Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle

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Quand on pense triangle surgissent dans nos esprits les traditionnels théorèmes de Thalès et de Pythagore... Il y a pourtant plus à connaître de cette figure. En compagnie de F. Lobit, petite revue de détail donc de ces propriétés multiples, des notions de base aux problèmes d'extremum, en passant par les droites et points remarquables du triangle ou les triangles particuliers. Ouvrage à deux niveaux, constitué premièrement d'un exposé et d'une démonstration synthétiques des propriétés du triangle, et complété par des annexes qui permettent d'approfondir ses connaissances, ce vade-mecum trouvera naturellement sa place dans les bibliothèques des férus de mathématiques et de géométrie.

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Ajouté le 13 août 2015
Nombre de lectures 312
EAN13 9782342040869
Langue Français
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Propriétés géométriques
exceptionnelles du triangle






François Lobit










Propriétés géométriques
exceptionnelles du triangle























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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015
Introduction
Un de mes professeurs de mathématiques m'avait dit dans ma
jeunesse combien il trouvait regrettable d'avoir passé autant de
temps à étudier le triangle. Si en effet on peut sʼétonner de consacrer
et d'avoir consacré tant dʼefforts à cette figure, force est de constater
quʼelle réunit un nombre considérable de propriétés quʼil semble bon
dʼappréhender.
J'avoue avoir été déçu de ne pas avoir trouvé d'ouvrage à la fois
simple et complet résumant toutes ces propriétés. Aussi ai je été
tenté dʼexposer, dans une certaine logique, les différentes propriétés
du triangle qui, de mon point de vue, méritaient d'être connues. La
plupart des démonstrations ont été volontairement omises dans la
partie principale pour alléger ce petit ouvrage qui se veut accessible
au plus grand nombre ; pour la plupart d'entre elles, elles sont
développées en annexes correspondantes.
***
Après un premier chapitre (chapitre 0) concernant les différentes
définitions et éléments de vocabulaire concernant le triangle, j'ai
essayé de résumer dans le premier chapitre (chapitre 1), les trois
notions à la base de toutes les démonstrations concernant cette
figure : sommes des angles dans un triangle, triangles semblables,
angles inscrits et points cocycliques. A la différence des autres
chapitres, j'ai souvent détaillé dans la partie principale les
démonstrations fondamentales qui servent de manière continue dans
la suite de l'ouvrage.
Le triangle dispose de propriétés remarquables par rapport à certains
de ses points fondamentaux ainsi que sur les points de concours de
céviennes caractéristiques de cette figure. Cette partie (chapitre 2)
est complétée par les notions fondamentales de droites isogones et
isotomiques.
3Divers cercles attachés au triangle lui offrent des propriétés
singulières. Ils constituent l'objet du chapitre 3. Des droites et points
attachés à ces cercles viennent compléter ce descriptif.
La partie suivante (chapitre 4) essaie d'apporter un éclairage aussi
complet que possible sur la manière de repérer un point par rapport
à un triangle. Une synthèse finale vient présenter les échanges
possibles entre ces cinq possibilités de repérage.
Trois catégories de triangles particuliers occupent une place
importante dans la géométrie plane ; le chapitre 5 résume les
propriétés les plus fondamentales de ces trois types de figures
(isocèle, rectangle, équilatéral).
La trigonométrie est alors abordée dans la partie suivante (chapitre
6). Après les définitions fondamentales, l'apport de la géométrie
vectorielle est abordé. Les propriétés analytiques générales des
fonctions trigonométriques y sont enfin rapidement évoquées.
Le triangle de manière générale fait l'objet de nombreuses relations
métriques et trigonométriques qui facilitent une approche quantitative
de la figure (chapitre 7). Certaines inégalités importantes y sont
également introduites. Enfin, la possibilité de traduire
géométriquement les opérations numériques élémentaires y est
abordée.
De nombreux problèmes d'extrémums sont basés sur la figure
géométrique du triangle. Le théorème d'Erdös Mordel vient conclure
cette partie plus courte (chapitre 8) dans sa partie principale que ses
homologues.
Enfin, quelques propriétés aussi remarquables que curieuses sont
présentées dans le chapitre 9. Certaines de ces pistes sont à
l'origine de "géométries particulières" qui font l'objet de
développements récents.
Les annexes correspondantes à ces chapitres permettent de
développer, la majeure partie du temps, les démonstrations
nécessaires aux propriétés et notions introduites.
4La fin de l'ouvrage vient résumer les notations utilisées, quelques
données de repérage des principaux points décrits et présenter un
index, une table des matières et la bibliographie utilisée.
***
J'espère ainsi avoir mis à la portée de tous des connaissances
singulières et utiles.

---------------Précision
Les définitions des diverses notions introduites sont surlignées pour
la première fois qu'elles sont évoquées, en gras.
Les propositions et théorèmes cités sont indiquées en italiques.
5 Chapitre 0
quʼest-ce quʼun triangle ?
Un triangle est un polygone formé de trois cotés. Autrement dit, trois
droites non parallèles deux à deux se coupent en trois points appelés
sommets entre lesquels se trouvent les cotés du triangle. Chaque
sommet définit entre deux droites un angle intérieur et un angle
extérieur qui se mesurent en radians (ou en degrés ou en grades).
!Deux droites perpendiculaires définissent un angle de radians 2
soit 90° (degrés) ou 100 gr (grades) qui est un angle droit. Un angle
!inférieur à radians est aigu ; à lʼinverse, il est obtus. Deux 2
!angles sont complémentaires quand leur somme est égale à 2
radians, supplémentaires quand leur somme est égale à ! radians.
Ainsi à un sommet noté A correspond à un angle intérieur nommé a,
un angle extérieur nommé aʼ et un coté opposé de longueur a. Les
angles a et aʼ sont supplémentaires. Et ainsi de suite pour les
autres sommets.
fig. 0,1
7Quelques triangles ont des vertus particulières :
Un triangle équilatéral dispose de trois cotés et donc de trois
angles égaux.
A lʼinverse, un triangle scalène a ses trois cotés inégaux et par voie
de conséquence, ses trois angles différents.
Un triangle isocèle a deux de ses côtés de longueur égale et donc
deux angles égaux.
Un triangle rectangle comporte un angle droit. Le coté opposé à cet
angle droit se dénomme hypoténuse et les deux autres cotés,
cathètes.
!Enfin, un triangle qui tous ses angles aigus (inférieurs à radians) 2
est appelé acutangle. A lʼinverse, il sera obtusangle.
Nous le verrons, un triangle est parfaitement défini soit
par les coordonnées de chacun des trois sommets•
par la longueur des chacun des trois cotés (au •
positionnement dans le plan près)
par deux angles et la longueur dʼun coté ou lʼinverse •
(toujours au positionnement dans le plan près)
Par contre, la valeur des trois angles ne donne quʼun série de
triangles semblables entre eux. (mêmes angles mais cotés
proportionnels).
8Chapitre 1
Les grands théorèmes et les outils
La quasi-totalité des théorèmes et propriétés qui seront examinés
par la suite sont basés sur quelques propriétés et outils que je
propose d'examiner en préliminaire.
1 Sommes des angles d'un triangle.
La somme des angles d'un triangle est égale à p radiants.
Pour s'en convaincre il suffit de mener une droite parallèle à AB
passant par C. On reconnaît les angles correspondants qui
permettent d'affirmer cette assertion.
fig. 1.1
À noter toutefois quʼune telle propriété ne se vérifie pas en géométrie
non euclidienne, la somme des angles dʼun triangle formés par des
géodésiques étant différente de p radiants suivant la courbure de
l'espace.
92 Triangles semblables, théorème de Thalès.
Des triangles sont semblables si leurs côtés sont respectivement
proportionnels. Il en va de même si les angles des deux triangles
sont respectivement égaux.
Cette notion permet de démontrer le théorème de Thalès :
Des droites sécantes à des droits parallèles définissent des
segments correspondants proportionnels.
!g" #"$
10Démonstration :
Les triangles ABC sont semblables entre eux quelque soit (! ) i . i i
Ainsi,
ABAB AC AB ji i i = et donc = = constante !i,j
AB AC AC AC j j i j
Un rapide calcul algébrique permet alors de montrer que si i! j
BBi jalors est égal à cette même constante. CQFD
CCi j
3 Angle inscrit dans un cercle. Points cocycliques.
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un
point du cercle et dont les cotés coupent le même cercle en deux
points. Un angle au centre est un angle dont le sommet est au
centre du cercle.
Considérons le triangle ABC dont le côté BC se confond avec le
diamètre d'un cercle passant par A et de centre O.
Les triangles AOB et AOC sont isocèles. On obtient des égalités
dans les angles notés sur la figure
11! !BAO=CBA=!
! !OAC=BCA= !
En prenant la propriété de la somme des angles dʼun triangle :
(!+")+!+" =# (1.a)
! !dʼoù BAC= 2
Le triangle ABC est rectangle en A.
Toujours en utilisant la même propriété et la relation (1.a) :
!BOC=! "2# =2$
Lʼangle au centre est égal à deux fois lʼangle en C.
Prenons désormais un triangle quelconque dont les trois points se
trouvent sur un cercle de centre O. En utilisant la propriété
précédente suivant que le point O est intérieur ou extérieur à lʼangle
ACB (cf. annexe), on retrouve par addition ou soustraction la même
propriété :
Un angle au centre est deux fois égal à lʼangle inscrit correspondant.
En remarquant quʼà un angle au centre correspond une infinité
dʼangles inscrits, on constate que tous les angles inscrits sʼappuyant
sur le même arc sont égaux.
Deux angles inscrits dans le même cercle qui interceptent le même
arc ont la même mesure.
On notera que
Lʼégalité de deux angles issues du même arc est une condition
nécessaire et suffisante pour que ces deux angles soient inscrits sur
un même cercle (cf. annexe).
Cette propriété fondamentale sera à la base de nombreuses
démonstrations.
12Des points cocycliques sont des points qui appartiennent au même
cercle.
On dit également dans ce cas que le quadrilatère formé de ces 4
points (ou de manière plus générale tout polygone) est inscriptible.
Par ailleurs, deux droites D et Dʼ sont antiparallèles aux droites D et
Dʼ si les angles entre D et Dʼ et entre D et Dʼ sont supplémentaires.
Soient M, N, P et Q quatre points distincts dont trois dʼentre eux au
moins sont non alignés. Pour que M, N, P et Q soient cocycliques, il
faut et il suffit que les droites (MN) et (PQ) soient antiparallèles aux
droites (MP) et (NQ).
Cette proposition nous montre quʼun angle inscrit est supplémentaire
de lʼautre angle inscrit sur le même cercle mais sur le coté opposé de
lʼarc. Ces deux cas peuvent être résumés dans le proposition
suivante :
Pour que M, N, P et Q (dont trois non alignés) soient cocycliques, il
faut et il suffit que
(MN,MP)! (QN,QP)(" )
autrement dit, la différence des angles orientés (MN,MP) et (QN,QP)
est un multiple de ! .
Une forme équivalente à cette proposition de cocyclicité peut
sʼécrire :
Pour que M, N, P et Q (dont trois non alignés) soient cocycliques, il
faut et il suffit quʼil existe un point X à lʼintersection des droites MN et
PQ tel que :
!!!!" !!!" !!!" !!!"
XM !XN =XP !XQ
13fig 1.4
4 Algèbre vectorielle
Cet outil est un intermédiaire puissant pour lʼanalyse de la figure du
triangle. Ainsi la relation de Chasles (que je serai tenté de nommer
généralisée, son origine étant démontrée sur la droite) permet
dʼécrire :
!!!" !!!" !!!"
AC=AB+BC
Lʼalgèbre vectorielle facilite ainsi certaines démonstrations.
La trigonométrie dont nous parlerons plus loin, sʼappuie également
avec bonheur sur le calcul vectoriel. 
14Chapitre 2
Droites et points remarquables du triangle

Le triangle bénéficie d'un grand nombre de propriétés en matière de
points et de droites remarquables qui peuvent être ainsi résumées.
Au préalable, un triangle inscrit dans le triangle ABC est un triangle
dont chaque sommet appartient à un des cotés distinct du
triangle. Toute droite passant par un sommet du triangle est appelé
cévienne. Le point de concours avec le coté opposé est appelé pied
de la cévienne.
1 Médianes, centre de gravité
La médiane est la droite qui joint un sommet du triangle et le milieu
du côté opposé à ce sommet. Les trois médianes du triangle
concourent en un pont unique appelé centre de gravité et que nous
noterons G.
fig. 2.1
Cette appellation est due au fait que trois masses identiques placées
au sommet du triangle aurait comme centre de gravité ce point. Ainsi !!!" !!!" !!!"
se justifie la relation : GA+GB+GC=0 (2.a)
15Nous noterons A', B', et C' les pieds des médianes opposés
respectivement aux points A, B et C. La relation ci dessus permet
!!!" !!!"
alors d'obtenir : GA+2GA'= 0
Le centre de gravité est donc “placé au tiers” de la médiane.
Ainsi le triangle AʼBʼCʼ est un triangle inscrit appelé triangle médian.
Il est semblable au triangle ABC dans un rapport 1/2.
Comme le laisse supposer la notion de centre de gravité, le point G
est toujours intérieur au triangle ABC.
2 Médiatrices, centre du cercle circonscrit
La médiatrice est la droite perpendiculaire passant par le milieu dʼun
segment. Dans le cas présent, nous aurons pour le triangle trois
médiatrices qui se trouvent être concourantes. Chaque point de la
médiatrice étant équidistant des extrémités du segment, ce point de
concours, noté O, se trouvera donc à équidistance des trois
sommets du triangle. C'est la raison pour laquelle le point O sera
nommé centre du cercle circonscrit.
fig. 2,2
16Si et seulement si le triangle est acutangle, le point O sera intérieur
au triangle ABC.
3 Bissectrices, centre du cercle inscrit
La bissectrice d'un angle est la demi-droite partageant cet angle en
deux angles égaux.
Chaque sommet d'un triangle possède une bissectrice intérieure
correspondant à l'angle intérieur et une bissectrice extérieure
correspondant à l'angle extérieur. Ces deux droites sont
perpendiculaires.
Les trois bissectrices intérieures d'un triangle concourent en un
même point appelé centre du cercle inscrit et noté I.
fig. 2,3
17Les trois bissectrices extérieures se coupent en des points notés I , A
I et I appelés centres des cercles exinscrits ; chacun de ces B C
points appartient à une bissectrice intérieure.
Nous verrons la justification de ces dénominations et la fonction de
ces quatre points ultérieurement.
ll est intéressant de noter que chaque point de la bissectrice est
équidistant orthogonalement des cotés de lʼangle dont elle est issue.
Deux bissectrices de longueur égale offrent une propriété
intéressante :
Si deux bissectrices ont la même longueur, alors le triangle est
isocèle. (théorème de Steiner Lehmus).
4 Hauteurs, orthocentre.
La hauteur est la cévienne perpendiculaire à un côté du triangle. A
nouveau, les trois hauteurs sont concourantes en un point H unique :
lʼorthocentre.
fig. 2,4
18Si et seulement si le triangle est acutangle, le pont H est intérieur au
triangle ABC.
Lʼorthocentre a la propriété vectorielle intéressante suivante :
!!!" !!!" !!!" !!!"
OH =OA+OB+OC (2.b) (théorème de Sylvester)
Nous noteronsH , H et H les pieds des hauteurs passant par les A B C
points A, B, C. Ces trois points forment un triangle dénommé
orthique. Il est intérieur au triangle initial si ce dernier est acutangle.
Dans ce cas, considérons un des sommets H du triangle orthique. A
!La hauteur AH est bissectrice de l'angle H H H . Le coté BC est A B A C
la bissectrice extérieure de cet angle.
Cette propriété entraîne la propriété du triangle orthique dite de la
trajectoire de lumière. En effet, dans le cas où chaque coté du
triangle initial fait office de miroir,  un  rayon de lumière issu d'un des
sommets du triangle orthique et se déplaçant vers un autre sommet
de ce triangle, suivrait indéfiniment cette trajectoire formée par le
triangle orthique. Les hauteurs sont les bissectrices du triangle
orthique.
Par ailleurs, le triangle orthique est le triangle inscrit de périmètre
minimal pour un triangle acutangle ; il est unique.
5 La droite dʼEuler
Si on rapproche les relations vectorielles (2.a) et (2.b), on obtient la
relation ;
!!!" !!!"
OH = 3OG (2.c)
Ainsi lʼorthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle
circonscrit sont alignés. Ils constituent la droite dʼEuler. Cette droite
a dʼautres propriétés qui seront développées ultérieurement.
6 Théorème de Céva et de Ménélaus
Soient les trois céviennes AM, BN, CP dans un triangle ; alors ces
droites sont parallèles ou concourantes si et seulement si
19MB NC PA
! ! ="1 (théorème de Céva) (2.d)
MC NA PB
fig. 2,5
Il faut noter que pour utiliser cette relation, il est nécessaire dʻorienter
les trois cotés du triangle. Ce théorème permet de démontrer très
facilement, par exemple, que les trois médianes sont concourantes
en un point unique.
En outre,
Soient trois points M, N et P appartenant respectivement aux droites
(BC), (BA) et (AC) dans un triangle ; ces trois points sont alignés si
et seulement si
MB NC PA
! ! =+1 (théorème de Ménélaus) (2.e)
MC NA PB
20fig. 2.6
7 Droites isogonales.
On dit que deux droites D et Dʼ sont isogonales par rapport à un
angle si elles font le même angle avec ses côtés. Autrement dit, deux
droites isogonales sont également inclinées sur la bissectrice de cet
angle.
fig. 2,7
21Pour un triangle, la propriété fondamentale des droites isogonales
est la suivante :
Les droites isogonales de trois droites issues de chacun des
sommets et concourantes en M concourent en un autre point N.
Les points M et N sont dits isogonaux relativement au triangle ABC.
fig. 2.8
Deux points isogonaux relativement au triangle ABC sont soit tous
deux intérieurs au triangle, soit tous deux extérieurs. En outre, deux
points isogonaux intérieurs au triangle sont les foyers dʼune ellipse
inscrite et tangente au triangle ABC  ; si ils sont extérieurs, ils sont
foyers dʼune hyperbole admettant les droites AB BC et CA comme
tangentes ou asymptotes.
On peut sʼinterroger sur les points isogonaux des points particuliers
que nous avons déjà évoqués.
Ainsi lʼorthocentre H est isogonal au centre du cercle circonscrit O.
Le centre de gravité G aura comme correspondant isogonal le point
K, dénommé point de Lemoine ou point symédian qui est le point
22de concours des droites symédianes qui ont des propriétés
particulières (cf. supra). Ce point est celui dont la somme des carrés
des distances aux trois cotés est minimale (cf. supra).
Par contre, les centres des cercles inscrits et exinscrits sont
isogonaux à eux mêmes par définition.
8 Céviennes isotomiques.
On dit que deux céviennes dans un triangle sont isotomiques si
leurs pieds sont symétriques par rapport au milieu du segment
opposé. Cette définition est, on le voit, assez proche de la notion de
céviennes isogonales.
fig. 2.9
Grâce au théorème de Céva, on montre que les isotomiques de trois
céviennes concourantes en un point M concourent aussi en un point
N. Les deux sont dits isotomiques.
Les points isotomiques et isogonaux incluent dʼintéressantes
propriétés en matière de repérage au sein du triangle qui seront
examinées dans un autre chapitre.
23 
24Chapitre 3
Les cercles
Les cercles caractéristiques d'un triangle sont nombreux et méritent
d'être cités. 
 
1 Le cercle circonscrit
Comme indiqué plus haut, le point de concours des médiatrices se
révèle être le centre du cercle circonscrit comprenant chacun des
sommets du triangle. Il est intéressant de noter que les symétriques
de l'orthocentre par rapport à chacun des côtés et les triques
de  H  par rapport aux points A', B' et C' (pieds des médianes)
appartiennent également à ce cercle.  
fig. 3,1
25Une propriété intéressante de ce  cercle  réside dans la notion de
droite de Simson. 
Les projetés orthogonaux d'un point M sur chaque coté dʼun triangle
sont alignés si et seulement si M appartient au cercle circonscrit de
ce triangle.
Cet alignement constitue la droite de Simson associé à un point du
cercle circonscrit.
fig. 3,2
26A une direction de droite correspond un point et un seul du cercle.
Deux droites de Simson sont perpendiculaires si les points dʼorigine
des ces droites sont opposés sur le cercle circonscrit.
 
Si M appartient au cercle circonscrit, les symétriques de M par
rapport a chaque coté sont alignés et forment la droite de Steiner.
Cette droite passe par l'orthocentre ; elle est parallèle à la droite de
Simson.
fig. 3.3
2 Le cercle inscrit
Le point de concours des bissectrices intérieures est le centre I du
cercle inscrit dans le triangle et tangent à chacun de ses côtés.
Les bissectrices extérieures vont définir trois points I , I et I qui A B C
seront centres de trois cercles tangents à un coté et aux
prolongements des deux autres. Ce sont les cercles exinscrits.
27fig. 3,4
Les points de contact du cercle inscrit avec le triangle seront notés
D, E, F. Ces points définissent avec les sommets opposés des
céviennes qui sont concourantes en un point noté J, le point de
Gergonne. Les droites isotomiques à ces céviennes joignent les
sommets du triangle et les points de contacts des cercles exinscrits ;
elles sont concourantes en un point noté N, le point de Nagel. 
De plus !!!" !!" !!!" !!"
GN =2IG et HN =2IO (3.1)
283 Le cercle dʼEuler ou cercle médial.
Les pieds des médianes Aʼ, Bʼ et Cʼ et des hauteurs du triangle H , A
H et H sont cocycliques. Ils forment le cercle dʼEuler dont le B C
centre ! se trouve sur la droite dʼEuler au milieu du segment
composé de lʼorthocentre H et du centre du cercle circonscrit O, soit :
!!!" !!!"
!H +!O=0 (3.2)
Ce cercle médial (autre appellation du cercle dʼEuler) comprend
également le milieu des segments entre les sommets du triangle et
lʼorthocentre. Cʼest la raison pour laquelle, il souvent dénommé
cercle des neufs points.
Toutefois, certains spécialistes vont jusquʼà lui attribuer 30 points
caractéristiques du triangle !!
Par ailleurs,
Le cercle dʼEuler dʼun triangle est tangent au cercle inscrit et aux
cercles exinscrits. (Théorème de Feuerbach)
fig. 3,5
29Les points de concours de ces cercles sont les points de
Feuerbach.
4 Les cercles de Lemoine et de Tucker
Considérons une homothétie de centre K, le point symédian et de
rapport k. Le transformé du triangle ABC par cette homothétie est un
autre triangle semblable au premier. Les 6 points de concours des
cotés de ce nouveau triangle avec le triangle initial sont cocycliques ;
ils appartiennent à un cercle dénommé cercle de Tucker. Ces 6
points pris en 3 groupes de 2 associés à chacun des sommets
forment des segments de longueur égale: A A =B B =C C2 3 2 3 2 3
Le centre de ce cercle est au milieu des deux centres des cercles
circonscrits des deux triangles.
Si le rapport k est nul, ce cercle est dénommé premier cercle de
Lemoine. Les 6 points cités plus haut appartiennent aux droites
passant par K et parallèles au trois cotes du triangle ; ils sont
cocycliques. Le centre de ce cercle est au milieu du segment KO, O
étant bien entendu le centre du cercle circonscrit.
Si k=-1, le triangle obtenu est égal à celui initial mais inversé dans le
plan. Les 6 points en question appartiennent aux droites passant par
K. Ils forment le second cercle de Lemoine qui a pour centre le
point symédian K.
30fig. 3.6 (cercle de Tucker avec k=0,3)
5 le cercle et le point de Miquel
Considérons une transversale au triangle coupant les trois cotés en
trois points D, E et F. Les cercles circonscrits à chacun des triangles
AEF, ABC, CFD et DEB ont un point commun, le point de Miquel.
(ici noté X)
Les centres de ces cercles appartiennent à un même cercle qui
contient également le point de Miquel. Cʼest le cercle de Miquel.
31fig. 3.7
6 point de Torricelli
Prenons un triangle quelconque et construisons à partir de celui ci
trois triangles équilatéraux ayant pour bases chacun des cotes. Ainsi
construit on Aʼʼ, Bʼʼ et Cʼʼ opposés aux sommets respectifs A, B et C.
Alors les segments AAʼʼ, BBʼʼ et CCʼʼ se coupent en un point unique
appelé point de Torricelli. Ce point se situe également sur les trois
cercles circonscrits aux trois triangles équilatéraux.
En outre,
TA+TB+TC=AA"=BB"=CC"
Le point de Torricelli sera intérieur au triangle ABC si et seulement si
2!
les trois angles du triangle initial sont inférieurs à
3
Ce point de concours sera le seul qui “verra” les points du triangle
2!
pris deux à deux sous un angle de 120° ou radians dans le cas
3
322!
où les les trois angles du triangle initial sont inférieurs à . Enfin,
3
dans ce même cas, ce point aura dʼintéressantes propriétés
extrémales (cf. chapitre 8, partie 2).
fig. 3.8
7 Cercles dʼApollonius
Un cercle dʼ est défini par un sommet dʼun triangle non
isocèle et les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de lʼangle
de ce sommet sur le cote opposé (D et E).
On peut définir ainsi trois cercles dʼApollonius attachés au trois
sommets de ce triangle non isocèle.
33A noter que le point E est le conjugué harmonique de D par rapport à
B et C.
DB EB
=!
DC EC
Ces trois cercles ont la propriété de se couper en deux points qui
sont alignés avec le centre du cercle circonscrit O et le point
symédian K.
Les trois centres de ces cercles sont alignés et positionnés sur la
médiatrice du segment déterminé par les deux points de concours.
######### fig. 3.9
34