335 pages
Danish
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Speciel Relativitetsteori

-

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
335 pages
Danish

Description

Tidsrummet mellem to begivenheder er afhAengigt af, hvor hurtigt en observator bevAeger sig. Det er en af de besynderlige konsekvenser af Albert Einsteins specielle relativitetsteori fra 1905, der er en grundsten i den moderne fysik.I Speciel Relativitetsteori forklarer Ulrik I. Uggerhoj tid og rum. Han udleder bl.a. fundamentet for fAenomener som tidsforlAengelse, lAengdeforkortning og Lorentz-transformationerne, undersoger tyngdens indflydelse pa tidens gang, sorte huller og gravitationsbolger og prAesenterer losninger pa flere af teoriens tilsyneladende paradokser.Bogen indeholder forslag til lAeseforlob fra gymnasiale studieretningsprojekter til det avancerede universitetsniveau.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 16 décembre 2016
Nombre de lectures 0
EAN13 9788771842333
Langue Danish
Poids de l'ouvrage 21 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0098€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesSpeciel Relativitetsteori
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesSpeciel Relativitetsteori
Ulrik I. Uggerhøj
Aarhus Universitetsforlag
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesSpeciel Relativitetsteori
© Ulrik I. Uggerhøj og Aarhus Universitetsforlag 2016
Tilrettelægning og sats: Lars Madsen
Illustrationer: Lars Madsen og Troels Marstrand
Omslag: Nethe Ellinge Nielsen, Trefold; foto: Magnus I. Uggerhøj
Forsideillustration: Torben Ulrich
Forlagsredaktion: Simon Olling Rebsdorf
Sat med Kp-Fonts
Printed in Denmark 2016
eISBN 978 87 7184 233 3
Aarhus Universitetsforlag
Langelandsgade 177
8200 Aarhus N
www.unipress.dk
Bogen er udgivet med støtte fra Aarhus Universitets forskningsfond
Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med
Copydan, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer.
/ I henhold til ministerielle krav betyder bedømmelsen, at der fra en fagfælle på ph.d.-niveau
er foretaget en skriftlig vurdering, som godtgør denne bogs videnskabelige kvalitet.
/ In accordance with requirements of the Danish Ministry of Higher Education and Science, the certification
means that a PhD level peer has made a written assessment justifying this book’s scientific quality.
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIndhold
Forudsætninger og forslag til kapitelvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Indledning 1
Del I: Fundamentet
2 Et ur i bevægelse går langsomt 7
2.1 Tidsforlængelse, lysuret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Samtidighed 15
3.1 Synkronisering af ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Einsteins tog-eksperiment – mangel på absolut samtidighed . . . 17
4 Et objekt i bevægelse er forkortet 23
4.1 Længdemåling af objekt i bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Den ultimative hastighed 27
5.1 Lysets hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Massive partiklers bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Lorentz-transformationerne 31
6.1 Hvorfor ikke Galilei-transformationerne? . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Krav til de nye transformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Udledning af Lorentz-transformationerne . . . . . . . . . . . . . 33
6.4 Rumtidsintervallet, den fire-dimensionelle ‘afstand’ . . . . . . . 37
7 Doppler-effekt 41
7.1 Den ikke-relativistiske Doppler-effekt . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Den relativistiske Doppler-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Ikke-parallelle hastigheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 Afgørende eksperimenter og observationer 47
8.1 Michelson-Morley eksperimentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Kennedy-Thorndiketet . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3 Ives-Stilwell eksperimentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Emissionsteorien og de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.5 Myonens levetid i hvile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
i
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIndhold
9 Symmetri og Lorentz-transformationer 59
9.1 Generel, lineær transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.2 Bestemmelse af koefficienter ved symmetribetragtninger . . . . . 59
9.3 af koefficienter ved lysglimt . . . . . . . . . . . . . 63
10 Addition af hastigheder og Lorentz-faktorers transformationer 65
10.1 A af parallelle hastigheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.2 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.3 Thomas-præcession* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.4 Fizeaus eksperiment med lys i vand . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.5 Transformation af Lorentz-faktorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11 Kausalitet og lyskeglen 87
11.1 Lyskeglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.2 Fremtid, fortid og andetsteds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.3 Rumligt og tidsligt separerede begivenheder . . . . . . . . . . . . 91
11.4 Lyskegle koordinater* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12 Energi og impuls i relativitetsteorien. 95
12.1 Lys og fotoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.2 Einsteins kasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Cockcroft og Waltons eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4 Tyngdepunktssætningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.5 Einsteins kasse uden sider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.6 Relativistisk masse, energi og impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.7 Masse, energi og impuls igen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13 Lorentz-transformation af energi og impuls 109
13.1 Den relativistiske impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
13.2 Den rela energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13.3 Lorentz-transformationen for energi og impuls . . . . . . . . . . 112
13.4 Doppler-effekt igen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Del II: Udvidelser
14 Ækvivalensprincippet og ure i tyngdefelter 117
14.1 To ure i en raket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.2 Frit faldende ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14.3 Energibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14.4 Jordens centrum er yngre end overfladen . . . . . . . . . . . . . . 126
14.5 Eksperimentelle afprøvninger af ækvivalensprincippet . . . . . . 129
15 Egentiden for et kastet objekt 133
16 Acceleration* 137
16.1 Transformation af acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
ii
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIndhold
16.2 Hastighed som funktion af tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.3 Sted som funktion af tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
17 Sorte huller* 145
17.1 Begivenhedshorisont i et tyngdefelt . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.2 Hawking-stråling fra sorte huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
18 Egentid, acceleration, hastighed og sted* 153
18.1 Egentid, koordinattid og egen-acceleration . . . . . . . . . . . . . 154
18.2 Sted og hastighed som funktion af egentid og egen-acceleration . 155
18.3 Egentid og sted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
19 Rumtid og hyperbolske funktioner* 157
19.1 Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.2 Hyperbolske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
19.3 Rapiditet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
19.4 To radioaktive partikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
20 Tvillingeparadokset 169
20.1 Tepar med instantan hastighedsændring . . . . . . 170
20.2 Tvillingeparadokset med vilkårlig accelerationsfase . . . . . . . . 174
20.3 Tepar fra den accelererede tvillings synspunkt . . 176
20.4 Yderligere komplikationer i tvillingeparadokset . . . . . . . . . . 179
21 Raketligningen* 181
21.1 Urelativistisk raketligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
21.2 Foton-raket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
21.3 Relativistisk raketligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
22 k-calculus 187
22.1 Lyssignalers ping-pong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
22.2 Lorentz-transformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
23 Tachyoner* 193
23.1 Overlyshastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
23.2 ‘Tachyon-telefonen’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
24 Fire-vektorer* 197
24.1 Definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
24.2 Enhedsvektorer og komponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
24.3 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
24.4 Fire-hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
24.5 Fire-impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
24.6 Fire-acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
24.7 Fire-kraft, Minkowski-kraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
24.8 Tre-kraftens afhængighed af hastigheden . . . . . . . . . . . . . . 207
24.9 Den elektromagnetiske felt-tensor** . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
iii
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIndhold
25 Lorentz-transformationer af elektriske og magnetiske felter* 213
25.1 Magnetisme som et relativistisk fænomen . . . . . . . . . . . . . 214
25.2 Lorentz-transformation af elektriske og magnetiske felter . . . . 216
25.3 Elektrodynamiske invarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
25.4 Parallelle elektriske og magnetiske felter . . . . . . . . . . . . . . 225
25.5 En elektrons bevægelse, dens elektromagnetiske felt og
elektromagnetisk stråling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
26 Kollisioner behandlet med fire-vektorer 233
26.1 Compton-spredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
26.2 Observation af Higgs-partiklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
27 Anskueliggørelse af relativitet 239
27.1 Det ‘kosmiske speedometer’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
27.2 ‘Alt bevæger sig altid med lysets hastighed’ . . . . . . . . . . . . . 243
28 Gravitationsbølger** 245
~28.1 Gravitationsfelterne~g ogh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
29 Det Globale Positionerings-System, GPS 253
29.1 Basale elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
29.2 Sagnac-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
29.3 Relativistiske korrektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
30 Alternativer til Einsteins specielle relativitetsteori* 261
Del III: Paradokser
31 Stangspringer-paradokset 265
32 Skøjteløber-paradokset 271
33 Pladen-i-hullet paradokset* 277
34 Bells raket-reb paradoks* 283
35 Rindler-kilen** 289
Appendix: Matematiske værktøjer 297
A Pythagoras’ sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
B Rækkeudviklinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Litteratur 301
Indeks 315
iv
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesForudsætninger og forslag til
kapitelvalg
2Minimale forudsætninger: Du kan løse ligningen x 4 = 0 og isolere x i y =p
21= 1 x , du ved hvad en vektor er, og du er fortrolig med basal integration og
adifferentiation i én dimension – du kan f.eks. differentiere funktionenf (x) =x
mht.x – samt med løsningen af en bevægelsesligning vist i et koordinatsystem.
Forslag til kapitelvalg:
M Kap. 2–6
Minimum for at opnå en fornemmelse af hvad speciel relativitetsteori er.
A M + kap. 7–8, 11–12, 14, 27 og 29
Niveau for 3.g, f.eks. ifbm. studieretningsprojekt (SRP).
B A + kap. 9–10, 13, 20, 22
Avanceret niveau for 3.g, f.eks. ifbm. SRP.
C B + kap. 19, 23, 24 (til og med 24.6), 26, 31
5 ECTS kursus, 140 timer, på universitetets første år.
D C + kap. 15–16, 17–18, 21, 32-34
10 ECTS kursus, 280 timer, på universitetets første år
E D + kap. 24 (24.7–24.9), 25, 28 og 35
Kræver – i det mindste delvist – kendskab til elektrodynamik, lineær algebra
og partiel differentiation
v
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIntroduktion
Eftersom resten af denne bog handler om den tysk-amerikanske teoretiske fysiker
Albert Einsteins (1879–1955) specielle relativitetsteori, udgivet i 1905 [1], er det i
forbindelse med kunstværket på forsiden måske på sin plads med et eksempel på
Einsteins eget syn på kunst [2]:
Personligt finder jeg den højeste grad af lykkefølelse ved store kunstværker.
Fra dem får jeg lyksalige følelser af en sådan styrke jeg ikke kan opnå fra
andre områder.
Kunstværket er af tennisspilleren og kunstneren Torben Ulrich, som jeg har haft
fornøjelsen af at møde et par gange i San Francisco for bl.a. at diskutere fysik.
Jeg vil gerne her takke ham for venligt at have givet mig tilladelse til at benytte
hans kunstværk som forside.
Det er en del af en serie med navnet ‘Imprints of Practice’, der kan oversættes
til noget i retning af ‘aftryk af øvelse’. Og det er netop pointen med denne bog, at
øvelse vil efterlade et aftryk: Forvent ikke, at du kan læse bogen fra a til å, og at
du derefter vil mestre teorien. Derimod, øv dig i at eftervise ligningerne i detalje,
stil dig selv nye spørgsmål, og løs opgaver – det er vejen frem. Hermed min serv,
som forhåbentlig kan få dit spil i gang.
Bogen er skrevet med ambitionen om at kunne bruges såvel af de dygtige
stxog htx-elever, der ønsker at udfordre sig selv med et emne, der rækker ud over
det almindelige pensum, som af den interesserede ingeniør, hvoraf jeg har mødt
mange i forbindelse med mine foredrag, hvor de ofte stiller meget kvalificerede
spørgsmål. Sidst, men ikke mindst, er bogen til de studerende i fysik på
universitetet på de(t) første år. Til sidstnævnte har jeg i nogen udstrækning sat referencer
til standardlærebogen til bl.a. mekanik og elektromagnetisme ind for at lette
forståelsen af sammenhænge med andre grene af fysikken [3]. Til førstnævnte
målgruppe vil visse kapitler være en udfordring, der måske kan ende med at tage
modet fra dem, og for at hjælpe med at sortere disse kapitler fra, har jeg markeret
de svære kapitler med en stjerne (*), i visse tilfælde med to (**), for at understrege
den øgede sværhedsgrad, i overskriften. Ved den første gennemgang kan disse
markerede kapitler undværes.
Bogen udvider det stof, man normalt behandler i lærebøger om den specielle
relativitetsteori, ved at omfatte adskillige tilgrænsende fænomener, der dog alle
har en vis relation til hovedemnet. Der er derfor betydeligt mere stof end man
vii
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIntroduktion
kan nå at gennemgå i løbet af et standard-kursus på universitetet, hvilket giver
læseren og/eller underviseren mulighed for at vælge emner, der virker særligt
interessante.
Men – kort sagt – hvorfor er den specielle relativitetsteori overhovedet
relevant? Det er den, fordi den menes at være gældende for alle former for fysiske
vekselvirkninger, på nær for tyngdefænomener af større skala hvor den generelle
relativitetsteori gør sig gældende. Den specielle relativitetsteori er en hjørnesten i
den moderne fysiks behandling af elementarpartiklernes vekselvirkninger, og i
udviklingen af nye teorier behøver man normalt kun at overveje de teorier, der er
konsistente med – og eventuelt udvider – den specielle relativitetsteori (en
undtagelse omtales i Kapitel 30). Sammen med kvantemekanikken kan den specielle
relativitetsteori forudsige eksperimentelle resultater med en præcision på – i visse
tilfælde – bedre end én ud af en million millioner.
De basale ting i relativitetsteorien kan man lære uden de helt store
matematiske komplikationer: Behersker man at kvadrere (‘sætte i anden’) og uddrage
en kvadratrod, kan man komme meget langt. Derimod er den begrebsmæssige
dimension en virkelig udfordring. Som eksempel kan nævnes historien genfortalt
i kapitlet om Bells raket-reb paradoks, Kapitel 34, hvor omdrejningspunktet for
den berømte irske fysiker John Stewart Bell (1928–1990) var at selv for folk, der
må forventes at beherske relativitetsteorien til fulde, kan intuitionen svigte og
føre til forkerte resultater. Et andet eksempel er det såkaldte tvillingeparadoks,
som strider kraftigt mod hverdagens erfaringer, og som der derfor stadig udgives
forskningsartikler om. En ting har stort set alle disse paradokser tilfælles: Det er
vigtigt altid at gøre sig klart, hvem der spørger om hvad, hvordan de modtager
deres information, og hvor, og hvad deres ur viser når de modtager.
Relativitetsteorien er til tider meget mod-intuitiv, og man kan let lade sig snyde af forventninger
baseret på opfattelser fra dagligdagen.
Dele af bogen har tidligere været udgivet som noter til min undervisning,
og til at underbygge mine påstande i de populærvidenskabelige bøger jeg har
skrevet om tid, anskuet fra relativitetsteorien [4, 5]. Adskillige fænomener er her
behandlet på flere forskellige måder, f.eks. Lorentz-transformationerne, der vises
direkte ved sammenligning af koordinatsystemer, ved symmetribetragtninger og i
den såkaldtek-calculus. Jeg håber dermed at vise, at det ikke blot er en ganske
særlig tilgang, der giver forståelsen af de, trods alt, meget bemærkelsesværdige og
til tider forbavsende, fænomener som relativitetsteorien byder på.
Idet det er min erfaring, at opgavesæt bør udvikles løbende for at virke bedst,
har jeg valgt ikke at inkludere opgaver i denne bog. Derimod kan opgavesæt, samt
i mange tilfælde tilhørende løsningsforslag, hentes fra siden
http://users-phys.au.dk/ulrik/specrel/
Jeg må allerede her indrømme, at der kun er ganske få ting i denne bog, som
man ikke kan finde i andre bøger og artikler, men at man trods alt skal stykke
temmelig mange af dem sammen for at finde det hele, og det er på engelsk i
viii
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesIntroduktion
næsten alle tilfælde. Mit håb er, at en bog på dansk kan udfylde et behov hos
ovennævnte målgruppe.
Oversættelser af citater er mine egne, i de fleste tilfælde direkte fra
originalsproget. Undervejs i teksten optræder navne på mange fysikere, og jeg har
valgt at præsentere – med f.eks. fødeår og fornavn – de fysikere der efter min
mening har haft stor betydning, hvorimod andre eksempelvis ‘blot’ har lagt navn
til en bestemt effekt eller måling, hvorfor de blot kort bliver nævnt.
Mange personer har bidraget til denne bog, og jeg vil gerne her nævne Axel
Svane (AU), der skrev de første versioner af et par af kapitlerne – og venligt gav
tilladelse til at lade dem inkludere her, i en omarbejdet version. En stor tak til min
kollega Allan Sørensen (AU), der har læst mange af kapitlerne, og fundet et par
af mine fejltagelser og en lapsus eller to i manuskriptet. Allan har været yderst
behjælpelig med at gøre indholdet mere klart. Også en stor tak til Helge Knudsen
(AU) – en anden af mine læremestre – der har gennemgået teksten ‘med tættekam’.
Ligeledes tak til Peter Kjeldsen (Rosborg Gymnasium), der har luget ud hvor min
argumentation har været forkert eller for kort. Endvidere vil jeg gerne takke Troels
Marstrand for tilladelse til at genanvende nogle af hans flotte illustrationer samt
min redaktør, Simon Olling Rebsdorf (Aarhus Universitetsforlag), der ligeledes
meget professionelt har gennemgået alt med stor omhu. Jeg er taknemmelig for
en særdeles velvillig og yderst kvalificeret hjælp fra adskillige teknikere der har
bidraget til nogle af de eksperimentelle resultater, herunder Per B. Christensen,
Erik Loft Larsen og Poul Aggerholm. Desuden en tak til Aarhus Universitets
Forskningsfond og NICE, http://nice.ku.dk/, der gav økonomisk støtte til dette
bogprojekt og NICE tillige til adskillige af forskningsresultaterne nævnt heri. Sidst,
men ikke mindst, en tak til de mange dygtige studerende jeg har haft gennem
årene - uden jer havde dette projekt ikke kunnet lade sig gøre.
En særlig tak til Lars ‘daleif’ Madsen, der har ydet et enormt bidrag til
opsætningen af figurer, tilretning af tekst og i det hele taget har lappet utallige steder,
Aisær på mine manglende evner indenfor LT X, det tekstopsætningsystem somE
bogen er skrevet i. En kort historie om Figur 26.3 (Higgs bosonen) kan
illustrere Lars’ grundighed: Jeg kontaktede ATLAS-eksperimentet ang. tilladelse til at
anvende deres figur i denne bog. Jeg fik tilladelsen, men kun til den engelske
version, ikke til at oversætte den. I mellemtiden opdagede Lars, at den omtalte
figur var behæftet med adskillige grafiske mangler, utilstrækkelige skrifttyper osv.,
samtidig med at jeg opdagede, at den indsatte formel i sin opsætning var mildest
talt forvirrende. Efter at have rettet alle disse fejl, justeret og lavet versioner af
figuren på dansk og engelsk, bad vi igen om tilladelse. Denne gang fik vi den –
også til den danske version – samtidig med en anmodning om ikke at ATLAS (der
tæller omkring 3000 fysikere fra 175 institutioner verden over) kunne få vores
version, så de fremover kunne benytte en pænere udgave.
Og her, til allersidst inden første serv, vil jeg gerne takke min familie, især min
kone Malene og vores tre børn, Magnus, Sebastian og Caroline, for overbærenhed
og tålmodighed under min lange skriveproces, og for utallige gode timer sammen.
ix
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 1
Indledning
Et bærende princip i relativitetsteorien er, at naturlovene ikke afhænger af,
hvilket referencesystem – et rumligt koordinatsystem forsynet med en tidsmåling [3,
s. 110] – man benytter, når man nedskriver dem. Det er på sin vis udtryk for en
meget pragmatisk holdning, idet man ellers f.eks. ville være tvunget til at forsyne
enhver fysik-lærebog med en instruks om, hvordan man skal bevæge sig, og i
forhold til hvad, når man benytter formlerne deri. Det ville mildest talt være en
kompliceret situation: “da jeg satte tal ind i formlen, bevægede jeg mig i syd-østlig
retning med 32 km/t i forhold til Jorden.” I den specielle relativitetsteori, der som
navnet siger, er et specialtilfælde af den generelle – eller almene – relativitetsteori,
indskrænkes kravet om referencesystemer til, at der skal være tale om et
inertialsystem. Et inertialsystem er et referencesystem, hvori inertiens lov (Newtons 1.)
gælder [3, s. 131], eller sagt på en anden måde: et system, der ikke accelererer og
ikke er udsat for tyngdekræfter.
Relativitetsprincippet gældende i den specielle relativitetsteori kan kort
udtrykkes:
Postulat 1 (Relativitetsprincippet)
Naturlovene er ens i alle inertialsystemer.
Dog, som Einstein selv har pointeret [6], er der en svaghed i definitionen af
inertiens lov og dermed af inertialsystemet, nemlig at den indeholder en form for
cirkelslutning: En masse bevæger sig uden acceleration, hvis den ikke er påvirket
af nogen kraft, men den eneste måde hvorpå vi ved, at den ikke er påvirket af
nogen kraft er ved at konstatere, at den ikke accelererer. Denne svaghed leder
logisk hen til den generelle relativitetsteori, der behandler alle referencesystemer,
men da den generelle teori er – matematisk set – en del mere krævende end
den specielle, vil vi kun berøre den som en tilnærmelse baseret på den specielle
relativitetsteori. Men man kan komme meget langt i retning af den generelle
relativitetsteori blot ved at benytte den specielle relativitetsteori i kombination
med det såkaldte ækvivalensprincip, som vi skal se.
Det er i dag et meget velafprøvet faktum, at lysets hastighedc gennem det
tomme rum altid er den samme. Allerede i midten af 1960erne blev det på det
fælleseuropæiske forskningscenter CERN eksperimentelt undersøgt, i hvilken
1
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 1. Indledning
udstrækning lys kan overtage en del af hastigheden af en lyskilde i bevægelse.
Man benyttede såkaldt ‘neutrale pioner’ med en hastighed på 0:99975c, og målte
0hastigheden af lyset udsendt fra deres henfald [7]. Antager man atc =c +kv, hvor
0v er kildens hastighed,c den målte hastighed, hvormed lyset fra deres henfald
forplanter sig, ogk beskriver graden af overtagelse af kildens hastighed, fandt
5de atk = ( 3 13) 10 . Altså indenfor måleusikkerheden foreneligt med nul,
således at man ikke kan sætte fart på lyset ved at lade dets kilde bevæge sig.
Senere undersøgelser baseret på observationer af periodisk udsendelse af
røntgen9stråling fra binære stjernesystemer har vist, atk højst kan være 2 10 [8], og
altså også der er forenelig med nul.
Figur 1.1: Man kan ikke sætte fart på lyset ved at lade dets kilde bevæge sig. Illustration:
Troels Marstrand.
At lysets hastighed gennem det tomme rum altid er den samme er et af
relativitetsteoriens basale postulater, som altså er testet meget grundigt:
Postulat 2 (Lysets hastigheds konstans)
Lysets hastighed gennem det tomme rum er en absolut naturkonstant, og afhænger
ikke af kildens bevægelse.
Blandt andet fordi lysets hastighed alligevel altid er den samme, har man valgt
at definere størrelsen af længdeenheden meter, således at lysets hastighed er
præcist 299792458 m=s. Sekundet er defineret som varigheden af 9192631770
perio137der for den stråling, der stammer fra en ‘hyperfin’-overgang i grundstoffet Cs,55
en overgang der – meget passende – er et relativistisk fænomen [3, s. 1409].
Allerede i definitionen af lysets hastighed ser man et af de grundlæggende fænomener
i den specielle relativitetsteori, nemlig at tid og rum kan behandles på næsten lige
fod: Lysets hastighed fungerer som en konstant omsætningsfaktor, der f.eks. kan
bringe os fra rumlige afstande til tidslige, eller omvendt. Et formentlig velkendt
2
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 1. Indledning
eksempel er, når man måler afstande i lysår, der jo simpelthen er den afstand lyset
tilbagelægger på et år.
Relativitetsteoriens andet postulat er ikke fuldstændig uafhængigt af
Postulat 1, idet man – hvis Maxwells ligninger for elektriske og magnetiske felter udgør
en korrekt beskrivelse af naturens elektrodynamiske fænomener – kan udlede
lysets hastighed fra Maxwells ligninger (se ligningerne (28.20) og en kort
udledning nedenfor), hvorved Postulat 1 medfører Postulat 2. Så med den amerikanske
fysiker Hans C. Ohanians (1941–) ord udgør Postulat 2 en slags forsikring mod, at
Maxwells ligninger kunne være forkerte [9].
Med en forholdsvis simpel opstilling bestående af en lille pulseret laser, en
hurtig lysfølsom detektor og et oscilloskop, kan man måle lysets hastighed med
en præcision på omkring en procent [10]. Sådanne eksperimentelle opstillinger
benyttes bl.a. i undervisningen på Aarhus Universitet. Det er altså i virkeligheden
ikke lysets hastighed, man her tester, men målebåndet, idet lysets hastighed er
defineret.
Men hvordan fandt Einstein på Postulat 2? Han kendte naturligvis ikke de
ovenfor nævnte målinger. I sine selvbiografiske noter fra 1949 skriver han [11]:
Jeg fortvivlede mere og mere over muligheden for at opdage de korrekte
love gennem konstruktioner baseret på kendsgerninger. Jo længere og mere
fortvivlet jeg forsøgte, jo mere kom jeg til den overbevisning, at kun
opdagelsen af et universelt formelt princip kunne føre os til sikre resultater [:::] Efter
to års tænkning dukkede et sådant princip op fra et paradoks, jeg havde ramt
allerede i sekstenårsalderen: Hvis jeg forfølger en lysstråle med hastighedenc,
burde jeg se strålen som et rumligt svingende elektromagnetisk felt i hvile.
Der synes imidlertid ikke at være en sådan ting, hverken baseret på
erfaringen eller i henhold til Maxwells ligninger [der indgår i en elektromagnetisk
teori for lys, som diskuteres senere]. Helt fra begyndelsen forekom det mig
intuitivt klart at, baseret på en sådan observatørs standpunkt, alt ville ske i
henhold til de samme love som for enatør der, i forhold til Jorden, var
i hvile. For hvordan ville den første observatør ellers kunne vide, dvs. være i
stand til at bestemme, at han er i en tilstand af hastig, jævn bevægelse?
Mindst to ting er vigtige her: Man kan udlede meget fra et velvalgt overordnet
princip, og grundig tænkning over øjensynlige paradokser kan – selv i en alder af
16 år – føre til nye opdagelser. Resten af bogen handler om disse to ting, og især
om deres konsekvenser.
1Hvis man er lidt grov, kan man sige, at det at lysets hastighed er uforanderlig,
er det eneste mærkværdige i relativitetsteorien – resten er logik. Det er ganske vist
indimellem temmelig kompliceret logik, og adskillige af konsekvenserne er meget
1 I mange sammenhænge på universitetet – i modsætning til anbefalingerne [3, s. 92] – benytter man
ordene fart og hastighed i flæng, om end fart strengt taget er en størrelse (skalar) og hastighed er en vektor.
Tilsvarende kaldes bevægelsesmængde konsekvent for impuls, selvom man skal være opmærksom på, at
der er forskel [3, s. 263], og det er tilladt at tale om en centrifugalkraft der, vil jeg hævde, ikke er mere
underlig end tyngdekraften.
3
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 1. Indledning
svære at vænne sig til, da de strider mod ‘sund fornuft’. Men et af de mange citater
2der tilskrives Einstein er, at “sund fornuft er intet andet end de fordomme der
lagres i hovedet, før man fylder 18,” hvilket betyder, at man ikke altid kan stole
på sin sunde fornuft. Den sunde fornuft der f.eks. selv for den verdensberømte
naturvidenskabsmand Isaac Newton (1643–1727) viste, at tiden går uden relation
til noget ydre. Det er forkert, hvilket vi nu vil vise.
2 Man skal være lidt varsom med citater, og for den sags skyld, fotos af Einstein: Der florerer en hob af
forskellige versioner af begge slags på internettet, og det er svært at afgøre hvilke der er ægte. Det her
nævnte er f.eks. ikke inkluderet i standard-listen [12].
4
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDel I
Fundamentet
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 2
Et ur i bevægelse går langsomt
2.1 Tidsforlængelse, lysuret
Et af den specielle relativitetsteoris kardinalpunkter er udsagnet, at “et ur i
bevægelse går langsomt”, hvilket vi nu skal vise. Beviset er baseret på
Relativitetsprincippet, Pythagoras’ sætning (som man kan finde et kort bevis for i Appendiks A),
og det at lysets hastighedc i det tomme rum altid er den samme, uanset hvor
hurtigt kilden bevæger sig, og uanset hvor hurtigt observatøren bevæger sig.
Vi begynder med at konstruere et såkaldt lysur – vist skematisk i Figur 2.1 –
der består af to ideelle spejle, hvorimellem der kan løbe en lyspuls.
y
L
x
Figur 2.1: Et lysur i hvile. For at gøre både ud- og hjemturen synlige, er lysets ruter ikke
tegnet sammenfaldende, som de ellers bør være.
I lysuret i hvile, se Figur 2.1, er perioden den tid, det tager lyset at bevæge sig
fra det ene spejl, hen til det andet og tilbage igen. Hvis afstanden mellem spejlene
er givet somL, får man altså periodenT – svarende til den tidslige afstand fra tik0
over tak, tilbage til tik på et gammeldags ur – som
2L
T = (2.1)0 c
hvor indekset 0 viser – her og i det følgende – at der er tale om et instrument (ur
eller målestok f.eks.) i hvile. Denne tilstand af hvile regnes i forhold til
observatøren, der benytter inertialsystemetS med koordinaterne (x;y;z) og tident til sine
7
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 2. Et ur i bevægelse går langsomt
observationer. Er afstanden mellem spejlene f.eks. 15 cm, vil perioden af lysuret
være ca. 1 ns, da lysets hastighed er ca. 30 cm=ns.
Egentid
Der gælder helt generelt, at tiden målt på et ur i hvile i forhold til observatøren,
altså et ur i det såkaldte hvilesystem, kaldes egentiden. Hvilesystemet er ikke
nødvendigvis et system i hvile, men er et inertialsystem hvori det objekt man
betragter er i hvile. Dette giver også anledning til begrebet hvilemasse, dvs. massen
målt i det system hvori partiklen er i hvile. Vi skal senere se, at hvilemassen ikke
er den samme masse som for en partikel i bevægelse.
Egentiden er et mål for hvor lang tid der er gået for observatøren, som er
i hvile i forhold til uret, og den afhænger aldrig af bevægelsen i forhold til de
øvrige omgivelser af den, der observerer. Hun er jo pr. definition hele tiden i
hvile i forhold til dette ur, og hun vil derfor måle T ved de ovenfor nævnte0
tik-tak-tik. Den tid der går på et bestemt ur – f.eks. det ur en rumrejsende har
med på en rejse, der således viser hendes egentid – er uafhængig af hvem der
aflæser det pågældende ur, og dette ur vil i så fald vise den forløbne egentid
for den rumrejsende. Om det går hurtigt eller langsomt i forhold til et andet ur,
er en anden sag, som vi skal se. Der gælder også, at længder på tværs af en evt.
bevægelsesretning af uret er uafhængige af systemet hvorfra de observeres, dvs.
L =L , hvorL betegnes “hvilelængden”, en pointe vi vender tilbage til senere.0 0
Egentid skrives ofte med det græske ‘tau’,, men i dette kapitel benyttesT .0
Nu sættes lysuret i bevægelse med hastighedenv langsx-aksen, se Figur 2.2
og den mere levende tegning, Figur 2.3. Afstanden mellem det punkt påx-aksen,
hvor lyset udsendes, til det punkt påx-aksen, hvor det når tilbage til spejlet er
2s =vT; (2.2)
hvor periodenT , som vi her er ude på at bestemme, er perioden, eller antal
svingninger, målt med uret i bevægelse. Det er jo periodens afslutning, der definerer, at
y
h h
L
2s
x
Figur 2.2: Lysuret i bevægelse, hvor kun de aktive spejle er vist, men til forskellige
tidspunkter, nemlig i det øjeblik de bliver ramt af lyset. Der er kun 2 spejle, et for oven og
et for neden. Se også Figur 2.3.
8
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives2.1. Tidsforlængelse, lysuret
Figur 2.3: Lysuret i bevægelse. Illustration: Troels Marstrand.
y
h =cT=2
L =cT =20
s =vT=2
x
Figur 2.4: Lysuret i bevægelse (kun den ene halvdel af de aktive spejle set i Figur 2.2 er
vist).
pulsen er nået tilbage. Afstanden tilbagelagt af lyset langs de skrå hypotenuser,
begge kaldeth, er i løbet af samme tidsrumT ,
2h =cT: (2.3)
Her er det vigtigt, at lysets hastighed altid er den samme, såc i ligning (2.1) og i
ligning (2.3) er den samme. Der vil nu være en retvinklet trekant med kateterne
vT=2 (fra ligning (2.2)) og cT =2 (fra ligning (2.1)) og hypotenusen cT=2 (fra0
ligning (2.3)), se Figur 2.4.
9
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 2. Et ur i bevægelse går langsomt
2 2 2 1Af Pythagoras’ sætnings +L =h har man således
2 2 2vT cT cT0
+ = ; (2.4)
2 2 2
hvor kvadraterne kan udføres, og der ganges på begge sider med 4 i alle led,
2 2 2 2 2 2v T +c T =c T ; (2.5)0
2 2hvorefter vi samler led med hhv.T ogT ved at trækkev T fra på begge sider0
2 2 2 2 2 2c T =c T v T : (2.6)0
2Nu kan vi dele begge sider medc
2v2 2 2T =T T ; (2.7)0 2c
sætte uden for parentes på højresiden
!
2v2 2T =T 1 ; (2.8)0 2c
dele med udtrykket i parentesen på begge sider, og bytte højre- og venstresiden
om
12 2T =T ; (2.9)0 2v
1
2c
og til sidst tage den positive kvadratrod på begge sider
1
T =T : (2.10)r0
2v
1
2c
Ligning (2.10) er det ønskede resultat – sammenhængen mellem perioden på et
ur i hvile, egentidenT , og et ur i bevægelseT . Perioden på uret i bevægelseT er0
længere end for uret i hvileT . Hvis perioden er længere, går uret langsommere –0
den såkaldte tidsforlængelse for et ur i bevægelse.
2 2Hvisv er meget tæt påc bliverv =c meget tæt på 1. Trækker man et tal meget
tæt på 1 fra 1, får man noget der er tæt på nul. Kvadratroden af et tal der er tæt
på nul bliver lidt større, men er dog stadig tæt på nul, og 1 divideret med et tal
tæt på nul er meget stort. Perioden af uret i bevægelse er altså meget større end
perioden af uret i hvile, eller med andre ord: “Et ur i bevægelse går langsomt”. For
2 2 2 2at tage et specifikt eksempel: Ladv = 0:8c så fåsv =c = 0:64, 1 v =c = 0:36,p p
2 2 2 21 v =c = 0:6 og endelig 1= 1 v =c = 5=3, så et ur med hastigheden 80 % af
lysets hastighed går langsomt med en faktor 1:67.
1 Generelt tages der ikke så mange mellemregninger med som her. Derfor, hvis du føler dig fortrolig med
herfra at findeT som funktion afT ogv, kan du springe direkte til ligning (2.10).0
10
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives2.1. Tidsforlængelse, lysuret
Hvis derimodvc får man fra ligning (2.10) atT’T , så medmindre det0
ene ur bevæger sig med en hastighed sammenlignelig med lysets – eller man kan
måle begge ures gang meget præcist – ser man ikke fænomenet. Det er derfor vi
ikke ser det i dagligdagen.
Selvom vi har mødt begrebet for lidt siden, skal vi her gentage den vigtige
betegnelse: egentid, oversat fra engelsk, “proper time”. EgentidenT er den tid, der0
måles på et ur i hvile i forhold til observatøren, f.eks. på hendes armbåndsur, eller
antallet af hendes hjerteslag, som forhåbentlig er et nogenlunde jævnt gående ur.
Da vi nu har set, at “et ur i bevægelse går langsomt” (perioden T af et ur i
p
2 2bevægelse er en faktor 1= 1 v =c større end periodenT af uret i hvile), og et ur0
trivielt kun kan være i bevægelse i forhold til observatøren, hvis det ikke er i hvile,
kan man konkludere at egentidens periode er den kortest mulige, altså at dér går
uret hurtigst. I ethvert andet system er intervallet mellem to begivenheder, f.eks.
perioden, længere med en faktor større end en. Så objekter i hvile ældes hurtigst,
et fænomen vi vender tilbage til i kapitlet om tvillingeparadokset (Kapitel 20 på
side 169).
Sagt på en anden måde kan man sige, at egentiden er den tidslige afstand
mellem to begivenheder, der finder sted samme sted i forhold til et fast
inertialsystem, hvorimod den såkaldte koordinattid er den tidslige afstand mellem to
begivenheder, der ikke nødvendigvis finder sted samme sted. Dermed er
egentidens periode altid mindre end eller lig koordinattidens periode. I det tilfælde
hvor lysuret er i bevægelse er der altså ikke tale om en egentid, da uret jo har
flyttet sig fra lyspulsen forlod det nederste spejl, til lyspulsen er tilbage ved det
nederste spejl. De to begivenheder finder altså ikke sted samme sted. Vi vender
tilbage til relationen mellem egentid og koordinattid i Kapitel 18 på side 153.
Begivenhed
Denne diskussion fører naturligt til en definition af ordet “begivenhed” i
relativitetsteorien: En begivenhed er en bestemt hændelse på et bestemt stedx;y;z til
en bestemt tid,t. Ofte kaldes begivenhederE eller noget lignende (fra engelsk1
“event”), underforstået at man medE mener fire koordinater, de tre rumlige og1
den tidslige. Man forestiller sig således rummet forsynet med målestokke anbragt
i hhv.x,y ogz-retningerne, og i hvert krydspunkt et tilsvarende imaginært ur, der
på passende vis er synkroniseret med alle de andre ure, og som registrerer tiden
for en bestemt hændelse, der foregår i koordinatpunktetx;y;z. Man forestiller
sig således ure, der er fast anbragt i hvert eneste krydspunkt. Så en begivenhed
er kort sagtx;y;z;t tilhørende en bestemt hændelse. Hvordan synkroniseringen
foretages i praksis, vender vi tilbage til i næste kapitel.
Notationer med og
De størrelser, der indgår i ligning (2.10), er så ofte brugt, at de har fået deres egne
navne. Således benævnes faktoren, der relatererT ogT , med det græske bogstav0
11
Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregivesKapitel 2. Et ur i bevægelse går langsomt
gamma,
T =T ; (2.11)0
hvor den såkaldte Lorentz-faktor er givet ved
1
= : (2.12)r
2v
1
2c
Lorentz-faktoren er opkaldt efter den hollandske fysiker Hendrik Antoon Lorentz
(1853–1928), i anerkendelse af, at de såkaldte Lorentz-transformationer først blev
udledt af ham (dog baseret på argumenter af ad hoc typen, til forskel fra Einsteins
basale principper). Ligeledes benytter man notationen, hvor hastigheden i forhold
til lyshastigheden er angivet med det græske beta
v
= ; (2.13)
c
hvor – som vi skal se –jj for en massiv partikel aldrig kan blive større end eller
lig med 1. I notationen med ser ligning (2.12) således ud
1
= : (2.14)p
21
I eksemplet ovenfor havde vi