L'Equation de Pell-Fermat x²-dy²=1 revisitée

-

Livres
58 pages
Lire un extrait
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Destiné aux passionnés de mathématiques et de grands nombres, l'opuscule de S. Coquerand invite à se frotter à l'équation de Pell-Fermat et, corrélativement, au problème antique des boeufs d'Hélios. Double défi donc, auquel l'auteur apporte, avec concision, ses réponses et résolutions, et cela, au fil d'une réflexion minutieuse. Précis et exemplifié, voici donc un ouvrage aussi stimulant intellectuellement que méthodique!

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 12 février 2015
Nombre de visites sur la page 54
EAN13 9782342034547
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,0052 €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Signaler un problème












L’Équation de Pell-Fermat
૛ ૛
࢞െࢊ࢟ൌ૚ revisitée





Du même auteur

À la (re)découverte de l’arithmétique de Diophante,
Publibook, 2010

Serge Coquerand









L’Équation de Pell-Fermat
૛ ૛
࢞െࢊ࢟ൌ૚ revisitée

Le problème des bœufs d’Hélios



















Publibook

Retrouvez notre catalogue sur le site des Éditions Publibook :




http://www.publibook.com




Ce texte publié par les Éditions Publibook est protégé par les
lois et traités internationaux relatifs aux droits d’auteur. Son
impression sur papier est strictement réservée à l’acquéreur et
limitée à son usage personnel. Toute autre reproduction ou
copie, par quelque procédé que ce soit, constituerait une
contrefaçon et serait passible des sanctions prévues par les
textes susvisés et notamment le Code français de la propriété
intellectuelle et les conventions internationales en vigueur sur la
protection des droits d’auteur.





Éditions Publibook
14, rue des Volontaires
75015 PARIS – France
Tél. : +33 (0)1 53 69 65 55






IDDN.FR.010.0120192.000.R.P.2014.030.31500




Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015







Le but de cet ouvrage est d’aborder sous un angle
différent de celui qui fait appel aux fractions continues la
manière de résoudre en nombres entiersݔ etݕ l’équation
ଶ ଶ
de Pell-Fermat du typeȂݔͳൌݕ݀, dans laquelle݀est
un entier non carré donné.
Dans la première partie, une démarche complète de
résolutions sera indiquée avec quelques applications, ainsi
que toutes les solutions pour les valeurs de݀non carré de
2 à 209.
Dans la deuxième partie, la manière de résoudre le
problème des bœufs d’Hélios vous permettra de constater
qu’avec une certaine rigueur dans la démarche il est
possible de trouver des solutions en très peu de temps avec un
ordinateur et muni d’un logiciel comme par exemple
Mathematica.
Dans la littérature actuelle la résolution de l’équation de
Pell-Fermat est abordée par l’utilisation des fractions
continues et de racines carrées. Pour de petites valeurs de݀,
n’importe quel ordinateur acheté dans le commerce muni
d’un logiciel de mathématique du type Mathematica est en
mesure de fournir en peu de temps des solutions.
Cependant, lorsque݀grand, comme par devient
exempleʹͺ͸ Ͷʹ͵ ʹ͹ͺ ͶʹͶ݀ ൌͶͳͲ quiapparaît dans le
problème des bœufs d’Archimède, élever des expressions
contenant des irrationnels à des puissances de l’ordre du
millier fait que, d’une part l’ordinateur travaille pendant
des heures et très souvent se bloque, et d’autre part s’il
donne un résultat, il le donne avec des valeurs
approchées….
Dans la troisième partie, une méthode est présentée
pour tenter de décomposer des grands nombres.

9




Première partie.
L’équation de Pell-Fermat



Comme signalé en préambule, il s’agit de trouver des
valeurs entièresሺݔǡ ݕሻtelles que, pour tout entier݀non carré
ଶ ଶ
donné, la relationݕ ൅ͳݔ ൌ݀soit vérifiée.
Convention d’écriture :
ሺݔ ǡݕ ሺݔǡ
Le couple de nombres entiersଵ ଵሻque telଵݕ ሻൌ1


correspondra aux valeurs les plus petites avecݕଵnon nulle
ଶ ଶ
ݔ ൌ݀൅ ͳ
vérifiantଵݕଵOn le désignera par le terme de .
solution élémentaire.

ሺݔ ǡݕ ሻݔ ൌൌͲ
଴ ଴désigne la solution banale଴ͳ ǡ ݕ଴.

Tout le problème consiste alors à trouver la solution
éléǡ ݕ
mentaireሺݔଵ ଵሻ, car une fois celle-ci connue, elle permet
ǡ
de générer toutes l௝ሻ.
es autres valeurs possiblesሺݔ௝ݕ

On peut démontrer par récurrence que si
ଶ ଶ
ǡ ݕ
൫ݔ௝ିଵ ௝ିଵൌ൯ǡͳque si c’est-à-direݔ ൌ݀ݕ ൅ͳ
௝ିଵ ௝ିଵ
alors൯ൌͳݔǡݕ൫.
௝ ௝

Posons :

࢞ ࢞
࢐࢞ ࢊ࢟࢐ି૚
૚ ૚
ൌ൬ ൰൬ ൰൬ ൰ relation (1 )
࢟ ࢟
࢐࢟ ࢞࢐ି૚
૚ ૚

Il vient :
ଶ ଶ
ݔ ൌሺݔݔ ൅݀ݕ ݕሻ
௝ ଵ௝ିଵ ଵ௝ିଵ
ଶ ଶଶ ଶ ଶ
ݔ ݕ൅ ݀ݕ ݕ
ൌݔ ݔ൅ ʹ݀ݔݕଵ ௝ିଵ ௝ିଵଵ
ଵ ௝ିଵଵ ௝ିଵ

11