Mathématiques MPSI

Mathématiques MPSI

-

Français
1584 pages

Description

Les  « Tout-en-un »  de la collection  J’intègre  vous proposent  le cours de  référence  en classes préparatoires scientifiques, ainsi que de nombreux exercices intégralement résolus. 

• Toutes les notions  sont abordées dans le strict respect des programmes.
  Les premiers chapitres sont consacrés aux méthodes et techniques de base.
• De nombreux exemples, des illustrations et des remarques pédagogiques vous aident à bien comprendre le cours.
Des exercices d’entraînement
  Dans chaque chapitre, un grand nombre d’exercices pour bien assimiler le cours et vous entraîner.
  Les énoncés sont classés par difficulté progressive.
Tous les corrigés détaillés
  Tous les exercices sont intégralement résolus afin de pouvoir travailler en parfaite autonomie.

La grande nouveauté de cette deuxième édition ce sont les  compléments en ligne  www.les-maths-en-prepas.fr  . Ils vous proposent de travailler sur votre ordinateur ou votre tablette (voire votre  smarphone) une bonne partie des chapitres de cours du livre, ainsi que de nombreux exercices. Ces compléments en ligne, par leur interactivité,  vous permettent de réfléchir et de progresser étape par étape, en ayant recours à tous les niveaux d'indications dont vous avez  besoin pour comprendre et assimiler les résultats.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 21 février 2018
Nombre de lectures 0
EAN13 9782100779024
Licence : Tous droits réservés
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Signaler un problème
C. DESCHAMPS I F. MOULIN I N. CLEIREC I J.-M. CORNIL I Y. GENTRIC I F. LUSSIER I C. MULLAERT I S. NICOLAS MATHS MPSI
TOUT-EN-UN
e 5 édition
Conception et création de couverture : Hokus Pokus Créations
© Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
ISBN 9782100776597
922
La réforme du lycée, qui a suivi celle du collège, a débuté par la classe de seconde en septembre 2010 et elle s’est achevée, en 2012, avec la mise en œuvre des nouvelles classes de terminale. Les étudiants qui entreprennent des études en classes préparatoires en septembre 2013 ont bénéficié, durant toute leur scolarité, de programmes rénovés, en particulier en mathématiques. Afin d’assurer une continuité avec ces programmes, de nouveaux programmes de classes préparatoires étaient donc indispensables. En mathématiques, en 1995, lors de la mise en place des programmes de l’époque, les Éditions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étu-diants un ouvrage de référence clair et précis complétant le cours, irrempla-çable, du professeur. Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés et exercices, avec corrigés, en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuis, très largement imité), qui a remporté un grand succès. Aujourd’hui, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité, nous publions ce nou-veau « tout-en-un ». Tout en gardant les grands principes de l’ancien ouvrage, ce nouveau « tout-en-un » a l’ambition, en mettant en œuvre de nouvelles mé-thodes d’acquisition des connaissances, de proposer à l’étudiant une démarche pour s’approprier les théories du programme, théories indispensables tant aux mathématiques qu’aux autres disciplines. L’esprit qui a guidé l’équipe tout au long de son travail a été de ne pas se contenter d’un « toilettage » de l’ouvrage existant mais bien de concevoir et proposer un cours en conformité avec le texte, mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme. Dans ce but, par exemple, la première partie « Techniques de calcul » est là pour aider les étudiants à réaliser la transition entre les programmes rénovés du lycée et les objectifs de la « formation mathématique » en classes préparatoires. Ces premiers chapitres ont pour mission de consolider et d’élargir les acquis du secondaire, en particulier dans la pratique du calcul, afin d’aborder dans les meilleures conditions le cœur du programme ; à dessein, certaines définitions précises et constructions rigoureuses ont donc été différées à des chapitres ultérieurs (avec un pictogramme comme ci-contre indiquant la page à laquelle se référer). En pratique : ; il ne s’agit pasLe livre débute par un chapitre 0 : « Pour commencer » d’un cours de logique mais d’une acquisition, à minima, de notions fon-damentales (assertions, ensembles, quantificateurs), chacune étant très largement illustrée. De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du lycée, illustrent chaque définition.
Les propositions et théorèmes sont énoncés, suivis immédiatement d’exem-ples élémentaires d’applications, et leurs démonstrations sont l’occasion d’un travail personnel de l’étudiant. Nous avons choisi de ne pas faire fi-gurer systématiquement à la suite de l’énoncé la rédaction complète de ces démonstrations mais plutôt d’indiquer à l’étudiant le principe de celles-ci avec les éléments qui lui permettront de la construire par lui-même et ainsi de mieux s’approprier la propriété. Évidemment, guidé par un renvoi précis en fin du chapitre, il pourra ensuite consulter la démonstration complète et vérifier (ou compléter) son travail personnel. Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pas privilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc-tions explicites. C’est volontaire ; durant leurs études au lycée nos étudiants n’ont en général pas construit les objets mathématiques qu’ils ont utilisés : ils se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire un objet, comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitement ses propriétés et les limites de ces propriétés. Au cours du déroulement de chaque chapitre, l’étudiant trouvera, pour illustrer immédiatement l’usage des propositions et théorèmes, de très nom-breux exercices simples qu’il doit évidemment chercher et dont il pourra consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifier son propre travail. Régulièrement l’étudiant trouvera des « point méthode » qui, pour une situation donnée, lui offrent une ou deux possibilités d’approche de la réso-lution de son problème. Évidemment il trouvera après ce « point méthode » un ou plusieurs exemples ou exercices l’illustrant. Enfin, à l’issue de chaque chapitre, il trouvera des exercices plus ambitieux demandant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement maitrisé. Certains plus difficiles sont signalés par des étoiles ; les solutions de tous ces exercices complémentaires sont données, mais parfois de façon plus succincte que les solutions des exercices fondamentaux figurant dans le déroulement du cours. Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque que les étu-diants, nos collègues, tout lecteur. . . seraient amenés à nous communiquer. Cela nous permettra, le cas échéant, de corriger certaines erreurs nous ayant échappé et surtout ce contact nous guidera pour une meilleure exploitation des choix pédagogiques que nous avons faits aujourd’hui dans cet ouvrage.
Claude Deschamps et François Moulin
lesmathsenprepas.fr
Ce livre est prolongé par un site web qui vous aidera à assimiler efficacement le programme de première année. Ce site, en synergie complète avec l’ouvrage mais qu’il ne remplace absolument pas, a été développé par certains des auteurs du livre pour offrir des compléments pédagogiques impossibles à mettre dans un ouvrage papier sous peine de le rendre illisible. Ces compléments portent à la fois sur les exercices et sur le cours.
En ce qui concerne lesexercices, il ne s’agit pas juste d’une série supplémentaire d’exercices corrigés. Au contraire, l’interactivité que permet l’ordinateur ou la tablette est mise à profit pour vous fournir des niveaux d’explication bien plus détaillés que ceux d’un livre, pour vous proposer des pistes, voire de fausses pistes qu’il est bon d’avoir explorées afin de bien comprendre pourquoi elles ne mènent à rien. C’est vous-même qui choisirez, en fonction des problèmes de compréhension que vous rencontrerez, d’accéder ou non à ces différents niveaux d’explication, avant d’aboutir à une solution exhaustive et complètement rédigée. En ce qui concerne lecours, la présentation des chapitres vous aidera à réviser plus efficacement en vue d’une colle ou d’une interrogation écrite. Après avoir étudié et travaillé votre cours sur papier avec le livre, la forme interactive du site vous permettra d’évaluer l’état exact de vos connaissances. Plutôt que de relire des pages de cours (ou des fiches, par nature incomplètes) au risque de vous y endormir, vous pourrez bénéficier de la présentation inversée des chapitres : partant de la table des matières et affinant par étapes successives, elle est conçue pour vous inciter à vous demander ce qu’il peut y avoir dans chaque partie qui n’est pas encore développée, quel théorème ou quelle propriété peut bien s’y trouver, quel en est l’énoncé exact, et quels exemples, contre-exemples ou cas particuliers peuvent vous fournir une aide précieuse pour « assurer » ce résultat. Cette démarche, privilégiée par les auteurs du site, est exactement celle dont vous aurez besoin lors d’une interrogation orale ou écrite.
Que ce soit pour les exercices ou pour le cours, il ne faut pas chercher sur ce site des questions ou des exercices pointus issus des oraux des écoles les plus prestigieuses. Le but poursuivi est avant tout pédagogique : permettre à chacun, quel que soit son niveau, d’acquérir les bases et les réflexes indispensables pour effectuer une bonne première année, et de ne plus avoir d’angoisse sur les notions au programme. L’idée essentielle est qu’en allant voir un peu plus loin que le simple énoncé d’un théorème ou d’une formule, en assimilant en même temps le principe de la démonstration, des exemples et des contre-exemples, il est plus facile d’en avoir une connaissance précise. Enfin, bon nombre de questions sont enrichies degraphiques interactifs animésqui vous faciliteront l’assimilation de certaines notions en les visualisant et les manipulant plus facilement.
Préface
Le sitelesmathsenprepas.fr
Tabledesmatières
complémentairedulivre
Chapitre 0. Pour commencer I Assertions, ensembles et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . II Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . .
Partie I. Techniques de calcul Chapitre 1. Droite numérique, fonctions à valeurs réelles I Ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Dérivabilité – Rappels de Terminale . . . . . . . . . . . . . . IV Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2. Calculs algébriques P Q I Symboles et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Coefficients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . III Systèmes linéaires, méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
v
vi
1 3 7 14
19 20 29 40 51 66 85
93
94 109 113 128 141
Chapitre 3. Nombres complexes I L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . II Résolution d’équations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . III Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4. Fonctions usuelles I Fonctions logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . II Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149 151 164 170 174 189
203 204 208 212 218 220 224 233
Chapitre 5. Primitives et équations différentielles linéaires245 I Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 II Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . 259 III Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 274 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Partie II. Raisonnement et vocabulaire Chapitre 6. Raisonnement, opérations sur les ensembles I Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Pratique de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . .
Chapitre 7. Applications, relations, entiers naturels I Applications, fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Notions sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309 310 315 321 327
333 334 347 356 362 366 381
Partie III. Analyse Chapitre 8. Nombres réels, suites numériques I L’ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . III Limite d’une suite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Résultats d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Intermède : comment démontrer la convergence d’une suite ? . VII Traduction séquentielle de certaines propriétés . . . . . . . . VIII Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Relations de comparaison sur les suites . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 9. Limites et continuité I L’aspect ponctuel : limites, continuité . . . . . . . . . . . . . IIL’aspect global : fonctions continues sur un intervalle. . . . . . III Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 10. Dérivation I Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . III Fonctions continument dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 11. Intégration I Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . II Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . III Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . V Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
393 400 403 409 414 417 418 420 424 429 438 468
483
484 508 519 522 540
551
552 560 571 578 583 599
611
613 617 622 624 625 627 636
Chapitre 12. Calcul intégral R b I Notationf(x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a II Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Application aux méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 13. Analyse asymptotique I Fonctions dominées, fonctions négligeables . . . . . . . . . . . II Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Développements limités : généralités . . . . . . . . . . . . . . IV Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . V Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . VI Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 14. Séries I Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Représentation décimale d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie IV. Algèbre Chapitre 15. Arithmétique dansZ I Divisibilité dansZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 16. Structures algébriques usuelles I Lois de composition interne . . . . . . . . . . II Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
643
644 647 650 657 660 664 682
691 692 696 706 718 732 737 740 764
777 778 783 790 792 796 807
823 824 826 837 842 845 855
863 864 869
III Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Exemple : une construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . .
Chapitre 17. Polynômes I Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . II Divisibilité et division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . III Fonctions polynomiales et racines . . . . . . . . . . . . . . . IV Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Factorisation dansC[X] etIR[X. . . . . . . . . . . . . . .] . VI Arithmétique dansIK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Une preuve du théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 18. Fractions rationnelles I Corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . II Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . III Primitives d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 19. Espaces vectoriels I Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Sous-espaces affines d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . V Retour sur les sous-espaces engendrés . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 20. Décompositions en algèbre linéaire I Familles et parties génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . II Familles et parties libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Sommes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . V Formes linéaires et hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
871 876 876 879
885 886 894 896 906 910 912 922 924 943
955 956 962 971 974 983
997 999 1001 1007 1012 1016 1019 1029
1035 1037 1040 1047 1052 1064 1067 1083