
DEUXIÈME PARTIE. NOUVELLE IMAGERIE GAMMA PAR TRANSMISSION
BASÉE SUR LE RAYONNEMENT DIFFUSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Chapitre 6. Nouvelle imagerie gamma par transmission . . . . . . . . . . . 179
6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2. Equation fondamentale de l’imagerie par transmission du rayonne
ment doublement diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3. Formulation équivalente par équation intégrale non linéaire . . . . . . 184
6.4. Le problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.1. Solutions particulières par «découplage» . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.2. par «linéarisation» . . . . . . . . . . . . . . 189
6.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Chapitre 7. Applications en contrôle non destructif . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2. Principe de détection des défauts dans les milieux par le rayonnement
diffusé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.1. Image d’un milieu homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2.2. d’un défaut linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2.2.1. Rayon incident situé sur le défaut . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.2.2. doublement diffusé situé sur le défaut . . . . . . . . . 199
7.2.2.3. Rayon incident doublement diffusé situé hors du défaut . . . 201
7.2.3. Image d’un défaut rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.2.4. d’un défaut arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Chapitre 8. Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Annexe. Régularisation des intégrales divergentes . . . . . . . . . . . . . . . 213
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Avant propos
Cette monographie a pour but de présenter de nouveaux concepts d’imagerie par
rayonnement gamma et d’en déduire les conséquences théoriques et technologiques.
Contrairement à une imagerie conventionnelle qui fonctionne avec un rayonnement
non diffusé, ces concepts font usage du rayonnement diffusé. Ils conduisent à des
thèmes de recherche à fort potentiel de développement et à des retombées scientifiques
et économiques.
Sur le plan théorique, la modélisation de la formation d’images due au rayonne
ment gamma diffusé en modalité d’émission nécessite l’intervention d’une nouvelle
classe de transformations intégrales : la transformation de Radon conique composée
(TRCC), encore inexistante dans la littérature mathématique. La preuve de son in
versibilité est au centre de la reconstruction tridimensionnelle d’un objet et jette les
bases d’une nouvelle imagerie gamma par émission basée sur le rayonnement diffusé.
L’étude des propriétés de cette transformation intégrale n’est qu’à son début. Cette
monographie en esquisse les fondements et suggère de multiples développements dans
diverses directions, qui sont encore en chantier.
Sur le plan technologique, ce nouveau principe d’imagerie implique le développe
ment d’une nouvelle génération de détecteurs de rayonnement gamma à haute résolu
tion énergétique, fonctionnant en position fixe mais capables d’acquérir un ensemble
complet de données pour la reconstruction tridimensionnelle. Ceci est particulière
ment intéressant dans nombre de situations dans lesquelles il est impossible de dé
placer un détecteur pour imager en trois dimensions un objet (contrôle non destructif
industriel, détection des matériaux fissiles illicites cachés, etc.) Ce développement fait
partie précisément d’un courant mondial d’obtention de hautes performances pour les
détecteurs et a été déjà amorcé dans les laboratoires internationaux de recherche avan
cée. L’instauration de cette nouvelle imagerie est donc fondamentalement réaliste à
une époque où une nouvelle génération de détecteurs arrive à un stade décisif de ma
turité, propice pour la réalisation d’une telle caméra (par exemple, les nouveaux détec
teurs CdZnTe du laboratoire LETI au CEA de Grenoble). La monographie fait état de
910 Imagerie gamma
cette faisabilité et suggère de multiples exemples d’application dans divers domaines
tels que l’imagerie médicale, l’astrophysique stellaire, le contrôle environnemental, le
contrôle non destructif industriel, etc.
En modalité d’imagerie par transmission, la modélisation de la formation d’images
par le rayonnement diffusé au second ordre fait apparaître une nouvelle transforma
tion intégrale : la transformation de type rayons X bilocale (TXB), qui généralise la
transformation rayons X bien connue en tomographie rayons X. Sur le plan technolo
gique, la TXB permet la détermination de la densité électronique de l’objet étudié, en
particulier pour la détection des défauts en contrôle non destructif industriel. Comme
l’inversion analytique de la TXB n’est pour le moment possible que dans des cas
particuliers, nous nous limitons à la présentation de certaines de ses applications les plus
courantes.
La monographie développe les aspects théoriques de ces nouveaux concepts d’ima
gerie, met en évidence leur faisabilité par des simulations numériques et préconise leur
réalisation. Les aspects expérimentaux concernant les détecteurs, scintillateurs, équi
pements mécaniques et électroniques de traitement du signal ne seront pas abordés.
Ecrite dans un style simple, elle est accessible à un large public d’étudiants, de
chercheurs et d’ingénieurs, qui sont attirés par l’éclosion des innovations en sciences de
l’imagerie et qui sont prêts à apporter une contribution dans cette aventure
passionnante.Préface
Découvert comme composante particulièrement pénétrante de la radioactivité à la
èfin du XIX siècle, le rayonnement gamma s’est imposé comme un des moyens d’in
vestigation le plus efficace pour explorer l’intérieur de la matière tout en préservant
son intégrité. Cependant, l’imagerie gamma souffre de sérieuses dégradations dont les
plus importantes sont dues à la diffusion Compton et à l’atténuation par le milieu, siège
de la propagation du rayonnement. Dans ce travail nous concentrons d’abord nos ef
forts sur le problème de la diffusion des photons. Ensuite nous traiterons la correction
à l’atténuation de la reconstruction. Jusqu’à maintenant puisque les photons diffusés
sont considérés comme bruit perturbateur, la plupart des efforts (méthodologiques et
technologiques) ont été consacrés à éliminer au mieux le rayonnement diffusé sans
atteindre des résultats très satisfaisants. Résoudre le problème de la diffusion a été et
reste un challenge technique majeur en imagerie gamma.
Dans cette monographie, un nouveau point de vue vis à vis du traitement du rayon
nement diffusé est proposé. Au lieu de le rejeter, nous montrons, par une analyse ap
propriée des interactions rayonnement matière, que le rayonnement diffusé peut être
mis à profit, non seulement pour améliorer la qualité de l’image, mais aussi pour ins
taurer un nouveau principe d’imagerie gamma.
Pour pouvoir prendre en compte les effets de la diffusion Compton sur le proces
sus d’imagerie sans être tributaire des facteurs technologiques des traceurs radiocatifs
et des détecteurs, la modélisation de la formation d’images doit être réalisée dans des
conditions idéales d’émission et de détection des rayonnements émis et diffusé. Dans
ces conditions, en imagerie par émission, le processus de formation d’images par le
rayonnement diffusé issu de la diffusion Compton au premier ordre s’exprime de façon
naturelle et élégante par une nouvelle transformation intégrale appelée transformation
de Radon conique composée (génériquement notée TRCC). Cette ap
paraît comme une généralisation de la de Radon standard, qui est le
fondement mathématique de divers systèmes tomographiques actuels. Etant donné
que le noyau de la TRCC est obtenu analytiquement et que la formule d’inversion
1112 Imagerie gamma
explicite est établie, la faisabilité de la reconstruction analytique de l’image à partir du
rayonnement diffusé est démontrée.
De plus dans cette approche, nous montrons que les images engendrées par le
rayonnement diffusé sous différents angles de diffusion (ou images paramétrées par
l’angle de diffusion), constituent un ensemble complet de données nécessaires à la
reconstruction tridimensionnelle de l’objet. Cela confirme que le rayonnement diffusé
seul suffit pour reconstruire la source de rayonnement (c’est à dire l’objet rayonnant).
Plus intéressant encore, cette série d’images indexées par l’angle de diffusion est ac
quise par un système de détection fonctionnant en position fixe. Le déplacement du dé
tecteur autour de l’objet dans les procédures habituels d’acquisition de données n’est
plus nécessaire : ici l’angle de diffusion Compton se substitue à l’angle de rotation
spatiale. C’est un avantage appréciable par rapport aux procédures tomographiques
conventionnelles.
De même, nous montrons aussi qu’en imagerie par transmission, la prise en compte
du rayonnement au deuxième ordre de la diffusion Compton conduit à un autre nou
veau résultat théorique. La formation d’image par le rayonnement doublement dif
fusé est modélisée par une nouvelle transformation intégrale appelée transformation
rayons X bilocale (TXB) qui, elle aussi, peut être considérée comme une
transformation rayons X généralisée. La solution générale ne nous est pas connue à l’heure
actuelle, cependant l’existence de quelques solutions particulières permet d’obtenir la
densité électronique de la matière à partir du rayonnement doublement diffusé. Ceci
s’avère intéressant pour le contrôle non destructif, puisque l’objet recherché peut être
caractérisé par sa densité électronique, liée à au coefficient d’atténuation mesuré di
rectement en radiographie par rayons X. Comme dans le cas de la diffusion simple,
les images obtenues par le rayonnement doublement diffusé sous différents angles
peuvent être enregistrés par un détecteur en position fixe. Ceci ouvre la voie vers
une nouvelle procédure en contrôle industriel, particulièrement avantageuse lorsque
le nombre de mesures (ou de vues) est sévèrement limité par des contraintes opéra
tionnelles.
Ces nouveaux résultats théoriques et ces avantages techniques pressentis permettent
d’affirmer qu’il est possible de faire bon usage du rayonnement diffusé, à condition
que leur exploitation soit judicieuse. L’intérêt de la prise en compte du diffusé est
multiple : la modélisation du devenir des rayonnements diffusés conduit non seule
ment à de nouveaux résultats d’ordre théorique (mathématiques, méthodologique)
mais aussi à des conséquences technologiques intéressantes escomptées (imageries
plus performantes, nouveaux concepts de détecteur). Quant aux domaines d’applica
tion, le rayonnement gamma fait partie des rayonnements ionisants inévitablement
présents dans une grande diversité de systèmes d’imagerie et de tomographie. Ces
systèmes trouvent application dans une grande variété de domaines tels que l’image
rie médicale, le contrôle non destructif industriel (contrôles de qualité des produits, de
sécurité, des procédés, aide à la conception, etc.). Il est envisageable que l’exploitationPréface 13
du diffusé puisse mener à d’autres applications en dehors des sciences de l’imagerie
proprement dites.
Après un chapitre d’introduction, dans lequel l’idée d’exploitation du rayonnement
diffusé est introduite et mise en valeur par une revue exhaustive des idées semblables
et parallèles dans divers domaines de recherche et d’application actuels, le corps de
l’ouvrage est divisé en deux parties. La première traite de l’imagerie par émission ex
ploitant le rayonnement diffusé au premier ordre sur quatre chapitres. Pour bien fixer
la cadre d’étude, on consacre le chapitre 2 aux hypothèses et conditions de travail. Le
chapitre 3 sur l’imagerie bidimensionnelle initie le lecteur aux différents aspects de
l’exploitation du rayonnement diffusé en deux dimensions pour la formation d’images
et la reconstruction de l’objet dans un cadre mathématique abordable. L’imagerie tridi
mensionnelle est traitée dans le chapitre 4, qui est le chapitre principal de cette mono
graphie. Une nouvelle exploitation du rayonnement diffusé débouche sur une méthode
itérative de détermination de la carte d’atténuation et de reconstruction d’objet en pré
sence de cette atténuation et fait l’objet du chapitre 5. La deuxième partie, organisée
en deux chapitres est dédiée à l’imagerie par transmission basée sur le rayonnement
diffusé au second ordre. Le chapitre 6 présente le nouveau principe d’imagerie par
transmission avec sa formulation mathématique. Les applications de cette nouvelle
imagerie par transmission en contrôle non destructif industriel sont traitées dans le
chapitre 7. Conclusions et perspectives apparaissent dans le chapitre 8. Une annexe
mathématique est mise à la disposition du lecteur intéressé par les questions de «régu
larisation» des grandeurs intégrales.
Les auteurs remercient vivement M. Pierre Grangeat, directeur de recherche au
Laboratoire d’Electronique et de Technologie de l’Information (CEA Grenoble), pour
avoir parcouru le manuscrit et offert des critiques pertinentes et constructives. Notations
Grandeurs physiques
E énergie des photons primaires émis0
E énergie des diffusés par effet Compton
c vitesse de la lumière dans le vide
† rapport de l’énergie des photons primaires sur
2l’énergie au repos de l’électron :E =m c0 0
m masse au repos de0
‚ longueur d’onde du photon
”, fréquence du photon
r rayon «classique» de l’électrone
� section efficace totale de l’effet Compton, de l’absorption photoelectriqueC;P
! angle de diffusion
t = tan!
¿ = cot!
Z nombre atomique effectif d’un constituant du milieu
Transformations intégrales
T transformation générale
TV de Radon conique bidimensionnelle
TVC de composée bidimensionnelle
TC transformation de Radon conique tridimensionnelle1
TC C de composée tridimensionnelle1
TC de Radon conique1
avec densité électronique non constante
TC C transformation de Radon conique composée tridimensionnelle1
avec densité non constante
TXB rayonsX bilocale
1516 Imagerie gamma
Densités volumiques, surfaciques, etc.
Y(s) fonction échelon unité d’ Heaviside
a(r;E) coefficient linéaire d’ attenuation
f(V;E) densité volumique d’activité de l’objet ou
nombre de photons émis par unité de volume objet et par unité de temps
g(D;t) densité de flux reçue sur le plan de détection
n (r) électronique du milieu (objet) :e
nombre d’ électrons par unité de volume
n (r) densité volumique atomique du milieu (objet)a
n =Zna e
P(t) probabilité de Klein Nishina dans la diffusion Compton
Réponses impulsionnelles
PSF (x ;y ;tjx;y;z) réponse impulsionnelle de la transformationRCRC D D
PSF (x ;!jx;y) de laVV D
SPSF (D;tjV) réponse de laC CC C 11
SPSF (D;tjV) impulsionnelle de la transformationC CC C 11
PSF (zj‡) réponse de laCONVCONV
¡10PSF ¡1(x;yjx ;t) de laV0 DVChapitre 1
Introduction
Ce chapitre a pour but de rendre compte de la situation actuelle de l’imagerie
par rayonnements ionisants, en particulier par rayonnement gamma. Les avantages et
problèmes associés seront présentés et analysés. Parmi les facteurs de dégradation de
l’imagerie gamma, la diffusion Compton et l’atténuation dans les milieux sont les plus
importantes. Cette monographie offre une solution élégante et innovante au premier
problème et esquisse une voie temporaire à la résolution du second, en attendant de
trouver une alternative réelle au problème combiné. Dans notre approche, l’idée ori
ginale est de considérer les effets de la diffusion Compton non pas comme facteur
nuisible de dégradation de l’imagerie gamma mais comme source d’information à
exploiter pour instaurer de nouvelles imageries gamma par le rayonnement diffusé.
1.1. Généralités
Les images jouent un rôle privilégié dans notre perception et conception de l’uni
vers et des objets qui nous entourent. Tout système d’imagerie, digne de ce nom, est
conçu pour nous fournir la représentation fidèle d’un objet, et pour nous renseigner
sur ses caractères extérieurs (forme, couleurs, position) ainsi que sur ses propriétés
intérieures (structure cachée, composition, état statique ou dynamique). Les systèmes
d’imagerie par rayonnements explorent la matière à l’aide des rayonnements acous
tiques, électromagnétiques ou photoniques. Ils réalisent la cartographie d’un ou de
plusieurs paramètres physiques en tout point de l’espace de l’objet à partir des me
sures sur les rayonnements émis, transmis ou réfléchis par cet objet. Les rayonne
ments visibles étant réfléchis par la plupart des matières ne nous renseignent que sur
les propriétés de la surface de l’objet. Pour dépasser cette limite et parvenir à explorer18 Imagerie gamma
l’intérieur de l’objet sans le modifier ou sans le détruire il faut faire appel aux rayon
nements pénétrants comme les rayons X ou gamma. Depuis leurs découvertes respec
tives en 1895 et en 1896, ces rayons permettent d’explorer efficacement divers objets
(par exemple corps humain ou pièce industrielle) à travers deux modalités d’imagerie :
par transmission ou par émission. Ces modalités sont couramment utilisées dans les
systèmes tomographiques actuels.
Avant de présenter nos travaux, nous rappelons brièvrement les principes de l’ima
gerie par transmission et par émission, ainsi que les grandeurs mesurées et les gran
deurs caractérisant l’objet recherché dans chacune de ces modalités d’imagerie.
1.1.1. Imagerie par transmission
Source
Objet
Plan de détection
Trajectoire de la source
Figure 1.1. Principe d’imagerie par transmission
D’origine plus ancienne, l’imagerie par transmission repose sur le phénomène
d’atténuation sélective du rayonnement dans le matériau qu’il traverse. Les rayons
incidents transmis par la matière irradiée sont atténués et mesurés par un détecteur
placé à l’extérieur de l’objet. Chaque mesure représente la somme des atténuations le
long d’une trajectoire rectiligne depuis le point d’émission jusqu’au point de détection
(voir figure 1.1). Elle est mathématiquement le résultat d’une projection intégrale de
l’atténuation du rayonnement le long d’une droite partant d’un point source et aboutis
sant à un point de détection. Elle fournit donc une information intégrale, à savoir que
pour chaque direction, les contributions de tous les points traversés vont être cumulées
sur un point de détection.
Cette transformation intégrale reliant la grandeur recherchée (l’atténuation dans
le milieu) aux mesures (les projections intégrales) est connue sous le nom de «trans
formation rayons X» [GRA 02a](en anglais «X ray transform»). En tomographie, sonIntroduction 19
inversion est étroitement liée à celle de la transformation de Radon [RAD 17]. Intro
duite en 1917 par J. Radon, la transformée de Radon d’une fonction est définie comme
son intégrale sur des variétés linéaires de l’espace. Son inverse prend des formes diffé
rentes selon la parité de la dimension de Elle trouve son application dans une
grande variété de domaines scientifiques et a joué un rôle majeur dans des découvertes
couronnées par trois prix Nobel. Le prix Nobel de Médecine, décerné à Hounsfield et
Cormack en 1979 les a récompensés pour avoir montré qu’un ensemble d’acquisi
tions suivant plusieurs incidences, régulièrement réparties angulairement, permet de
reconstruire l’image d’une section transverse d’un objet à partir de ces projections
radiographiques [COR 63].
1.1.2. Imagerie par émission
Plan de détection mobile
Objet rayonnant
Figure 1.2. Principe d’imagerie par émission
Dans l’imagerie par émission, le rayonnement gamma émis par une source (ou
un objet converti en source radioactive après ingestion de produit radioactif, comme
99c’est le cas du corps humain après absorption de technétium Tc) est enregistré sur
un détecteur collimaté (figure 1.2). De ce fait, seuls les rayons arrivant parallèlement
à l’axe du collimateur sont détectés. Chaque mesure représente la somme, pondérée
par un facteur représentant l’atténuation le long du chemin parcouru, des activités
des sites le long de la droite perpendiculaire au plan du détecteur joignant le point
d’émission au point de détection (voir figure 1.2). Il s’agit d’une projection intégrale
atténuée qui est connue sous le nom de «transformation rayons X atténuée». Dans20 Imagerie gamma
cette technique d’imagerie, la grandeur recherchée est la densité volumique de radio
isotope de l’objet étudié. La prise en compte du facteur d’atténuation implique sa
connaissance a priori, obtenue par des mesures complémentaires séparées. Le suivi
temporel (ou évolution) de cette activité permet d’appréhender le fonctionnement de
ces objets (organes humains ou procédés industriels).
1.2. Les problèmes actuels de l’imagerie par rayonnements ionisants
Dans ces deux modalités d’imagerie, le rayonnement émergent fournit une mesure
globale dans laquelle, pour chaque direction, la contribution de tous les points
traversés est sommée et pondérée par un noyau d’intégration. Le processus de formation
d’images est donc décrit par une transformation intégrale réalisant une «projection»
dans le langage consacré des sciences de l’imagerie. Inversement, la reconstruction de
l’objet consiste à utiliser un procédé pour convertir les données que sont les «projec
tions» en une représentation (ou «image») tridimensionnelle de l’objet.
Ceci se fait de façon naturelle si la transformation intégrale modélisant la forma
tion d’image admet une transformation inverse avec un noyau d’intégration explicite.
On parle alors d’inversion analytique de cette transformation, dont la mise en oeuvre
est connue sous le nom de rétroprojection filtrée (par exemple dans le cas de la trans
formation de Radon en deux dimensions). Il s’agit de la méthode de reconstruction la
plus répandue et la plus rapide en sciences de l’imagerie. Notons que la
tridimensionnelle par rétroprojection filtrée ne réussit qu’à partir d’un ensemble com
plet de mesures prises sous des angles de vue spatiale différents. Quand le nombre de
mesures est limité, cette méthode ne donne pas de résultats très satisfaisants.
En dehors de la difficulté d’opérer une inversion par une méthode approchée, il
faut aussi prendre en compte toute une série de dégradations liées à l’imagerie par
rayonnement ionisant et engendrées par les phénomènes et causes suivants :
1) diffusion du rayonnement lors de sa propagation dans un milieu,
2) absorption par le milieu traversé conduisant à une atténuation du rayonnement
détecté,
3) fluctuations statistiques de l’émission du rayonnement et des interactions
matière rayonnement,
4) performances mécaniques et électroniques limitées du détecteur,
5) données incomplètes dues aux limitations imposées par les conditions de fonc
tionnement,
6) etc.
Pour remédier à certains de ces problèmes, on a recours aux méthodes de régulari
sation du traitement des données (méthodes algébriques et méthodes statistiques) quiIntroduction 21
(a) Fantôme de Shepp Logan
(b) Image observée (c) Restauration avec filtre de Metz
(d) Restauration avec filtre de Wiener (e) Restauration Bayes Markov
Figure 1.3. Fantôme de Shepp Logan et différentes restaurations [NGU 01b]