Physique-Chimie MP

Physique-Chimie MP

-

Français
800 pages

Description


La collection J’assure aux concours a été conçue pour permettre aux élèves de:
  • Comprendre et retenir l’essentiel du cours,
  • Maîtriser les méthodes de travail,
  • Etre à l’aise face aux exercices et problèmes,
  • Réussir les épreuves des concours.
Cet ouvrage qui couvre le programme de physique et de chimie de MP. 
Il comporte un entraînement complet dans chaque chapitre :
  • Un QCM pour tester sa maîtrise des capacités exigibles
  • Des exercices d'entraînement pour appliquer le cours.
  • Des exercices d'approfondissement et des extraits de sujets, pour se préparer aux concours.
  • Tous les corrigés détaillés et expliqués.

Sujets

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Publié par
Date de parution 29 août 2018
Nombre de lectures 0
EAN13 9782100786282
Licence : Tous droits réservés
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Informations légales : prix de location à la page €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

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PHysique
chimie
MP
Jean-Michel Bauduin • Thierry Bars • Mélanie Cousin • Yves Josse •
Frédéric Legrand • Josiane Manasses • Hélène MichelAvec la collaboration scientifque de Nicolas Champavert et PierrAvec la collaboration scientifque de Nicolas Champavert e-Emmanuel Leroy
Conception et création de couverture : Dominique Raboin
© Dunod, 2018© Dunod, 2017
111 r1 r ue Paul Bert, 92240 Malakof ff
www .dunod.com
ISBN 978-2-10-077557-6ISBN 978-2-10-076216-3Avant-propos
« Quiconque a pensé pensera toujours, et l’entendement,
une fois exercé à la réflexion, ne peut plus rester au repos. »
J.-J. Rousseau, Émile, ou de l’éducation
Les sciences physiques
Les physiques ont pour objectif d’expliquer et de prévoir les phénomènes que nous pouvons
observer. Par principe leurs lois, établies dans notre environnement terrestre, ont un caractère
universel : valables dans nos laboratoires, elles sont réputées applicables en tout lieu, jusqu’aux
confins de l’Univers, à toute date, dans le passé depuis la naissance de celui-ci, dans le présent et
dans le futur, le plus lointain soit-il.
L’expérimentation y joue un rôle central. Une théorie, un modèle, ne valent que si leurs prévisions
sont en accord avec les résultats expérimentaux, aux incertitudes près.
Expérimentation et développement théorique sont des moteurs qui se relaient l’un l’autre dans
l’évolution des connaissances. Il est ainsi des étapes lors desquelles l’expérience permet de mettre
en évidence un phénomène qui ne peut être expliqué par les théories existantes. Le travail du
scientifique consiste alors à retoucher ces dernières, à les compléter, à en mettre de nouvelles en
chantier pour rendre compte du phénomène observé. Il est à l’inverse d’autres étapes lors desquelles
l’édifice théorique permet de prévoir un phénomène jusque-là inconnu. Le travail consiste alors à
imaginer, à concevoir des expériences permettant de l’observer effectivement ou non et ainsi de
confirmer ou d’infirmer certains éléments de l’édifice théorique.
L’histoire des sciences est riche d’exemples tels que mécanique newtonienne et observation du
mouvement des planètes, théorie de l’électromagnétisme et prévision de l’existence des ondes
électromagnétiques, modèle standard de la physique des particules et prévision de l’existence du boson
de Higgs...
L’ouvrage
Son contenu est conforme à celui des programmes en vigueur.
Mais,au-delàdecela,nousavonsdélibérémentprislepartidefairedécouvriraulecteurlesconcepts,
les lois de la physique et de la chimie dans le cadre de problématiques concrètes, en utilisant aussi
souvent que possible des résultats expérimentaux. Au travers de cette démarche, notre ambition
est de lui donner le goût de l’expérimentation en le sensibilisant à la richesse d’une telle approche.
En cela, nous avons cherché à mettre en avant l’esprit des programmes, qui valorisent le
travail mené à partir de données expérimentales.
Ainsi, nous avons également voulu tenir compte de la tendance actuelle des problèmes
de concours, qui évaluent de plus en plus l’aptitude à commenter et à exploiter des résultats
expérimentaux.
Toutes les expériences décrites et exploitées, aussi bien dans le cours que dans les exercices, ont été
effectivement conçues pour la rédaction de l’ouvrage. Pour la plupart elles ont été mises au point
et réalisées par Frédéric Legrand, que nous remercions tous chaleureusement.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Sa structure
Dans chaque chapitre le lecteur trouvera :
• L’essentiel du cours, déroulé à partir d’une contextualisation servant de fil conducteur,
présentant les concepts essentiels et les méthodes importantes. Des pictogrammes sont
utilisés pour en faciliter la lecture :
: pour des questions destinées à structurer l’exposé, questions qu’un étudiant
curieux pourrait être amené à se poser; nous l’incitons d’ailleurs à tenter d’y répondre au
moins partiellement avant de poursuivre sa lecture,
: pour attirer l’attention sur un point important,
: pour mettre en valeur une remarque intéressante ou une astuce.
• Une interrogation de cours sous forme d’un QCM permettant au lecteur de tester
rapidement sa compréhension des notions introduites dans l’essentiel du cours.
• Des exercices de niveaux progressifs, comprenant des liens avec les méthodes développées
en cours (des méthodes vers les exercices et des exercices vers les méthodes) qui permettent
une lecture croisée de l’ouvrage.
• Les corrigés de l’interrogation de cours et des exercices.
Photographies en couleur
L’ouvrage présente en début et en fin des photographies couleur :
• celles de la page 2 de couverture, référencées de A.1. à A.6., illustrent certains chapitres
d’optique;
• celles de la page 3 de couverture, référencées de B.1. à B.6., illustrent le dernier chapitre de
chimie, consacré au phénomène de corrosion.
Nous invitons le lecteur à s’y reporter chaque fois qu’il rencontre ces références lors de sa lecture
des chapitres concernés.
Remerciements
Nous tenons à remercier l’ensemble du personnel du laboratoire de sciences physiques du lycée
Chateaubriand de Rennes pour son assistance et ses encouragements dans la réalisation des
nombreuses expériences conçues pour cet ouvrage. Merci également aux collègues qui nous ont fait
part de leurs observations. Enfin, ces remerciements ne sauraient être complets sans une mention
spéciale à tous nos proches pour leur infinie patience!Table des matières
Partie 1 Mécanique
1 Référentiels non galiléens..............................................7
2 Frottement solide.......................................................43
Partie 2 Électromagnétisme
3 Charges et courants électriques.....................................77
4 Électrostatique.........................................................105
5 Magnétostatique......................................................141
6 Dipôles électrique et magnétique.................................165
7 Équations de Maxwell ...............................................193
8 Ondes électromagnétiques dans le vide.........................229
9 élques dans un milieu dispersif..........261
10 Ondes élques et métaux..........................289
Partie 3 Optique
11 Ondes lumineuses scalaires .......................................321
12 Interférences de deux ondes......................................347
13 I de Young ............................................379
14 Interféromètre de Michelson .....................................419
15 Interférences de N ondes..........................................455
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Partie 4 Physique quantique
16 Fonction d’onde et équation de Schrödinger.................473
17 Particule dans un potentiel.......................................499
Partie 5 Traitement du signal
18 Signaux périodiques.................................................533
19 Électronique numérique............................................557
Partie 6 Thermodynamique
20 Premier et second principes – Potentiel.......................593
21 Transferts thermiques..............................................619
22 Thermodynamique statistique....................................651
Partie 7 Thermodynamique des systèmes chimiques
23 Premier principe.....................................................683
24 Second principe......................................................703
Partie 8 Électrochimie
25 Cinétique électrochimique.........................................733
26 Conversions électrochimiques....................................761
27 Corrosion humide....................................................795
Partie 9 Annexe
28 Calcul vectoriel.......................................................817
Index.......................................................................847Partie 1
MécaniqueCHAPITRE
Référentiels non galiléens 1
L’essentielducours
Contexte
Les sensations fortes provoquées par certaines attractions de fêtes foraines interrogent sur
l’application des lois de la mécanique dans des référentiels non galiléens.
Nous envisagerons dans ce chapitre deux exemples de manèges, l’un en translation et l’autre en
rotation autour d’un axe fixe par rapport au référentiel terrestreR . Dans les deux cas, le passagert
peut subir des accélérations de plusieurs g par rapport àR . Pour comprendre les actions qu’ilt
ressent, nous devons réaliser une étude mécanique dans le référentiel non galiléen lié au manège.
1 Référentiels en translation
Le train de l’attraction Psyké Underground du parc Walibi soumet le passager à une accélération
horizontale importante lors de la phase initiale de propulsion. Nous avons reproduit au laboratoire
cette phase d’accélération à l’aide de l’expérience schématisée sur la figure 1.1.
Potentiomètre
Ressort de freinage
#»g
Accéléromètre
θ
Support
Rails
x
mp
Figure 1.1. Pendule sur un chariot accéléré.
Un chariot guidé par deux rails fixés sur un support horizontal est entraîné par une corde à laquelle
est suspendu un poids de masse m . Nous réalisons ainsi un mouvement de translation rectilignep
uniformément accéléré du chariot dont l’accélération a peut être modifiée en changeant m . Lex p
système modèle remplaçant le passager du train est un pendule pesant dont la liaison pivot est
réalisée par un potentiomètre multitours de 10kΩ donnant accès à l’angle θ défini sur la figure 1.1.
Un accéléromètre MEMS fixé sur le chariot mesure son accélération a .x
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.8 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Dans quel référentiel peut-on étudier le mouvement du pendule?
L’angle θ permet de repérer la position du pendule par rapport au chariot mais comme celui-ci se
déplace par rapport à l’observateur, il nous faut préciser les référentiels intervenant dans l’étude.
Définition : Référentiel
Un référentielR est constitué :
• d’un solide de référence par rapport auquel on peut étudier le mouvement d’un objet;
• d’une horloge qui permet le repérage temporel des évènements subis par cet objet.
#» #» #»Un point O associé à une base vectorielle orthonormée (u , u , u ) constitue un repère lié aux y z
#» #» #»référentielR si O, u , u et u sont fixes par rapport au solide de référence à tout instant.x y z
La mécanique classique postule le caractère absolu du temps : une horloge indique le
même temps dans un référentiel où elle est au repos et dans un référentiel où elle est
en mouvement.
#» #» #»Le référentiel R lié aux rails (référentiel terrestre) est repéré par (O, u , u , u ) alors que lex y z
#» #» #» référentielR lié au chariot est repéré par (O , u , u , u ). Les repères sont représentés sur lax y z
figure1.2.
y
y
A
O θ xz
O
x
z
Figure 1.2. Présentation des repères.
Définition : RéférentielR en translation par rapport à un référentielR
#» #» #»
Un référentielR repéré par (O , u , u , u ) est en mouvement de translation par rapportx y z
#» #» #» #» #» #»
au référentielR repéré par (O, u , u , u ) si ses vecteurs unitaires u , u et u possèdentx y z x y z
une direction et un sens indépendants du temps dansR. Mathématiquement :
#» #» #» du du du #»x y z = = = 0 dt dt dtR R R
Le mouvement de O dansR caractérise complètement la translation deR par rapport àR.
#» #» #» #» #» #»Dans notre expérience, les bases (u , u , u ) et (u , u , u ) sont identiques!x y z x y zL’essentiel du cours 9
Le mouvement d’un point matériel M peut être étudié dansR ou dansR .
Comment composer les mouvements d’un pointM dans deux référentiels en
translation?
# »
Le vecteur position OM(t) définit la position de M à l’instant t dans le référentielR. En utilisant
#» #» #»la base (u , u , u ), nous définissons les coordonnées cartésiennes (x(t),y(t),z(t)) du point M :x y z
# » #» #» #»OM(t)= x(t)u +y(t)u +z(t)u .x y z
Il est de la même manière possible de repérer le point M à l’instant t dans le référentielR par son
# » # »
#» #» #»
vecteur position O M(t). En coordonnées cartésiennes : O M(t)= x (t)u +y (t)u +z (t)u .x y z
La relation de Chasles permet de relier facilement les deux vecteurs position :
# » # » # » # » OM(t)= OO (t)+ O M(t), où OO (t) est le vecteur position de O dans R. Les coordonnées
#» #» #»cartésiennes de O dans le repère (O, u , u , u ) peuvent être introduites :x y z
# » #» #» #»
OO (t)= x (t)u +y (t)u +z (t)u .O x O y O z
Les vitesses des pointsO etM dans le référentielR s’obtiennent en dérivant par rapport au temps
# » # »dansR les vecteurs position OO et OM :
# »
dOM(t)#» #» #» #»v (t)= =˙x(t)u +˙y(t)u +˙z(t)uM/R x y zdt R# »
dOO (t)#» #» #» #» v (t)= =˙x (t)u +˙y (t)u +˙z (t)u .O x O y O zO /R dt R
# »
La vitesse du point M dansR est quant à elle obtenue en dérivant O M par rapport au temps
# »
dO M(t) #» #» #» #» ˙ ˙ ˙ dansR : v (t)= = x (t)u +y (t)u +z (t)u .x y zM/R dt R
En dérivant par rapport au temps dans le référentielR la relation de Chasles entre les vecteurs
position, il vient :
# » # » # » # » dOM(t) dOO (t) dO M(t) dO M(t)#» #» = + ⇒ v (t)= v (t)+M/R O /R dt dt dt dtR R R R
# »
#» #» #» dO M(t) du du du #»x y z#» #» #» ˙ ˙ ˙ Or = x (t)u +y (t)u +z (t)u puisque = = = 0.x y z dt dt dt dtR R R R
# » # »
dO M(t) dO M(t) #» #» #» #» Ainsi, = = v (t) et donc v (t)= v (t)+ v (t).M/R M/R M/R O /R dt dt R R
Loi de composition des vitesses
#» #» La vitesse v (t) d’un point M dansR et sa vitesse v (t) dansR en translation parM/R M/R
#» #»rapport àR à la vitesse v (t)= v (t) sont liées par la relation :e O /R
#» #» #»v (t)= v (t)+ v (t)M/R M/R e
#» #»où v (t)= v (t) est appelée vitesse d’entraînement.e O /R
En dérivant par rapport au temps dans R la loi de composition des vitesses, nous relions les
accélérations de M respectivement dansR etR :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.10 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
# » # » # »# »2 2 2 2 d OM(t) d OO (t) d O M(t) d O M(t)#» #» a (t)= = + = a (t)+M/R O /R 2 2 2 2dt dt dt dtR R R R
# »
2 #» #» #» d O M(t) du du du #»x y z#» #» #» ¨ ¨ ¨ Or =x (t)u +y (t)u +z (t)u puisque = = = 0.x y z2 dt dt dt dtR R R R
# » # »
2 2 d O M(t) d O M(t) #» #» #» #» Ainsi, = = a (t) et a (t)= a (t)+ a (t).M/R M/R M/R O /R2 2 dt dt R R
Loi de composition des accélérations
#» #» L’accélération a (t) d’un point M dans R et son accélération a (t) dans R enM/R M/R
#» #»translation par rapport àR avec une accélération a (t)= a (t) sont liées par la relation :e O /R
#» #» #»a (t)= a (t)+ a (t)M/R M/R e
#» #»où a (t)= a (t) est l’accélération d’entraînement.e O /R
Dans l’attraction Psyké Underground, un passager du train accéléré se trouve plaqué contre son
siège lors de la phase d’accélération. Tout se passe comme s’il subissait dans le référentiel du train
une force liée à l’accélération de ce dernier dans le référentiel terrestre : cette pseudo-force sera
nommée force d’inertie.
Qu’avons-nous observé expérimentalement?
Présentons les résultats expérimentaux obtenus à l’aide du pendule modèle.
Les figures 1.3 et 1.4 présentent l’accélération et l’angle obtenus pour une masse m = 1620g.p
Juste après le lâché du chariot à l’instant t = 1s, on observe une phase d’accélération, à peu près1
constante en moyenne (0,35g), correspondant au mouvement du chariot avant son freinage par le
ressort. Durant cette phase, l’angle θ tend rapidement vers une valeur stationnaire θ = −19°,e
θ étant par convention positif lorsque le pendule est dévié vers l’avant. Les valeurs moyennes
de l’accélération et de l’angle sont extraites sur un intervalle où le pendule a atteint un angle
stationnaire, ici entre t =1,5s et t =1,8s. Après l’instant t commence la phase de freinage du2 3 3
chariot que nous n’étudierons pas.
m = 1620g m = 1620gp p
2
100
0,351
0 50
−1
0
−2
−19−50−3
−4
−100
−5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
t (s) t (s)
Figure 1.3. Accélération du chariot. Figure 1.4. Angle du pendule.
a /g
x
θ (deg)L’essentiel du cours 11
Nous souhaitons préciser l’expression de la force d’inertie qui déplace le pendule vers l’arrière dans
le référentiel du chariot. Pour simplifier l’étude dynamique, nous modélisons le pendule pesant de
masse m par un pendule simple constitué d’un point M de masse m relié au point A par un fil
sans masse et nous nous intéressons uniquement à la position d’équilibre dansR .
y
#»•A T
#»uθ
•θ
#»M ur
#»mg
• x
O z
Figure 1.5. Modélisation par un pendule simple.
Pourquoi le référentielR n’est-il pas galiléen?
Rappelons ce que nous entendons par référentiel galiléen.
Référentiel galiléen
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tout point M isolé (ou pseudo-isolé) est
reen mouvement de translation rectiligne uniforme (principe d’inertie ou 1 loi de Newton).
Nous considérerons ici le référentiel terrestreR galiléen; les référentiels en mouvement de
translation par rapport àR ne sont galiléens que si la translation est rectiligne et uniforme. Ce n’est pas
le cas du référentielR lié au chariot.
Peut-on appliquer la loi de la quantité de mouvement dansR non galiléen?
Commençons par déterminer l’équation du mouvement du pointM dansR galiléen en appliquant
la loi de la quantité de mouvement. En négligeant les frottements, le point M est soumis à son
#»#»poids mg et à la tension T du fil.
Les frottements au niveau de l’axe de rotation jouent un rôle important dans le régime
transitoire amenant le pendule à sa position d’équilibre mais peuvent être négligés
lorsque le pendule est à l’équilibre dansR .
#»#» #»Ainsi : ma (t)= T +mg.M/R
#» #» #»Utilisons alors la loi de composition des accélérations a (t)= a (t)+ a (t). Nous enM/R M/R e
déduisons :
#»#» #» #»ma (t)= T +mg −ma (t)eM/R
#»#» avec a (t)= 0 à l’équilibre dansR .M/R
#»Le terme−ma (t) s’ajoute aux forces subies parM et explique le déplacement observé du pendulee

par rapport au chariot. Nous notons ce terme F (t) et l’appelons force d’inertie d’entraîne-ie
ment. Notons que cette pseudo-force est opposée à l’accélération du chariot! De la même manière,
le passager du train subit une force d’inertie opposée à l’accélération de ce dernier.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.12 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Loi de la quantité de mouvement dansR non galiléen
La loi de la quantité de mouvement s’applique au point M de masse m dans le référentiel non
#»galiléenR en mouvement de translation par rapport àR galiléen en ajoutant aux forces Fk#»
subies par M la force d’inertie d’entraînement F (t) :ie
#» #»#»
ma (t)= F +F (t)M/R k ie
k
#» #»où F (t)=−ma (t) est la force d’inertie d’entraînement.ie e
Les forces telles que le poids et la tension du fil sont invariantes par changement de
référentiel. Les forces d’inertie dans un référentielR dépendent en revanche du
mou vement de R par rapport à un référentiel R galiléen. Si R est en mouvement de
translation rectiligne et uniforme par rapport àR, la force d’inertie d’entraînement est
nulle etR est galiléen!
#»Utilisons la base polaire liée à M et projetons la loi de la quantité de mouvement suivant uθ
en notant θ l’angle d’équilibre du pendule. Nous obtenons : 0=−mgsin(θ )−ma cos(θ ) soite e e e
tan(θ )=−a /g.e e
Lors de notre expérience avec m = 1620g nous avons obtenu : θ =−19° pour a /g =0,35 avecp e x
a =a . Nous en déduisons tan(θ )=−0,34 ce qui est cohérent.x e e
En répétant l’expérience avec des masses m allant de 200g à 2000g et en calculant à chaque foisp
l’accélération a et l’angle θ lorsque ce dernier atteint sa valeur stationnaire nous constatons quex e
θ est en valeur absolue d’autant plus grand que l’accélération a du chariot est importante.e x
La droite d’équation tan(θ )= −a /g tracée sur la figure 1.6 confirme les résultats de notree x
modélisation.
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a /gx
Figure 1.6. Lien entre l’angle d’équilibre du pendule et l’accélération du chariot.
Peut-on appliquer la loi du moment cinétique dansR non galiléen?
La loi du moment cinétique s’applique au pointM dans le référentiel non galiléenR en mouvement

de translation par rapport àR galiléen en ajoutant aux moments des forces F subies par M lek

moment de la force d’inertie d’entraînement F (t).ie
tan(θ )
eL’essentiel du cours 13
Lois du moment cinétique dansR non galiléen
Le référentielR est en mouvement de translation par rapport au référentielR galiléen.
• Loi du moment cinétique par rapport à un point A fixe dansR .
Si A est un point fixe deR , la dérivée temporelle dansR du moment cinétique
#» # » #»L = AM ∧mv (t) d’un point matériel M de masse m par rapport à A estA/R M/R
égaleaumomentenAdesforcesappliquéesàM,forced’inertied’entraînementincluse:
#» dL # » #» # » #»A/R = M (F )+M (F )A k A iedt R k
• Loi du moment cinétique par rapport à un axe orienté (Δ) fixe dansR .
Si (Δ) est un axe orienté fixe dansR , la dérivée temporelle dansR du moment
cinétique L d’un point matériel M par rapport à (Δ) est égale au moment parΔ/R
rapport à (Δ) des forces appliquées à M, force d’inertie d’entraînement incluse :

dL #» #»Δ/R = M (F )+M (F )Δ k Δ iedt R k
Appliquons la loi du moment cinétique au pendule simple dansR par rapport à l’axe (Az) fixe
dansR . Nous obtenons : 0= −mgLsin(θ )−ma Lcos(θ ) à l’équilibre et retrouvons bien lae e e
position d’équilibre θ .e
Comment réaliser un bilan énergétique dansR non galiléen?
Nous écrirons les lois énergétiques dans un référentielR non galiléen comme dans un référentiel
galiléen en tenant compte de la force d’inertie d’entraînement.
Lois énergétiques dansR non galiléen
Le référentielR est en mouvement de translation par rapport au référentielR galiléen.
• Loi de la puissance cinétique dansR .
La dérivée temporelle de l’énergie cinétiqueE d’un point matérielM dansR est égalec
à la puissance des forces appliquées à M, force d’inertie d’entraînement incluse :
dE #» #»c/R
= P (F )+P (F )/R k /R ie
dt
k
• Loi de l’énergie cinétique dansR .
La variation de l’énergie cinétique E d’un point matériel M dansR qui se déplacec
entre les instants t et t de la position M à la position M est égale à la somme des1 2 1 2
travaux des forces appliquées à M, force d’inertie d’entraînement incluse :
#» #»
Δ(E )=E (t )−E (t )= W (F ) +W (F )c/R c/R 2 c/R 1 /R k M →M /R ie M →M1 2 1 2
k
Entre deux instants infiniment proches :
#» #»
dE = δW (F )+δW (F )c/R /R k /R ie
k
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.14 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Dans le cas du pendule de l’expérience, nous remarquons que la force d’inertie d’entraînement joue
un rôle analogue au poids dans une direction horizontale. Or le poids est une force conservative
dont l’énergie potentielle peut ici s’écrire E = −mgLcos(θ)+cste.p,p
dE#» #» #» p,ie#» ˙La puissance de la force F dansR estP (F )= F · v = −ma Lθcos(θ)= −ie /R ie ie M/R e
dt
en posant E =ma Lsin(θ)+cste.p,ie e
La force d’inertie d’entraînement est conservative dans le cas oùR est en mouvement
#»de translation d’accélération constante a par rapport au référentiel galiléenR.e
Il est ainsi possible de définir l’énergie potentielleE deM dansR en ajoutant l’énergie potentiellep
d’inertie d’entraînement à l’énergie potentielle des forces conservatives s’exerçant sur M.
L’énergie potentielle E = −mgLcos(θ)+ma Lsin(θ) + cste peut être utilisée pour retrouver sap e
dEp
position d’équilibre. Un extremum de E est obtenu pour un angle θ = θ tel que (θ ) =0,p e e

c’est-à-dire mgLsin(θ )+ ma Lcos(θ ) =0. Nous retrouvons bien la même valeur de l’anglee e e
d’équilibre.
2d Ep
Par ailleurs (θ )=mgLcos(θ )−mgLsin(θ )> 0 : la position d’équilibre θ =θ est stable.e e e e2dθ
Comment fonctionne un accéléromètre?
#» #»En combinant le poids mg d’un point M de masse m et la force d’inertie d’entraînement −mae
que ce dernier subit dans le référentielR du chariot, nous constatons qu’il existe dansR un
#» #» #»champ de pesanteur apparent g = g − a .e
Un accéléromètre est constitué d’un élément élastique se déformant suivant un axe (Ox ) sous
l’action de ce champ apparent, permettant ainsi de mesurer la composante de ce champ suivant cet
axe. Il peut être modélisé simplement par un ensemble masse-ressort, le frottement fluide jouant un
rôle très important pour que la masse accélérée atteigne son équilibre rapidement et sans osciller.
Le pendule étudié dans l’expérience joue le rôle d’accéléromètre puisque l’angle
d’équilibre θ permet d’accéder à l’accélération horizontale du chariot.e
Qu’entend-on par état d’impesanteur?
Une tour de chute est un type d’attraction dans laquelle une nacelle contenant les passagers est
hissée en haut d’une tour puis lâchée subitement. La nacelle est alors en chute libre, notamment
au début du mouvement lorsque les forces de frottement de l’air peuvent être négligés.
Le référentielR lié à la nacelle est en mouvement de translation accéléré par rapport au référentiel
#»terrestreR . L’accélération a de la nacelle dansR s’obtient facilement en appliquant la loi de lat e t
quantité de mouvement dans le référentielR au système constitué par la nacelle et ses passagers :t
#» #»a = g.e
Ainsi, dans le référentielR , la loi de la quantité de mouvement s’appliquera à un point M de
masse m de la façon suivante :
#» #»#» #» #»ma =F +mg −ma =FeM/R

oùF est la résultante des forces appliquées àM autres que son poids. En d’autres termes, la
pesanteur n’existe pas pour un passager de la nacelle en chute libre : il est dans un état d’impesanteur.L’essentiel du cours 15
2 Référentiels en rotation
Le gravitron est une attraction de fête foraine constituée d’une salle circulaire dont les parois
intérieures sont équipées de places capitonnées pouvant accueillir les passagers. La salle tourne
autour de son axe et les passagers sont plaqués contre la paroi mobile, subissant une accélération
de plusieurs g dans le référentiel terrestre.
Nousavonsreproduitaulaboratoireleprincipedecetteattractionàl’aidedel’expérienceprésentée
sur la figure 1.7. Une plateforme est entraînée en rotation autour d’un axe vertical par un moteur
électriqueavecunevitesseangulaireΩajustable.Unaccéléromètreestfixéàunedistancer del’axe,
guidé par un rail. Sur ce rail est aussi fixé le support d’un pendule pesant fixé à son extrémité A
sur l’arbre d’un potentiomètre multitours constituant la liaison pivot. L’électronique embarquée
sur la plateforme permet de transmettre les données par radio à un ordinateur.
Une LED de puissance éclaire une photodiode et l’extrémité du rail projette une ombre sur la
photodiode à chaque tour. Un amplificateur suivi d’un comparateur permet d’obtenir un signal
constitué d’impulsions, dont la période est relevée avec un oscilloscope.
#»R g
Potentiomètre
LED
Microcontrôleur
Accéléromètre
Radio
Photodiode
Moteur
PC
Oscilloscope
Figure 1.7. Pendule sur une plateforme tournante.
Dans quel référentiel peut-on étudier le mouvement du pendule?
L’angle mesuré permet de repérer la position du pendule par rapport à la plateforme.
Cependant, celle-ci se déplace par rapport à l’observateur : il est nécessaire de préciser les référentiels
intervenant dans cette étude.
Définition : RéférentielR en rotation uniforme par rapport à un axe fixe dansR
UnréférentielR estenmouvementderotationautourdel’axefixe (Oz)parrapport
#» #» #» au référentiel R de repère orthonormé direct (O, u , u , u ) si on peut repérer R par lex y z
#» #» #» #» #»repère orthonormé direct (O, u , u , u ) dont les vecteurs unitaires u et u sont enx y z x y

mouvement de rotation autour de l’axe (Oz) dansR avec un vecteur rotation Ω constant.
Le schéma de la figure 1.8 précise les notations utilisées par la suite. Le référentiel terrestreR est
#» #» #»ici repéré par (O, u , u , u ) où (Oz) est l’axe de rotation de la plateforme. Le référentiel lié àx y z
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.16 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
#» #» #»
cette dernière est repéré par (O, u , u , u ), en mouvement de rotation autour de (Oz) dansRx y z
#» #»avec un vecteur rotation Ω=α˙u constant.z
#» #»
Le pendule oscille dans le plan (O, u , u ) autour de l’axe (Ay ).x z
z y
A•

uy
Oz
y•
#»y uy
θ #»
#» uxα uxO y•
α
α x
x
x
x
Figure 1.8. Présentation des repères utiles.
Il est important de ne pas confondre l’angle θ qui décrit le mouvement du pendule et
l’angle α qui rend compte de la rotation deR par rapport àR.
Comment composer les mouvements d’un pointM dans deux référentiels en
rotation?
# »
La position d’un point M peut être repérée à l’instant t par son vecteur position OM(t).
#» #» #»Nous pouvons utiliser la base (u , u , u ) et les coordonnées cartésiennes de M (x(t),y(t),z(t))x y z
# » #» #» #»pour étudier le mouvement de M dansR : OM(t)=x(t)u +y(t)u +z(t)u .x y z
# » #» #» #»
De la même manière, dans le référentielR : OM(t)=x (t)u +y (t)u +z(t)u .x y z
#» #»
Il est important de noter que les vecteurs unitaires u et u ne sont pas fixes par rapport àR :x y
#» #»
la dérivée par rapport au temps dansR de ces vecteurs n’est pas nulle. Exprimons u et u dansx y
#» #»la base (u , u ) en utilisant l’angle α introduit sur la figure 1.8.x y
#» #» #» #» # » #»
u = cos(α)u +sin(α)u et u =−sin(α)u +cos(α)u . Dérivons ces vecteurs par rapport aux x y y x y #» #» du du #»x y#» #» #» #» #» temps dansR : =−sin(α)˙αu +cos(α)˙αu =˙αu et =−α˙u . Or Ω= α˙u .x y y x z dt dtR R #» #» du #» du #»x y#» #» Nous constatons donc que : = Ω∧ u et = Ω∧ u .x y dt dtR R
#» #» #» #»Envisageons ainsi un vecteur A(t)=A (t)u +A (t)u +A (t)u et dérivons-le par rapport aux x y y z z
temps dansR :
#»dA #» #»#» #» #» #» #» ˙ ˙ ˙ =A (t)u +A (t)u +A (t)u +A (t)Ω∧ u +A (t)Ω∧ ux x y y z z x x y ydt R
#» #»
dA dA #» #» Ainsi : = + Ω ∧ A(t) : La dérivée par rapport au temps d’un vecteur dépend du dt dt R R
référentiel dans lequel on la calcule.L’essentiel du cours 17
Formule de la dérivation composée
#»R est un référentiel en mouvement de rotation uniforme de vecteur rotation Ω autour d’un

axe fixe par rapport au référentielR. Pour tout vecteur A(t) :
#» #»
dA(t) dA(t) #» #» = +Ω ∧A(t) dt dt R R
# »
Appliquons cette formule de dérivation à OM(t) pour composer les vitesses de M dans les deux
référentiels.
# » # »
dOM(t) dOM(t) #» # » #» # »#» #» v (t)= = +Ω ∧OM(t)= v (t)+Ω ∧OM(t).M/R M/R dt dt R R
Loi de composition des vitesses
#» #» La vitesse v (t) d’un pointM dansR et sa vitesse v (t) dansR en rotation uniformeM/R M/R

de vecteur rotation Ω par rapport àR autour de l’axe fixe contenant l’origine commune O
deR etR sont liées par la relation :
#» #» #»v (t)= v (t)+ v (t)M/R M/R e
#» # »#»où v (t)= Ω ∧OM(t) est appelée vitesse d’entraînement.e

#» # » #» d Ω ∧OM dv M/R#» Dérivons une seconde fois : a (t)= + , avecM/R dt dt
R R
#» #»
dv dv #»M/R M/R #» = +Ω ∧ v (t)M/R dt dt R R
#»#» #»= a (t)+Ω ∧ v (t)M/R M/R

#» # » d Ω ∧OM #» #» #» #» # »#» #»et = Ω ∧ v (t)= Ω ∧ v (t)+Ω ∧ Ω ∧OM(t)M/R M/Rdt R
#» #» #»# »#» #» #»Finalement : a (t)= a (t)+Ω ∧ Ω ∧OM(t) +2Ω ∧ v (t).M/R M/R M/R

#» #» # »
L’expression de Ω ∧ Ω ∧OM(t) peut se simplifier en introduisant le projeté orthogonal H de
M sur l’axe de rotation défini sur la figure 1.9.
z
•H
#» #»Ω uθ

#»M ur•O
Figure 1.9. Projeté du pointM sur l’axe de rotation.
#» #» # » #» #» # » #» # » #» # » # »2 2Ω ∧ Ω ∧OM(t) = Ω ∧ Ω ∧HM(t) = Ω ·HM(t) Ω −Ω HM(t)=−Ω HM(t).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.18 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Loi de composition des accélérations
#» #» L’accélération a (t) d’un point M dans R et son accélération a (t) dans R enM/R M/R

rotation uniforme de vecteur rotation Ω par rapport à R autour de l’axe fixe contenant
l’origine commune O deR etR sont liées par la relation :
#» #» #» #»a (t)= a (t)+ a (t)+ a (t)M/R M/R e c
#» #» # » # »#» 2• a (t)= Ω∧ Ω∧OM(t) =−Ω HM(t) est l’accélération d’entraînement. H este
le projeté de M sur l’axe de rotation (Oz) : l’accélération d’ent est axipète.
#»#» #»
• a (t)=2Ω∧ v (t) est l’accélération de Coriolis.c M/R
L’accéléromètre fixe par rapport à la plateforme en rotation donne l’accélération d’entraînement.
2La figure 1.10 montre l’évolution de l’accélération d’entraînement en fonction deΩ pour différentes
positions de l’accéléromètre, en très bon accord avec l’expression théorique :
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.5 r = 10cm
r = 20cm
−3.0
r = 30cm
r = 40cm
−3.5
r = 50cm
−4.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
2 −2Ω (s )
Figure 1.10. Accélération d’entraînement.
Méthode 1.1 : Composer les mouvements d’un pointM dans deux référentiels
Pour composer les mouvements d’un point M dans deux référentielsR etR :
• Identifier le type de mouvement du référentielR par rapport au référentielR.
#» #» #»• Écrire la loi de composition des vitesses v (t)= v (t)+ v (t) et utilisereM/R M/R
#»l’expression de la vitesse d’entraînement v (t) adaptée à la situation.e
#» #» #» #»
• Écrire la loi de composition des accélérations a (t)= a (t)+a (t)+a (t) enM/R M/R e c
#»utilisant les expressions adaptées de l’accélération d’entraînement a (t) et de l’accélé-e
#»ration de Coriolis a (t).c
Exercices (1.1) (1.2) (1.3)
L’accélération de Coriolis est nulle dans le cas d’un mouvement de translation deR
#» #»
par rapport àR car Ω= 0.
a /g
rL’essentiel du cours 19
Dans l’attraction Gravitron, un passager est plaqué contre la paroi de la salle en rotation. Tout se
passe comme s’il subissait dans le référentielR de la salle une force liée à la rotation deR par
rapport au référentiel terrestre : cette pseudo-force est qualifiée de force d’inertie.
Qu’avons-nous obtenu expérimentalement?
Présentons les résultats obtenus à l’aide du pendule modèle placé sur la plateforme tournante.
L’expérience est conduite en faisant varier la vitesse du moteur par paliers d’un vingtaine de
secondes, laissant le temps au pendule d’atteindre l’équilibre et à l’oscilloscope de calculer la
période de rotation.
Le schéma simplifié de la figure 1.11 présente les notations qui seront utilisées pour le repérage du
pendule dans le référentiel de la plateforme.
z •A
R
θ#»
Ω
Oy
× x
Figure 1.11. Schéma simplifié du pendule sur la plateforme.
Voici un exemple d’enregistrement de l’angle θ du pendule, réalisé pour R=45cm :
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 50 100 150 200 250
t (s)
Figure 1.12. Enregistrement de l’angle d’équilibre avecR=45cm.
Il apparaît que l’angle d’équilibre atteint par le pendule au cours de chaque palier augmente au
fur et à mesure que la vitesse angulaire de la plateforme augmente.
Nous souhaitons préciser l’expression de la force d’inertie qui déplace le pendule dans le référentiel
de la plateforme et proposer une loi reliant cet angle d’équilibre θ à la vitesse angulaire Ω.e
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
θ20 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Le pendule étant réalisé à l’aide d’une barre en plexiglas de massem et de longueurL sur laquelleb
est fixée un poids de masse mm , il est possible pour simplifier l’étude de modéliser le penduleb
par le pendule simple représenté sur la figure 1.13 constitué d’un point M de masse m relié au
point A par un fil sans masse de longueur L. Nous nous intéressons uniquement aux éventuelles
positions d’équilibre du pendule.
y
•A #»
T
#»uθ θM
• •H #»ur
#»R mg
• x
Oz
Figure 1.13. Modélisation par un pendule simple.
Peut-on appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentielR non
galiléen?
Commençons par déterminer l’équation du mouvement du point M dans le référentiel terrestreR
galiléen en appliquant la loi de la quantité de mouvement. En négligeant les frottements lorsque le
#»#»pendule est à l’équilibre dansR , le point M est soumis à son poids mg et à la tension T de la
#»#» #»tige. Ainsi : ma (t)= T +mg.M/R
#» #» #» #»Utilisons alors la loi de composition des accélérations a (t)= a (t)+ a (t)+ a (t). Nouse cM/R M/R
#» #» #»#» #» #» #» #» #»en déduisons : ma (t)= T +mg −ma (t)−ma (t), avec a (t)= 0 et a (t)= 0 sie c cM/R M/R
M est immobile dansR .
#»Le terme −ma (t) s’ajoute ainsi aux forces subies par M et explique le déplacement observé due

pendule par rapport au chariot. Nous notons ce terme F et l’appelons force d’inertie d’en-ie
#»traînement. Le terme−ma (t) s’ajoute aussi aux forces subies parM lorsque celui-ci se déplacec #»dansR . Nous notons ce terme F et l’appelons force d’inertie de Coriolis.ic
Loi de la quantité de mouvement dansR non galiléen
La loi de la quantité de mouvement s’applique au pointM de massem dans le référentiel non
galiléenR en mouvement de rotation uniforme autour de l’axe(Oz) par rapport àR galiléen
#» #»
en ajoutant aux forces F subies par M les forces d’inertie d’entraînement F (t) et dek ie

Coriolis F (t) :ic
#» #» #»#»ma (t)= F +F (t)+F (t)M/R k ie ic
k
#» #» #» # » # »#» 2avec F (t)=−ma (t)=−mΩ∧ Ω∧OM(t) =+mΩ HM(t)ie e
#» #»#» #»et F (t)=−ma (t)=−2mΩ∧ v (t).ic ic M/R
La force d’inertie d’entraînement est dirigée de l’axe de rotation vers l’extérieur,
perpendiculairement à l’axe : elle est dite axifuge.L’essentiel du cours 21
#»Utilisons la base polaire liée à M et projetons la loi de la quantité de mouvement suivant u enθ
2notantθ l’angle d’équilibre du pendule. Nous obtenons : 0=−mgsin(θ )+mΩ HM cos(θ ) avece e e
2tan(θ ) Ωe
HM =R+Lsin(θ ). Ainsi : = .e
R+Lsin(θ ) ge
Nous avons mesuré les angles d’équilibreθ avec un pendule de longueurL = 11cm pour différentese
positions du pendule (c’est-à-dire différentes valeurs deR) et différentes vitesses angulaires Ω puis
2nous avons tracé tan(θ )/(R+Lsin(θ )) en fonction de Ω /g (voir figure1.14).e e
6
R = 10cm
R = 15cm
5
R = 20cm
R = 25cm
4 R = 30cm
R = 35cm
R = 40cm3
R = 45cm
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6
2 −1Ω /g (m )
Figure 1.14. Enregistrement de l’angle d’équilibre pour différentes valeurs deR.
La loi liant θ à Ω est en bon accord avec les résultats expérimentaux obtenus.e
Peut-on appliquer la loi du moment cinétique dansR non galiléen?
La loi du moment cinétique s’applique au pointM dans le référentiel non galiléenR en mouvement
de rotation uniforme autour de l’axe (Oz) par rapport àR galiléen en ajoutant aux moments des
#» #» #»
forces F subies parM le moment des forces d’inertie d’entraînement F (t) et de Coriolis F (t).k ie ic
Loi du moment cinétique par rapport à un pointA fixe dansR non galiléen
Le référentielR est en mouvement de rotation uniforme autour de l’axe (Oz) par rapport au
référentielR galiléen.
#» SiA est un point fixe deR , la dérivée temporelle dansR du moment cinétique L d’unA/R
point matérielM par rapport àA est égale au moment enA des forces appliquées àM, forces
d’inertie d’entraînement et de Coriolis incluses :
#» dL # » #» # » #» # » #»A/R = M (F )+M (F )+M (F )A k A ie A icdt R k
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
tan(θ )
e −1
(m )
R+Lsin(θ )
e22 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Loi du moment cinétique par rapport à un axe (Δ) fixe dansR non galiléen
Le référentielR est en mouvement de rotation uniforme autour de l’axe (Oz) par rapport au
référentielR galiléen.
Si (Δ) est un axe orienté fixe dansR , la dérivée temporelle dansR du moment cinétique
L d’un point matériel M par rapport à (Δ) est égale au moment par rapport à (Δ) desΔ/R
forces appliquées à M, forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis incluses :

dL #» #» #»Δ/R = M (F )+M (F )+M (F )Δ k Δ ie Δ icdt R k
Appliquons la loi du moment cinétique au pendule simple dansR par rapport à l’axe (Az) fixe
2dansR . Nous obtenons : −mgLsin(θ )+mΩ (R+Lsin(θ ))Lcos(θ )=0 à l’équilibre et retrou-e e e
vons bien la relation obtenue à l’aide de la loi de la quantité de mouvement.
Comment réaliser un bilan énergétique dansR non galiléen?
Nous écrirons les lois énergétiques dans un référentielR non galiléen comme dans un référentiel
galiléen en tenant compte de la force d’inertie d’entraînement.
La force de Coriolis ne travaille pas dansR ! Pour nous en convaincre, écrivons #» #» #»la puissance de cette force dansR :P = −2m Ω ∧ v (t) · v (t)=0.c/R M/R M/R
Lois énergétiques dansR non galiléen
Le référentielR est en mouvement de rotation par rapport au référentielR galiléen autour
de l’axe (Oz) fixe dansR.
• Loi de la puissance cinétique dansR .
La dérivée temporelle de l’énergie cinétiqueE d’un point matérielM dansR est égalec
à la puissance des forces appliquées à M, force d’inertie d’entraînement incluse :
dEc/R #» #»
= P (F )+P (F )/R k /R ie
dt
k
• Loi de l’énergie cinétique dansR .
La variation de l’énergie cinétique E d’un point matériel M dansR qui se déplacec
entre les instants t et t de la position M à la position M est égale à la somme des1 2 1 2
travaux des forces appliquées à M, force d’inertie d’entraînement incluse :
#» #»
Δ(E )=E (t )−E (t )= W (F ) +W (F )c/R c/R 2 c/R 1 /R k M →M /R ie M →M1 2 1 2
k
Entre deux instants infiniment proches :
#» #»
dE = δW (F )+δW (F )c/R /R k /R ie
kL’essentiel du cours 23
#» # »2 2 #»Montrons que la force d’inertie d’entraînement est conservative : F = mΩ HM = mΩ ru enie r
#» #» #»
introduisant la base cylindrique (u ,u ,u ). Le travail élémentaireδW de cette force lors dur θ z ie/R
2 2#» #» #» mΩ r#» #» #» 2déplacement d =dru +rdθu +dzu est δW =F ·d =mΩ rdr =−d − . Lar θ z ieie/R
2
#» 1 2 2force F est bien conservative et dérive d’une énergie potentielle E = − mΩ HM définie àie p,ie
2
une constante additive près.
Énergie potentielle d’inertie d’entraînement
Dans le cas d’un référentielR en mouvement de rotation par rapport au référentielR galiléen

autour de l’axe(Oz) fixe dansR, la force d’inertie d’entraînementF (t) subie par un pointMie
1#» 2 2est conservative. L’énergie potentielle dont dérive F (t) s’écrit : E =− mΩ HM à uneie p,ie
2
constante additive près, H étant le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz).
La position d’équilibre du pendule simple sur la plateforme peut être retrouvée par une approche
énergétique. Le poids et la force d’inertie d’entraînement étant conservatives, l’énergie potentielle
1 2 2de M s’écrit : E = −mgLcos(θ) − mΩ (R + Lsin(θ)) + cste. Une position d’équilibre θp e
2
correspond à un extremum de E :p
dEp 2(θ )= 0=mgLsin(θ )−mLΩ (R+Lsin(θ ))cos(θ ). Nous retrouvons la position d’équilibree e e e

obtenue par les deux premières méthodes.
2d Ep
Par ailleurs, nous pouvons montrer que (θ )> 0 : la position d’équilibre est stable.e2dθ
Méthode1.2:Appliquerlesloisdeladynamiquedansunréférentielnongaliléen
Pour étudier le mouvement d’un point M de masse m dans un référentiel non galiléenR :
• Identifier le type de mouvement du référentiel d’étudeR par rapport à un référentiel
galiléenR.
• Exprimer les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis subies par M.
• Choisir la loi de la dynamique adaptée et l’appliquer comme dans un référentiel galiléen
en n’oubliant pas d’ajouter aux forces subies par M les forces d’inertie.
Exercices (1.4) (1.5)
Comment mettre en évidence l’influence de la force de Coriolis?
La force de Coriolis n’est pas intervenue dans l’expérience précédente car elle était orthogonale au
#» #» #» #»plan d’oscillation du pendule (F ⊥ Ω et F ⊥ v (t)). Par ailleurs, la force de Coriolis étaitic ic M/R
nulle à l’équilibre du pendule dansR .
Nous avons donc légèrement modifié le dispositif de l’expérience précédente en fixant un cadre pour
soutenir un pendule pesant constitué d’une boule en fer suspendue par un fil en lin : l’extrémité
du pendule n’est plus contrainte de se déplacer dans un plan vertical par rapport àR .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.24 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Caméra
#»g
LED
Électroaimant
Microcontrôleur
Photodiode
Moteur
Oscilloscope
Figure 1.15. Mise en évidence de la force de Coriolis.
Un électroaimant fixé sur le cadre est alimenté par une pile via un transistor commandé par un
microcontrôleur. Il est ainsi alimenté pendant 10s au début de l’expérience, le temps de retenir la
boule pendant que le plateau est mis en rotation. Alors qu’une vitesse de rotation constante est
atteinte, la boule est libérée sans vitesse initiale dans le référentiel du plateau. Son mouvement est
observé par une caméra solidaire du plateau, fixée à environ 65cm de hauteur.
Les mouvements du pendule enregistrés à 30 images par seconde pour des périodes de rotation
du plateau T = 12,3s et T = 17,1s sont représentés respectivement sur les figures 1.16 et 1.17.
L’instant t =0 coïncide avec le début du mouvement.
T = 12,3s T = 17,1s
80 80
t =0.53
t =0.53 t =1.5360 60
t =1.53 t =2.57
40 40
t =3.60t =2.57
20 20
0 0
t =3.60t =3.10
−20 −20
t =3.10
t =2.07−40 −40
t =2.07
−60 t =1.03 −60
t =1.03t =0 t =0
−80 −80
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80
Figure 1.16. Mouvement du pen- Figure 1.17. Mouvement du
pendule pour T = 12,3s. dule pour T = 17,1s.
Nous constatons que le plan d’oscillation du pendule dansR tourne lui-même autour de l’axe (Oz)
de rotation de la plateforme en sens inverse de celle-ci dansR!L’essentiel du cours 25
Le schéma de la figure 1.18 montre en vue de dessus le début de la trajectoire de l’extrémitéM du
pendule lorsqu’il est lâché de M à l’instant t=0. Le plan dans lequel oscillerait le point M siR0
était galiléen est indiqué en pointillés. La force d’inertie d’entraînement étant axifuge, elle n’est
pas responsable de la déviation observée au contraire de la force de Coriolis qui est perpendiculaire
à la vitesse de M dansR .
#»v M/R
M•

F ic

Ω

t=0
M0•
Figure 1.18. Force de Coriolis et rotation du plan d’oscillation du pendule.
Cette expérience rappelle la célèbre expérience du pendule de Foucault mettant en
évidencelarotationdelaTerreetparconséquentlecaractèrenongaliléenduréférentiel
terrestre.
3 Caractère galiléen d’un référentiel
Nous avons postulé avec bonheur le caractère galiléen du référentiel terrestre pour interpréter nos
expériences. De façon générale, nous considérerons qu’untiel est galiléen si les résultats
expérimentaux n’infirment pas les résultats théoriques obtenus en appliquant les lois de la dynamique
de Newton. Dans le cas contraire, nous devons tenir compte des forces d’inertie.
Le référentiel de Copernic est-il galiléen?
Le repère associé au référentiel de CopernicR a pour origine le centre de masse du système solairec
et possède trois axes pointant vers des étoiles « fixes ».
Il s’agit du meilleur référentiel galiléen possible pour un observateur situé dans le système solaire.
Le référentiel de Kepler R (ou héliocentrique) diffère du référentiel de Copernick
puisque le repère qui lui est associé est centré sur le centre de masse du Soleil, proche
du centre de masse du système solaire, ses axes pointant vers des étoiles « fixes ». En
mouvement de translation par rapport au référentiel de Copernic, il est néanmoins lui
aussi un excellent référentiel galiléen, adapté à l’étude du mouvement des planètes du
système solaire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.26 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Le référentiel géocentrique est-il galiléen?
Le repère associé au référentiel géocentriqueR est centré sur le centre de masse T de la Terre etg
doté de trois axes pointant vers des étoiles « fixes » : il est en mouvement de translation
quasicirculaire par rapport au référentiel de Kepler. Nous noterons R le rayon de l’orbite terrestre.g
Nous avons utilisé ce référentiel en première année pour étudier le mouvement des satellites autour
de la Terre. Était-il légitime de le supposer galiléen?
M

RS T RR• • g
Rg
Figure 1.19. Satellite géostationnaire et caractère galiléen du référentiel géocentrique.
Envisageons le cas d’un satellite géostationnaire assimilé à un pointM de massem en orbite
quasi4circulaire de rayon R =4,2·10 km. Appliquons la loi de la quantité de mouvement au satellite
dans le référentiel géocentrique.
#» #»#» #»ma =mG (M)+mG (M)−maM/R t s eg
#» #» #» #»La force d’inertie d’entraînement F =−ma où a = a traduit le caractère non galiléenie e e T/Rk#» #»
de R . G (M) et G (M) sont les champs de gravitation en M respectivement de la Terre et dug t s
Soleil. L’influence des autres astres est négligeable.
#»L’accélération d’entraînement a s’obtient simplement en appliquant la loi de la quantité de mou-e
vement à la Terre dans le référentiel de Kepler galiléen :
#»#»m a =m G (T)t t sT/Rk
en négligeant l’influence des autres astres. Ainsi, le mouvement du satellite M obéit à l’équation

#» #» #»#»ma =mG (M)+m G (M)−G (T)M/R t s sg
#» #»
Le terme différentiel G (M)−G (T) est négligeable devant le champ de gravitation terrestre cars s
RR . Nous pouvons alors écrire :g
#»#»ma ≈mG (M)M/R tg
Il est effectivement possible de supposer le référentiel géocentrique galiléen à condition de négliger
la force de gravitation exercée par le Soleil.
Cependant, le caractère non galiléen du référentiel géocentrique est impliqué dans l’explication
#» #»
du phénomène des marées. Le terme différentiel G (M)−G (T) est d’ailleurs appelé terme dess s
marées.
Le référentiel terrestre est-il galiléen?
LeréférentielterrestreR n’estentouterigueurpasgaliléenpuisqu’ilestenmouvementderotationt #»
par rapport au référentiel géocentrique R avec un vecteur rotation Ω quasiment uniforme. Lag t

période de rotation, ou jour sidéral, est T = 24h.t
ΩtL’essentiel du cours 27
Envisageons dans un premier temps un objet au repos par rapport à R . La figure 1.20 présentet
le principe du fil à plomb : un pointM de masse m est relié à un point fixe O par l’intermédiaire
d’un fil.
# »2Ω HMtM
• •H

O
#» α
G (M)t

Ωt
#»g(M)
•M λ

TFigure 1.20. Pendule à l’équilibre.
Figure 1.21. Pesanteur et latitude.
Définition : Verticale d’un lieu
Un fil lesté et immobile définit la verticale du lieu où il est situé.

Les forces s’exerçant sur M à l’équilibre sont la tension T du fil, la force de gravitation terrestre
m m # » #» # »t 2−G TM =mG (M) et la force d’inertie d’entraînement mΩ HM, H étant le projeté de Mt t3TM
sur l’axe de rotation de la Terre comme précisé sur la figure 1.21. La force de Coriolis appliquée
#»#» # » #»2àM est nulle puisqueM est au repos. Ainsi : T +mG (M)+mΩ HM = 0.t t
#» #»
Nous appelons poids deM la force P(M) qui s’oppose à la tension T du fil à l’équilibre :
#» #» # » #» #»2P(M)=mG (M)+mΩ HM =mg(M), où g(M) est par définition le champ de pesanteur enM.t t
Poids d’un corps et champ de pesanteur

Le poids P(M) d’un point matériel M de masse m est la somme de la force de gravitation
#» # »2terrestre mG (M) et de la force d’inertie d’entraînement mΩ HM. Le champ de pesanteurt t#»#» #»g(M) est défini en M par P(M)=mg(M).
Même en supposant la Terre parfaitement sphérique et homogène, la verticale d’un lieu
ne passe pas en toute rigueur par le centre T de la Terre à cause de la force d’inertie
d’entraînement, sauf aux pôles et à l’équateur.
L’effet de la force d’inertie d’entraînement est maximal à l’équateur : comparons alors les termes
3de gravitation et d’inertie pour un point situé au voisinage de la surface terrestre.R =6,4·10 kmt
2 2R Ωt t −3étant le rayon de la Terre, 3·10 : le terme d’inertie représente au maximum 0,3%2GM /Rt t
du terme de gravitation. En supposant la Terre parfaitement sphérique, la norme de g varie ainsi
−2 −2de 9,81m·s aux pôles à 9,78m·s à l’équateur.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.28 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
L’aplatissement de la Terre et la répartition inhomogène de sa masse sont d’autres
causes importantes de la variation du champ de pesanteur avec la latitude.
Estimons maintenant l’angle α entre la verticale en M situé à la latitude λ et la direction TM
(voir figure 1.21). Nous pouvons écrire :
2 2 2 3Ω HM g(M) Ω R cos(λ)sin(λ) Ω R cos(λ)sin(λ)t t t t t
= . Comme g(M)G (M), sin(α)= .t
sin(α) sin(λ) g(M) GMt
−3À Rennes, située à la latitude λ = 48° : α 2·10 rad. Cet angle est extrêmement faible : la
verticale du lieu passe quasiment par le centre de la Terre.
La force d’inertie d’entraînement liée au mouvement de rotation du référentiel
terrestre par rapport au référentiel géocentrique est prise en compte dans la définition
du poids d’un objet. Le caractère non galiléen du référentiel terrestre repose donc sur
l’importance de la force de Coriolis.
Dans la première expérience du pendule monté sur un chariot accéléré, évaluons la norme maximale
del’accélérationdeCoriolisaupointM ensupposantquelavitesseM atteigneunevaleurdel’ordre
#»−1 #» #» −4 −2 −2de 3m·s : a (M) = 2Ω ∧ v 2Ω v 4·10 m·s g =9,8m·s . Ilic t M/Rt t M/Rt
apparaîtquelaforcedeCoriolisesticitropfaiblepourjouerunrôlesignificatifdansl’interprétation
théorique de l’expérience : le référentiel terrestre peut dans ce cas être considéré comme galiléen.
La force de Coriolis, c’est-à-dire le caractère non galiléen du référentiel terrestre, joue en revanche
un rôle important dans l’étude de phénomènes impliquant de grandes échelles de temps ou d’espace
tels que les courants marins ou les déplacements des masses d’air atmosphérique.Interro de cours 29
Interrodecours
Dans l’expérience E1, un point matériel M de masse m est en mouvement de chute libre dans un
#» #» #»
train(référentielR repérépar(O , u , u , u ))entranslationuniformémentaccéléréd’accéléra-x y z
#» #» #» #» #»tion a =au parrapportauréférentielR liéausol,supposégaliléenetrepérépar(O, u , u , u ).x x y z
Dansl’expérienceE2,lemêmepointM glissesansfrottementdansleguidecirculairederayonR
so #» #» #»
lidaire d’un plateau (référentielR repéré par (O,u , u , u )) tournant autour de l’axe fixe (Oy)x y z
#» #»à la vitesse angulaire constante Ω =Ωu par rapport au référentiel terrestreR supposé galiléen.y
y
yy E1 E2#»R uθ
M•
#» #»a ur#» #»g g
θxO z •Oz x M x
• •
Oz
Figure 1.22. Présentation schématique des expériences E1 et E2.
Les questions 1. et 2. concernent l’expérience E1 alors que les questions 3. et 4. sont relatives à
l’expérience E2.
Les affirmations suivantes sont-elles exactes?
1. Dans l’expérience E1, si le train possède une vitesse nulle à l’instant initial t =0 :
#» #» #» #» #»
(a) v = v + v avec v = at.M/R M/R e e
#» #» (b) a = a carR est en translation par rapport àR.M/R M/R
(c) R est galiléen car en mouvement de translation par rapport àR galiléen.
#»2. Les frottements sont négligés et g est l’accélération de la pesanteur. Si M est lâché à
l’instant t =0 sans vitesse initiale depuis une hauteur h par rapport au plancher du train :

(a) Le mouvement de M est rectiligne dansR , le temps de chute vaut (2h/g).
#»(b) M subit dansR une force d’inertie d’entraînement ma.

(c) Le temps de chute est (2h/g) et la trajectoire parabolique dansR .
3. La position du point M étant repérée par l’angle θ dans l’expérience E2 :
#» #»˙(a) Le vecteur rotation angulaire deR par rapport àR est Ω=θu .y
#» #» #» #» #»˙ (b) v =Rθu et v = v −Rsin(θ)Ωu .θ zM/R M/R M/R
#» #» #» #» 2 #»(c) a = a + a avec a =−Ω Rsin(θ)u .M/R M/R e e x
4. Nous nous intéressons alors aux éventuelles positions d’équilibre de M dansR .
(a) La force de Coriolis appliquée à M est nulle lorsque M est à l’équilibre.
2Ω 2 2(b) M possède une énergie potentielle E =−mgRcos(θ)−m R sin (θ)+cste.p
2
(c) θ =0 est toujours une position d’équilibre stable.e1
2 2(d) Si g >RΩ , θ = arcos(g/RΩ ) est une position d’équilibre stable et θ est instable.e2 e1
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.30 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Exercices
Exercice 1.1 La rivière sauvage
Méthode (1.1)
Gail,championnederaft,estcontraintepardeuxmalfratsderemonterlecoursdelarivièresauvage
Bridal Creek. Elle se trouve dans un premier temps dans une zone où la vitesse de la rivière par
#» #» −1rapport à la rive est constante, égale à v =v u avec v = 80cm·s .e e x e
#» #»1. Gail voudrait maintenir par rapport à la rive une vitesse de croisière v = −v u aveca a x
−1 #»v =2,0km·h . Quelle doit être sa vitesse v par rapport à la rivière pour atteindre cea r
but?
Elle arrive alors à l’instant t =0 dans une zone de rétrécissement, où le flot subit une accélération
#» #» −2constante par rapport à la rive, a =a u avec a =5,0cm·s .e e x e
2. Dans l’hypothèse où Gail commencerait par maintenir la même vitesse que précédemment par
rapport au fleuve, déterminer ce que seraient :
#»a. Sa vitesse v (t) par rapport à la rive; arrive-t-elle encore à progresser aussi vite quea,1
souhaité?
#»b. Son accélération a (t) par rapport au fleuve.r,1
#»c. Son a (t) par rapport à la rive.a,1
3. Elle décide immédiatement (à t =0) de mettre les bouchées doubles, afin de continuer à
maintenir la même vitesse de croisière par rapport à la rive qu’au début de son voyage. Déterminer
alors :
#»a. Sa vitesse v (t) par rapport au fleuve. Sachant que la vitesse maximale pouvant atteindrer,2
−1Gail par rapport au fleuve est de 5,5km·h , combien de temps pourra-t-elle maintenir
cette cadence?
#»b. Son accélération a (t) par rapport à la rive.a,2
#»c. Son a (t) par rapport au fleuve.r,2
Exercice 1.2 Thierry se lâche!
Méthode (1.1)
Se prenant pour son héros Thierry la Fronde, le petit Thierry, immobile sur un plateau de manège
de centre O tournant à la vitesse angulaire ω constante autour de l’axe vertical (Oz), brandit
au-dessus de sa tête une fronde de rayon r = 20cm à l’extrémité de laquelle se trouve un caillou
assimiléàunpointmatérielM.OnassimileThierryàunetigeTz dehauteurL = 155cm.Lafronde
est en rotation à la vitesse angulaire ω autour de Tz. Thierry est situé à la distance R =2,0m du
centre du manège. On utilisera des bases polaires adaptées au problème.
1. On considère le référentielR lié au plateau tournant et le référentielR lié au sol. Faire un
schéma clair de la situation et caractériser le mouvement deR par rapport àR.
2. Déterminer l’expression de la position, puis de la vitesse et de l’accélération de M dansR .
3. Exprimer dans les bases choisies la vitesse d’entraînement en M, puis les accélérations
d’entraînement et de Coriolis en M en considérantR en mouvement par rapport àR.Exercices 31
4. En déduire les expressions de la vitesse et de l’accélération de M dans le référentielR.
Exercice 1.3 Elysium
Méthode (1.1)
En 2517, la station spatiale Elysium est inaugurée et mise en marche par le président de l’humanité
E. McRon.
#»uθ #» De forme torique de section rectangulaire, Elysium tourneur• autour d’un axe (Oz) à la vitesse angulaire constanteω afinM
Oz de créer une gravité artificielle de l’ordre de g.

La partie habitée de la station se situe entre les cylindres
de rayons R et R+h avec h = 10mR.
R −2L’accélération de la pesanteur sur Terre est g =9,8m·s .
R+h
1. Rappeler les expressions des accélérations d’entraînement et de Coriolis en un point M de la
#»station situé à la distance r de l’axe (Oz). Préciser le champ de gravité artificiel g (r) généréA
par la rotation de la station. Les habitants marchent-ils sur le cylindre intérieur ou extérieur?
2. La force de Coriolis doit être minimisée pour éviter des désagréments aux résidents. Estimer la
vitesse angulaire maximale ω à ne pas dépasser pour que l’accélération de Coriolis subie parm
#» #» −1un habitant marchant à la vitesse v =v u avec v =1,0m·s n’excède pas g/25.0 0 θ 0
3. La station tourne autour de (Oz) à raison de 2,0tours par minute. Quel rayon R permet
d’obtenir une gravité de 1,0g en R+h? Calculer la variation relative de gravité entre r = R
et r =R+h. Conclure.
Exercice 1.4 Un accéléromètre qui ne manque pas de ressorts
Méthode (1.2)
La figure ci-dessous schématise un accéléromètre destiné à mesurer une accélération suivant l’axe
horizontal(Ox).Ilestconstituéd’unemassemassimiléeàunpointM etdedeuxressortsidentiques
de raideur k et de longueur à vide reliés à un boîtierB de longueur 2 . Celui-ci subit une0 0
#» #» #» #» #»accélération a =au dansleréférentielterrestreR supposégaliléenetrepérépar(O, u , u , u ).x x y z
# »
#» #» #» #»
LeréférentielR duboîtierestrepérépar(O , u , u , u )etM yapourabscissex =O M·u .x y z x
y y
B
#»M a

xO•Oz
• x
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.32 Chapitre 1 Référentiels non galiléens
Outre les forces de rappel des ressorts, M subit la réaction du boîtier, une force de frottement
#»˙ fluide −2hx u ( h étant le coefficient de frottement fluide) mais pas de frottements solides.x
1. Préciser le type de mouvement du référentielR par rapport àR puis les éventuelles
accéléra#» #» tions d’entraînement a et de Coriolis a dansR .e c
2. EnappliquantlaloidelaquantitédemouvementàM dansR ,montrerquex obéitàl’équation
différentielle :
ω0 2 ¨ ˙x + x +ω x =−a0
Q
où ω et Q sont des constantes qui seront explicitées en fonction des données.0
#» #»3. L’accélération du boîtier est dorénavant sinusoïdale : a(t)= a cos(ωt)u . Nous cherchons0 x
l’élongation x en régime permanent en utilisant la notation complexe. L’amplitude complexe
X de l’élongation des ressorts est ainsi définie par x (t)=Re X exp(iωt) .m m
a. Déterminer le lien entre X et a .0m
b. Montrer qu’il existe un domaine de fréquences dans lequel l’élongationx (t) est directement
mproportionnelle à l’accélération a(t) du boîtier, avec x (t)=− a(t). Conclure.
2k
Exercice 1.5 Mission impossible
Méthode (1.2)
En mission (impossible) sur la station spatiale Elysium, Ethan se trouve une nouvelle fois dans
une situation très délicate. Suspendu au plafond juste au-dessus du dangereux trafiquant de hand
spinner Erik Sinistro, des gouttes de sueur commencent à perler sur son front.
#»Le champ de gravité artificiel g dans la station est supposéy
uniforme. Ce champ est assuré par la rotation de la station•G0
autour d’un axe fixe par rapport au référentiel galiléenRg
#» #» −1à la vitesse angulaire ω =ωu avec ω =0,21rad·s .z
Le référentiel R lié à la station est repéré par le repère
#» #» #» #»g (A,u ,u ,u ) dont l’origineA est prise sur le sommet dux y z
crâne de Sinistro.
Ax Les frottements sont négligés et l’accélération de la pesan-×
−2z teur artificielle est g =9,8m·s .
À l’instant t =0, une goutte de sueur tombe sans vitesse initiale du front d’Ethan. La goutte sera
assimilée à un point matérielG de massem repéré par ses coordonnées (x,y,z). Sa position initiale
est G à l’ordonnée y =9,0m.0 0
#»#»1. Le référentielR n’étant pas galiléen, la goutte subit la force mg et la force de Coriolis F .ic#»
Rappeler l’expression de F .ic
2. Appliquer la loi de la quantité de mouvement à G dans le référentiel R et montrer que le
mouvement de la goutte s’effectue dans le plan (Oxy).
3. Projeter la loi de la quantité de mouvement suivant (Ox) et (Oy) et simplifier le système obtenu
en supposant que |2ωx˙|g.
4. Déterminer alors l’abscisse x de la goutte lorsqu’elle arrive dans le plan y =0 et concluref
quant aux craintes d’Ethan d’être découvert. Discuter de la légitimité de l’hypothèse effectuée
dans la question précédente.Exercices 33
Exercice 1.6 Servi sur un plateau
Parmi les nombreuses activités proposées à la Cité des Sciences de La Villette se trouve un manège
destiné à mettre en évidence les forces d’inertie.
Ce manège est un plateau circulaire de rayona = 3m tournant autour de son axe vertical (Oz) fixe
−1àlavitesseangulaireω = 4tours·min .L’animateurseplaceaucentreOduplateau.Lesvisiteurs
situés sur la périphérie du manège lui lancent des balles en mousse en le visant soigneusement.
Pourtant, aucune de ces balles ne l’atteint.
On néglige tout frottement.
1. Que penser du référentielR lié au plateau tournant?
2. On envisage le lancer d’une balle assimilée à un point M de masse m. Faire un bilan des forces
exercées sur la balle et expliquer qualitativement pourquoi la balle n’atteindra pas l’animateur
visé.
−13. La vitesse initiale de la balle est radiale de norme v = 20m·s . Estimer de quelle distance0
la balle ratera sa cible.
Exercice 1.7 Bouclez vos ceintures!
Arnold S., champion d’haltérophilie, est persuadé qu’à la force de ses bras, il est capable de se
retenir lors d’un crash automobile à vitesse réduite et décide ainsi de ne pas mettre sa ceinture lors
de ses déplacements en ville. Prouvons à Arnold qu’il a tort.
Nous allons pour cela émettre les hypothèses suivantes :
• Le choc est un choc frontal avec un mur, on considère l’origine des temps à l’instant de
contact entre l’avant du capot et le mur.
• Juste avant le choc, le véhicule se déplace horizontalement selon l’axe des x, sa vitesse par
−1rapport au référentiel terrestre supposé galiléen étant v = 50km·h .0
#» #»• Durant le choc, l’accélération du siège d’Arnold, a =au , est de norme constante.x
• À la fin du choc, l’avant du véhicule s’est écrasé de d = 90cm et le véhicule est immobile.
On précise que la masse d’Arnold est m = 110kg.
2v01. Quel est le signe de a? Déterminer la durée Δt du choc et montrer que a = − . Calculer
2d
numériquement a et Δt.
2. Déduire des résultats précédents la force d’inertie d’entraînement subie par Arnold. Sachant
que le champion du monde d’haltérophilie dans la catégorie des plus de 105kg soulève 215kg
à l’arraché, sera-t-il possible à Arnold de se retenir à la force des bras?
3. D’après vous, sur quels paramètres physiques agit le port de la ceinture de sécurité?
−14. Commenter aussi l’affirmation de la sécurité routière : « un choc à 50km·h non attaché
correspond à une chute de 3 étages ».
−2On donne la valeur de l’accélération de la pesanteur g =9,8m·s .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.