Représentation d

Représentation d'état pour la modélisation et la commande des systèmes (Coll. Automatique de base)

-

Livres
201 pages
Lire un extrait
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Ce livre présente de manière pédagogique et concise la modélisation, l'analyse et la commande des systèmes dynamiques. Les systèmes considérés peuvent admettre plusieurs entrées, plusieurs sorties et peuvent être non-linéaires. De nombreux exemples (satellite, voiture, Segway, bateau à voile, …) y sont traités en détail. L'approche proposée utilise abondamment la notion d'état qui permet de considérer une grande classe de systèmes non-linéaires et multivariables de façon simple et élégante. Des notions élémentaires en calcul matriciel et en physique sont requises pour la compréhension de l'ouvrage. De nombreux programmes Scilab sont donnés et commentés afin d'illustrer l'implémentation et le comportement temporel des systèmes traités dans les exemples.
Introduction. Modélisation des systèmes. Simulation. Systèmes linéaires. Commande des systèmes linéaires. Commande linéaire des systèmes non linéaires. Commande non linéaire des systèmes non linéaires.

Sujets

Informations

Publié par
Ajouté le 04 mars 2005
Nombre de lectures 1 089
EAN13 9782746230248
Langue Français
Signaler un abus

collection automatique de base dirigée par Alain Richard
Représentation d'état
pour la modélisation
et la commande des systèmes
Luc Jaulin
hermes Lavoisier Représentation d'état
pour la modélisation et la commande des systèmes © LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
ISBN 2-7462-1053-3
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d'identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle. Représentation d'état
pour la modélisation
et la commande des systèmes
Luc Jaulin
science
publication a DIRECTION ÉDITORIALE BERNARD DUBUISSON
Collection Automatique de base
sous la direction de Alain Richard, CRAN Table des matières
1 Introduction 13
2 Modélisation des systèmes9
2.1 Introduction9
2.2 Représentation d'état de quelques systèmes linéaires .. . 20
2.2.1 Intégrateur 20
2.2.2 Système d'ordre1
2.3 Modélisation des systèmes mécaniques 22
2.3.1 Méthodologie2
2.3.2 Modélisation d'un satellite 23
2.3.3n d'un système masses-ressorts 25
2.3.4 Modélisation d'un pendule simple6
2.3.5n d'un pendule inversé 27 6 Commande par espace d'état
2.4 Modélisation des véhicules 30
2.4.1 Modélisation d'un monocycle
2.4.2n d'un char5
2.4.3 Modélisation d'une voiture 37
2.4.4n d'un bateau à voile9
2.5 Syst mes hydrauliques 43
2.5.1 Rappel sur la relation de Bernouilli 4
2.5.2 Ecoulement dans trois bacs6
2.5.3 Modélisation d'un vérin7
2.6 Syst me électrique 50
2.7 Système de Fibonacci1
3 Simulation5
3.1 Introduction 5
3.2 Notion de champ de vecteur6
3.2.1 Exemple d'une fonction linéaire 5
3.2.2 Exemple d'une fonction de type gradient9
3.3 Champ de vecteur associé à un syst me
3.3.1 Syst me proies-prédateurs 60
3.3.2 Pendule simple3 Table des matières 7
3.4 Représentation graphique des systèmes 64
3.4.1 Motif 64
3.4.2 Matrice de rotation6
3.4.3 Coordonnées homogènes 68
3.4.4 Dessin de la voiture 70
3.4.5 Dessin d'un bras manipulateur1
3.5 Simulation 75
3.5.1 Méthode d'Euler5
3.5.2 Simulation d'un pendule 76
3.5.3n d'une voiture8
3.6 Ajout de l'interactivité 80
4 Systèmes linéaires5
4.1 Introduction5
4.2 Solution des équations d'état 86
4.2.1 Syst me à temps continu6
4.2.2 Syst me à temps discret8
4.3 Stabilité 89
4.4 Changement de base 91 8 Commande par espace d'état
4.5 D'une représentation d'état vers une représentation entrées-
sorties 93
4.6 D'une représentation entrées-sorties vers une représenta¬
tion d'état6
4.6.1 Forme canonique de commande 97
4.6.2 Forme canonique d'observation9
4.6.3 Forme modale 101
4.6.4 Forme de Jordan3
5 Commande des systèmes linéaires5
5.1 Introduction 10
5.2 Commandabilité et observabilité7
5.2.1 Rappel sur les équations linéaires 10
5.2.2 Commandabilité8
5.2.3 Observabilité 111
5.2.4 Décomposition de Kalman3
5.3 Commande par retour d'état5
5.3.1 Equation de placement de pôles 11
5.3.2 Résolution de l'équation de placement de pôles . . 117
5.4 Commande par retour de sortie 119
5.4.1 Principe 11Table des mati res 9
5.4.2 Calcul de la matrice de correction 120
5.4.3 Représentation d'état du régulateur2
5.5 Principe de séparation 124
5.5.1 Equation d'état du syst me bouclé 124
5.5.2 Changement de base4
5.5.3 Polynômes caractéristiques 126
5.6 Insertion d'un précompensateur6
6 Commande linéaire des systèmes non linéaires 131
6.1 Introduction 131
6.2 Linéarisation d'un système2
6.2.1 Rappel sur la linéarisation d'une fonction 132
6.2.2 Linéarisation du syst me autour d'un point . . . . 133
6.2.3n du système autour d'un point de fonc¬
tionnement 134
6.2.4 Exemple du syst me proies-prédateurs 135
6.2.5 Exemple du pendule simple7
6.2.6 Exemple du vérin8
6.3 Stabilisation d'un syst me non linéaire 139
6.3.1 Principe 139 10 Commande par espace d'état
6.3.2 Avec un observateur étendu 143
6.4 Stabilisation du pendule inversé4
6.5n d'un monocycle7
6.6 Conduite automatique d'une voiture 149
6.6.1 Fonction d'observation pour le système 152
6.6.2 Fonctionn pour le régulateur5
6.6.3 Bouclage 160
7 Commande non linéaire des systèmes non linéaires 163
7.1 Introduction3
7.2 Un petit exemple 164
7.3 Principe de la linéarisation par bouclage 166
7.3.1 Principe
7.3.2 Commande d'une chaîne d'intégrateurs 169
7.4 Régulation des trois bacs 171
7.5n du char3
7.6 Régulation de la voiture5
7.6.1 Voiture décrivant un hexagone 17
7.6.2 Voiture décrivant un cercle7
7.7 Régulation du bateau à voile 181 Table des matières 11
7.7.1 Dérivations successives des variables d'état ... . 182
7.7.2 Linéarisation par bouclage du bateau 184
7.7.3 Régulateur hybride 186
Bibliographie 193
Glossaire5
Index7 Chapitre 1
Introduction
Une très grande classe de systèmes physiques, biologiques, écono­
miques, etc. qui nous entourent peuvent être décrits par une équation
différentielle du type
[1.1]
sous l'hypothèse que le temps t dans lequel évolue le système est continu
(c'est-à-dire appartient à R) . Le vecteur u(t) est l'entrée (ou commande)
du syst me. Sa valeur peut être choisie arbitrairement pour tout t. Le
vecteur y(t) est la sortie du système et peut être mesuré avec une cer­
taine précision. Le vecteur x(t) est appelé état du système. Comme nous
l'illustrerons dans la suite, il représente la mémoire du syst me, c'est-à-
dire, l'ensemble des informations dont le syst me a besoin pour prédire
son propre avenir, pour une entrée u(t) connue. La premi re des deux
équations de (1.1) s'appelle équation d'évolution. Il s'agit d'une équation
différentielle qui permet de savoir vers où va se diriger l'état x(t) sachant
sa valeur à l'instant présent t et la commande u(t) que nous sommes en 14 Commande par espace d'état
train d'exercer. La deuxième équation s'appelle équation d'observation.
Elle permet de calculer le vecteur de sortie y(t) , connaissant l'état et la
commande à l'instant t. Attention, contrairement à l'équation d'évolu¬
tion, cette équation n'est pas une équation diférentielle car elle ne fait
pas intervenir les dérivées des signaux. Les équations (1.1) forment la
représentation d'état du système.
Il est parfois utile de considérer aussi un temps k discret, où k sera
un élément de Z, l'ensemble des entiers relatifs. En effet, si l'univers que
nous considérons est un ordinateur, il est concevable de considérer que
le temps k qui le régit est discret, synchronisé sur l'horloge du micropro¬
cesseur. De tels systèmes, dits à temps discret, obéissent généralement
à une équation de récurrence du type
[1.2
Dans ce livre, sauf mention particulière, nous allons uniquement nous
intéresser aux systèmes à temps continu (c'est-à-dire de type (1.1)).
Le premier objectif de ce livre est de bien comprendre cette repré­
sentation d'état. Pour cela, nous allons considérer dans le chapitre 2
un grand nombre d'exemples variés et montrer comment naturellement
nous arrivons à une représentation d'état pour modéliser le système qui
nous intéresse. Ensuite, nous montrerons au chapitre 3 comment simu¬
ler sur ordinateur un système pour lequel une représentation d'état est
connue.
Le second objectif de ce livre est de proposer des méthodes pour com¬
mander les systèmes décrits par des équations d'état. C'est-à-dire que
nous allons tenter de fabriquer des machines automatiques (où l'homme
n'intervient quasiment pas, sauf pour donner ses ordres, où consignes), Introduction 15
appelées régulateurs capables de domestiquer (changer le comportement
dans le sens que l'on souhaite) les systèmes considérés. Pour cela, le
régulateur devra calculer les entrées u(t) à appliquer au système à par¬
tir de la connaissance (plus ou moins bruitées) des sorties y(t) et de la
consigne w(t) donnée (voir figure 1.1).
Figure 1.1: Principe de la régulation d'un système
Vu de l'utilisateur, le système, dit système bouclé, d'entrée w(i) et de
sortie y(i ) aura un comportement convenable. On dira que l'on a asservi
le syst me.
Dans cet objectif de régulation, nous allons, dans une première phase,
nous intéresser uniquement aux syst mes linéaires, c'est-à-dire que les
fonctions f et g sont supposées linéaires. Ainsi, dans le cas du temps
continu, (1.1) s'écrit
[1.3]
et dans le cas du temps discret, (1.2) devient
[1.4]
Les matrices A, B , C , D sont appelées matrices d'évolution, de com­
mande , d'observation et directe. Une analyse détaillée de ces systèmes 16 Commande par espace d'état
sera faite au chapitre 4. Nous expliquerons ensuite, dans le chapitre 5
comment stabiliser ces systèmes.
Dans une seconde phase, nous montrerons, au chapitre 6, qu'autour
de certains points, dits de fonctionnement, les systèmes non linéaires
se comportent comme des systèmes linéaires et qu'il alors possible de
les stabiliser par des méthodes développées pour le cas linéaire. Nous
donnerons aussi d'autres types d'approches, moins générales mais plus
adaptées, pour stabiliser des systèmes non linéaires.
Les programmes informatiques utilisés pour tester nos régulateurs
et efectuer nos simulations seront tous donnés pour un environnement
SCILAB[2]. Ces derniers sont disponibles sur
http : //www.hermes-science.com/jaulin/progscilab. zip.
Rappelons que SCILA B est un logiciel de calcul numérique qui intègre
les opérations courantes du calcul matriciel (tout comme MATLAB), et
offre l'avantage d'être gratuit (contrairement à MATLAB) . Il peut être
téléchargé à l'adresse
http ://www-rocq.inria.fr /scilab/.
Le calcul formel sera quant à lui effectué sous MUPAD[1] qui est un
logiciel proche de MAPLE . Notons que contrairement à MAPLE , MUPAD
est gratuit et peut être téléchargé sur
http ://www.mupad.com.
Dans le fichier compressé progscilab. zip, vous trouverez les programmes
SCILAB suivants : Introduction 17
BacsAsservi.sce, BacsLibres.sce,
BateauHybride, BateauLibre.sce,
BrasManipulateur, CharLibre,
PendulelnverseAsservi.sce, PendulelnverseLibre. sce,
PenduleSimpleChamp.sce, PenduleSimpleLibre. sce,
PenduleSimpleTraj ectoire.sce, SegWayAsservi,
SegwayLibre, VerinLibre,
VoitureAsservieCircuit, VoitureAsservieC cle,
VoitureAsservieHexagone.sce, VoitureAsservieNord,
VoitureChampCycle.sce, VoitureLibre.sce,
VoitureLibreCircuit.sce, VoitureLibreNord.sce,
VolterraChamp.sce.
Dans les noms des ichiers, on retrouve le nom du système traité
(voiture, pendule, etc), un qualiicatif (libre signiie non asservi) et l'ex¬
tension sce rattachée aux programmes SCILAB.