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Une vie de mathématicien

De
254 pages
S'adressant à un large public, la lecture du texte ne demande aucune connaissance mathématique. Les mathématiques se dissimulent derrière la majeure partie des objets et des techniques, elles s'inscrivent dans la vie de tous les jours, elles sont comme transparentes. Nous découvrons les conjectures si passionnantes, les théorèmes dormeurs, le chaos, la modélisation... et puis les mathématiques financières et les interrogations qu'elles suscitent. L'auteur nous conduit jusqu'aux limites actuelles des calculs.
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Une vie de mathématicien

Jean Céa

Une vie de mathématicien
Mes émerveillements

L’Harmattan

Du même auteur Qu’il est long le chemin de la France, Éditions du Losange, Nice, 2004. L'islam entre ombre et lumière, Éditions du Losange, Nice, 2007.

Jean CEA est l’auteur de nombreux ouvrages et publications en… mathématiques ! Il a été traduit en anglais, en polonais, en russe et en chinois.

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La photographie placée en première page de couverture est un montage réalisé à partir d'une vidéo de Jacques Laskar et de l’infographiste Jérémie Vidal-Madjar. L’astronome et l'équipe de l'Observatoire de Paris viennent d’établir qu’une collision est possible entre les planètes Mercure, Mars, Vénus et la Terre dans moins de cinq milliards d’années. La vidéo est une vue d'artiste de la collision Vénus-Terre.
Publication : revue Nature, 11 juin 2009. Site de l'institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides : http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/person/Laskar/jxl_collision.html Site de l’infographiste : http://lembo.free.fr

Introduction
Cet ouvrage s’adresse à un large public, son lecteur y trouvera une partie autobiographique, mais aussi, de l’épistémologie des mathématiques. Les éléments biographiques concernant l’auteur complètent un ouvrage précédent1. En se basant sur son expérience personnelle, l’auteur donne quelques exemples représentatifs du développement des mathématiques à travers les siècles. Il précise les apports effectifs des mathématiques au monde d’aujourd’hui et les besoins croissants dans le futur. Il éclaire les joies et les servitudes du métier dans contexte difficile. Les chapitres sont indépendants et peuvent être lus dans n’importe quel ordre. « Avec une alternance de chapitres techniques et de chapitres vécus ou humains », nous avons cherché à montrer que les mathématiques s’inscrivent dans la vie de tous les jours. Chaque chapitre commence, en général, par un bref paragraphe d’orientation.

L’explosion des mathématiques
Les mathématiques se dissimulent derrière la majeure partie des objets et des techniques de notre environnement, elles sont comme transparentes ; certains disent qu’elles sont enfouies dans les applications. Il en sera de même dans cet ouvrage : les mathématiques sont partout, mais on ne les voit pas, à peine pointent-elles le bout de leur nez par moment. Aussi, la lecture du
1. Dans son livre : « Qu’il est long le chemin de la France », Éditions du Losange, 1984, l’auteur relate la vie de ses parents, le choix de la France, son enfance et son adolescence en Algérie.

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texte ne demande aucune connaissance mathématique ; cependant, elle exige parfois de la concentration. Des compléments seront de temps à autre offerts en notes de bas de page ou en annexe ; mais ils ne sont pas nécessaires à la compréhension du texte. La recherche, en général, dopée par l’informatique, devient de plus en plus multidisciplinaire ; les mathématiques en bénéficient, elles qui constituent une discipline transverse à toutes les autres, une sorte de dénominateur commun. Dès qu’un chercheur de n’importe quelle matière envisage de passer du qualitatif au quantitatif, les mathématiques s’invitent à la fête ! Elles sont devenues irremplaçables pour le développement de la science. Avec juste raison, on peut parler d’universalité des mathématiques. Les jeunes mathématiciens ont bien de la chance, un monde merveilleux s’offre à eux, ils n’ont que l’embarras du choix face à tous les chemins qui leur sont ouverts. Les carrières les plus variées les attendent, ils pourront même créer leur propre entreprise.

Limites de cet ouvrage
Le champ des mathématiques est immense, il va de l’abstraction la plus théorique jusqu’aux applications les plus concrètes, tout en gardant sa cohérence d’ensemble, son unité. Devant cette immensité qui donne le vertige, il a bien fallu que l’auteur choisisse quelques domaines exemplaires pour essayer d’en donner des aperçus ; bien sûr, tous les choix sont critiquables, mais il en fallait bien un. L’auteur a privilégié ce qui l’a émerveillé. Un autre mathématicien, par exemple, un spécialiste des statistiques aurait certainement choisi d’autres exemples, les applications ne manquent pas dans ce domaine. Nous ne ferons qu’effleurer la politique de la recherche. C’est un sujet très complexe, fondamental pour l’avenir d’un pays, il nécessite de longs développements, une confrontation de points de vue. Les domaines de discussions et d’affrontements ne manquent pas : différents types de recherche, financement, organisation, évaluation, recrutement… Est-il nécessaire de rappeler que la société post-industrielle fait une place immense à l’immatériel, au virtuel ? Si un pays ne veut pas dépendre de donneurs d’ordre extérieurs, il doit créer ses propres produits innovants. Cela se joue 8

au sein de la recherche et de l’université, il n’existe pas de pays développé sans chercheurs. Nous ne parlerons pas de l’enseignement des mathématiques. La recherche est de plus en plus multidisciplinaire, cela demanderait une réactualisation des programmes et des méthodes pédagogiques.

Sciences et progrès
Un mathématicien est aussi un citoyen, il ne peut pas rester insensible aux problèmes de nos sociétés. Après les « Lumières » et la conquête des libertés, la foi dans les bienfaits des sciences et des technologies pouvait laisser croire que nos sociétés allaient se développer harmonieusement. Malgré des progrès certains, force est de constater aujourd’hui qu’il n’en est rien. Le débat sur le thème « Sciences et progrès » concerne l’ensemble des citoyens. Mais, soyons lucides, un tel débat ne peut qu’être difficile, il sera certainement pollué par de nombreux intérêts contradictoires ! Quoi qu’il en soit, une confrontation sur le sujet est nécessaire.

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La fée et l’apprenti-mathématicien
« Ce chapitre est en quelque sorte un hommage à l’École de la République. Nous décrivons le parcours d’un jeune fils d’émigrés espagnols, né dans un milieu de condition extrêmement modeste. Après plusieurs étapes, à la suite d’évènements heureux, le jeune homme va devenir Professeur des Universités et chercheur en mathématiques. Après un tel parcours, notre enseignant-chercheur gardera une vision distanciée de son milieu social. » L'itinéraire d'une vie est résolument toujours complexe et heureusement assez imprévisible. Vous êtes sur une belle ligne droite, tout se passe selon vos intentions, tout coule de source et puis patatras, vous arrivez à une bifurcation : où aller, à droite, à gauche, il faut prendre une décision irréversible. C’est la rivière sans retour. Feriez-vous le même choix deux jours plus tard ? Suivons celui d'un adolescent qui va plonger dans les mathématiques, mais, restons calmes, il ne le sait pas encore. Dans son petit village en Algérie, il aurait très bien pu apprendre sur le tas et exercer un de ces métiers typiques d'une zone agricole : ouvrier dans une ferme ou dans une cave viticole, mécanicien, coiffeur... garçon de café. Il n'y a pas de sots métiers, on peut exercer son intelligence dans tous les domaines. Mais, il y a une bonne fée qui veille au grain et qui va l’orienter dans une autre direction. En réalité, ses professeurs choisissent pour lui, la maman est très favorable, tout est donc pour le mieux dans ce village d’Aïn-Témouchent, le « petit » deviendra instituteur. 11

Va pour l'École Normale d'Instituteurs d'Oran ! Avec de nombreux avantages : heureuse époque, celle où un fils de prolétaires était pris en charge à la sortie du collège ! La voie est donc tracée : dans cette école, notre jeune homme suivra les classes de seconde, première et terminale, son année de formation professionnelle et puis... en route pour un poste d'instituteur en Algérie. Des perspectives agréables, un changement de statut, l’ascenseur social fonctionne. Mais voilà, son professeur de mathématiques a l’heureuse idée de le présenter au concours général, une première pour un si modeste établissement ! Pensez donc, une école normale d’instituteurs, pas même un petit lycée de province, qui ose présenter un candidat contre les élèves des puissants établissements de la métropole ! Notre jeune adolescent se fait remarquer, il se classe second et voilà son destin qui bascule ! Mais, ce qui est surprenant, c’est que le professeur aussi va se faire repérer. Denis Gerll enseignera plus tard les mathématiques dans une classe prestigieuse du Lycée Louis le Grand à Paris, il y formera des grands noms de la mathématique française, des futurs lauréats du concours général, bien plus, d’une Médaille Fields, l’équivalent1 du Prix Nobel en mathématiques. Il sera très actif dans la préparation de l’équipe de France aux olympiades mathématiques. Après un tel succès, notre lauréat « doit » continuer ses études, c’est évident pour son entourage. Une complicité entre le directeur de l’école, l'académie et le maire du village permet de trouver les financements nécessaires. Étant normalien primaire2, une seule voie s’ouvrait à lui à cette époque : l'École Normale Supérieure de Saint-Cloud. C’est en effet dans cet établissement que sont formés les futurs professeurs... des Écoles Normales d'Instituteurs. La bourse qu’il obtient ne lui permet pas de se présenter à un autre concours. Il faut donc passer avec succès le concours d’entrée à « Saint-Cloud ». Le lycée Chaptal de Paris le prépare efficacement à franchir l’obstacle. Encore quelques années et il rejoindra l'une de ces Écoles Normales d'Instituteurs pour y exercer le métier de professeur de mathématiques. Notre jeune enseignant peut mesurer
1. Voir Annexe 1 2. Par opposition à supérieur !

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le chemin parcouru et trouver que la vie est belle. Belle, mais avec un pincement au cœur toutefois ! En Janvier, le 15 pour être plus précis, au plus fort de la préparation au concours, sa mère le quitte à jamais à la suite d’une longue maladie. Ce terrible mois restera figé dans sa mémoire. Il était déjà orphelin de père depuis l’âge de huit ans, le voilà maintenant bien désarmé pour affronter la vie. Mais la bonne fée continue de veiller, elle estime que le compte n’y est toujours pas, elle aime bien perturber tout ce qui semble tracé d’avance, elle s'amuse à brouiller le cours du destin. Pendant son séjour à Saint-Cloud, les règles du jeu sont changées : tous les élèves devront désormais se présenter à l’agrégation. C'est une immense nouveauté, car dorénavant ils pourront enseigner non seulement dans les Écoles Normales d'Instituteurs mais aussi dans les lycées. C’est l’ouverture, le décloisonnement total. Allons donc de l’avant, passons l'agrégation avec un bel emploi en perspective dans une douce province française ! Mais notre fée est insatiable, elle a encore d'autres intentions. Une grande école offre des avantages énormes à ses élèves, ne serait-ce qu’une bonne circulation de l'information. Ainsi notre jeune agrégé apprend que, bien sûr, il pourra rejoindre un lycée comme enseignant3, mais qu’il a aussi d'autres possibilités. Il entend parler d'un poste d'attaché scientifique auprès d’une ambassade française dans un pays d’Amérique latine. C'est très alléchant d'autant que sa langue maternelle est l'espagnol ! Mais, en même temps, il apprend qu'il peut aussi rejoindre l'université de Nancy pour faire… de la recherche en mathématiques. De la recherche ? De quoi peut-il bien s’agir ? Un jeune étudiant en licence ou en agrégation n'en a généralement aucune idée. Habituellement, les mathématiques sont présentées de façon tellement limpide, rationnelle, dogmatique, logique, indiscutable que l'on a l'impression d’avoir devant soi une cathédrale, un monument historique, une construction figée pour la vie. Dans ce sens, citons J.A. Dieudonné4 : la plus fallacieuse des conceptions courantes est que, tout en étant submergés par les progrès que les

3. L'inspecteur général lui offre un poste de professeur dans un lycée de Cannes. 4. J.A.Dieudonné, Pour l’honneur de l’esprit humain, Histoire et Philosophie des Sciences, Hachette, 1988.

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médias leur décrivent à satiété dans toutes les autres sciences, nos contemporains restent presque tous persuadés qu'il n'y a plus rien à trouver en mathématiques, et que le mathématicien se borne à enseigner le legs des siècles passés. Insistons avec J.P. Bourguignon5 : Le drame des mathématiques, c'est que beaucoup de gens ne considèrent plus cette discipline comme une science, estimant qu'on sait tout dans ce domaine et qu'il n'y a plus rien à trouver. Il poursuit : Dans l'esprit de beaucoup, les mathématiciens sont des archéologues. Cette conviction est pire que tout, car c'est bien sûr totalement faux. Au contraire, la partie la plus intéressante, la plus pertinente, la plus forte aujourd'hui, c'est justement le lien entre les mathématiques et la haute technologie. Et encore : Dans l'industrie, l'importance des mathématiques est donc extraordinaire. On y est confronté à des problématiques pas banales qui conduisent à des découvertes mathématiques inattendues. Ces citations décrivent parfaitement la face cachée des mathématiques. Il existe en effet une infinité de problèmes mathématiques non résolus. Beaucoup reste à faire ; la plupart du temps, il ne s'agit pas de sortir une équation ou un théorème d'un tiroir. Tout un monde vivant mais bien caché reste à découvrir. L'étudiant, lui, ne voit qu'une partie de l'iceberg, celle qui est bien au point, apparente, relativement accessible, suffisamment proche pour lui faire sentir le parfum des mathématiques. À Nancy, notre jeune agrégé est nommé à l'Université comme Chef de travaux6, sautant l’étape de simple assistant. Il ne sait pas encore grand-chose de la vie universitaire, il est le premier de sa famille et de son milieu à y accéder. Il découvre un monde complexe, un travail à plusieurs facettes : enseignement, recherche et administration. Quant aux relations entre les individus, elles ne ressemblent à rien de ce qu’il connait.
5. Mathématicien français, Directeur de l’Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures sur Yvette, France. 6. À l’époque, il suffisait d’être agrégé pour devenir Chef de travaux. Ce grade changera de nom, il deviendra plus tard Maître-assistant puis Maître de conférences. Il exigera des travaux scientifiques reconnus par ses pairs et par divers comités. Nous en parlerons plus loin.

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Tout d'abord, et c’est pratiquement la seule partie visible de l'iceberg, « un enseignant enseigne » ! Cela va de soi, mais dans quel environnement ? Le jeune recruté découvre rapidement un monde hiérarchisé : les enseignants ne sont pas tous égaux. Il y a ceux du sommet de la pyramide, ils sont chargés de ce qu’ils appellent les cours magistraux, et puis les autres, les assistants et les chefs de travaux, à l’époque taillables et corvéables à merci ! Ils sont chargés de faire comprendre à la piétaille des étudiants ces fameux cours, ils ont la responsabilité des travaux pratiques, des exercices « à la pelle » destinés à illustrer les cours. À l'Université de Nancy, il y a deux Chefs de travaux en mathématiques qui doivent préparer chacun quatre problèmes par semaine, les soumettre aux étudiants, enfin, bien sûr, corriger les copies avec l’aide des assistants. La hiérarchie est donc bien établie, pour le meilleur et pour le pire, et fonctionne ainsi depuis au moins un siècle. Mais ce n’est pas tout : le Doyen de la Faculté des Sciences, un mathématicien à l'époque, serait fier que des universitaires fassent aussi des cours à l'École des Mines de la ville. Il exerce sur les Chefs de travaux une telle pression qu’il leur faut y aller, malgré leurs charges universitaires déjà très lourdes. Très rapidement, notre jeune apprenti mathématicien aborde la grande face cachée de l'université : la recherche. Créer de la nouveauté dans le monde des connaissances mathématiques peut paraître surprenant : il s'agit, en effet, de faire des incursions dans des territoires inconnus et d'en rapporter des découvertes qui seront publiées dans des journaux spécialisés. Dans le jargon universitaire, ces « reportages » s’appellent des « publications ». Mais attention, personne n’est obligé de croire sur parole un nouveau Marco Polo qui raconterait ses voyages dans la « terra mathematica incognita ». Que va-t-il se passer après la publication de ses soi-disant découvertes ? L'exposé d'un résultat mathématique comporte trois parties : d'abord, l'auteur présente les hypothèses, le point de départ de son raisonnement. Ensuite, pour éclairer son lecteur ou son auditeur, il peut énoncer tout de suite le résultat de ses élucubrations, c'est-à-dire ce que ses hypothèses impliquent : c'est la conclusion. Encore faut-il expliquer comment, 15

à partir des hypothèses, il arrive à la conclusion : c'est la démonstration. En mathématiques, ces trois phases sont obligatoires. Après une nouvelle publication, chaque mathématicien du monde entier peut vérifier la véracité des dires de l’explorateur7, il confirmera le résultat ou attirera l'attention sur une erreur. Toute tromperie serait vite démasquée. À l’opposé, si la qualité de la publication est exceptionnelle, son auteur est invité dans le monde entier pour expliquer sa démarche, pour présenter les outils mis en œuvre ainsi que les idées qui viennent d’émerger, c’est la gloire ! Bien sûr, il ne suffit pas de chercher pour trouver, un chercheur ne découvre pas de brillants théorèmes immédiatement. En général, il passe énormément de temps à sécher. Qui peut imaginer qu’un brillant cerveau puisse tourner en rond pendant des mois, sinon des années ? Le « génie » est rarement spontané, il a besoin d’être alimenté par un travail incessant. Mais s'il fait un pas en avant, les « accus » sont rechargés et il retrouve de l'énergie pendant des mois. Curieux métier avec des périodes de déprime suivies d’autres où le chercheur vit dans l'exaltation ! Sa vie ressemble à celle de certains artistes, et plus généralement à celles de tous les créateurs. Les mathématiques sont cependant singulières, car, a priori, elles ne reposent pas, comme le font d'autres sciences, sur une observation de la nature en vue d'une meilleure description ou compréhension. En général, un mathématicien construit une théorie abstraite à partir de résultats existants ; elle repose sur sa pensée, se nourrit du bon sens, de la logique et de la cohérence avec l'état de l'art du moment. Bien des mathématiciens sont conscients de construire des outils qui serviront à d’autres mathématiciens. Et puis, un beau jour, sans savoir ni quand, ni pourquoi, ni où, voilà que ces outils rejoignent la réalité et qu’une application, bien matérielle celle-là, les utilise, elle qui n’aurait pas pu exister sans eux. Cela fait partie du charme des mathématiques. À l’époque où débutait notre apprenti-mathématicien, quand un jeune chercheur avait plusieurs publications à son actif, portant en général sur un même thème, il regroupait l'ensemble de son travail

7. En réalité, dès la soumission d’un article pour publication, la direction du journal nomme un ou deux rapporteurs pour juger de sa qualité et de son apport. Mais, une erreur peut toujours échapper au regard critique d’un rapporteur !

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sous la forme d'un document écrit : la « Thèse8 » dite d’État. Celleci était validée par une soutenance publique devant un jury formé de professeurs français ou étrangers. Le chercheur obtenait alors le grade de docteur en mathématiques. Mais attention, la thèse d’État n’était qu’un critère de qualité, elle ne donnait rien d’autre qu’un grade, une condition nécessaire pour devenir, par exemple, Professeur des Universités. Faisons une différence entre agrégation et thèse. L’agrégation est un concours pour l’enseignement secondaire ; si vous êtes reçu, l’État vous réserve un poste dans un lycée, parfois dans un collège9. La thèse était alors le premier pas vers l’enseignement supérieur, mais il y avait encore des obstacles à franchir. Tout d’abord, un comité national devait évaluer votre thèse et vous inscrire (ou non) sur une liste d’aptitude à l’enseignement supérieur. Ensuite, vous deviez vous porter candidat dans une université disposant d’un poste libre (créé ou vacant) ; une commission de spécialistes classait les candidats. Enfin, le classement devait être validé par divers conseils. Après toutes ces épreuves, si vous étiez le premier10 de la liste, vous voila devenu professeur ! Intéressons-nous pour le moment à l'initiation du jeune chercheur. La première étape consiste à trouver un sujet de recherche, c'est-à-dire une direction dans laquelle il pourrait y avoir quelque chose à découvrir, assez rapidement si possible. C'est une des fonctions des professeurs que d'orienter la recherche des jeunes apprentis. Notre chef de travaux s'adresse donc à quelquesuns de ses aînés. Après chaque nouvelle consultation, il revient avec une longue liste de livres à lire et à comprendre. Avant d’explorer des terres inconnues, il faut franchir les frontières des continents connus. Ce que les étudiants apprennent à l'université ne leur suffit plus pour se lancer dans la recherche. Il faut étudier
8. Nous devons attirer l’attention du lecteur sur le fait que le système a changé. Nous décrirons plus loin la voie pour devenir Professeurs des Universités. Notons que ce titre regroupe aujourd’hui deux catégories d’enseignants d’hier : les Maîtres de Conférences et les Professeurs. Dans la suite, nous n’entrerons pas dans ces subtilités. 9. Pour ajouter un peu de confusion dans le système, il y a une autre agrégation en droit et en médecine notamment, qui ouvre la porte dans ces disciplines à l’enseignement supérieur. 10. Parfois, le premier choisit un autre poste, c’est donc le second qui passe.

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encore plus avant de partir vers l'inconnu. Aujourd'hui, selon le système européen LMD (Licence, Master, Doctorat) c'est en sixième année après le bac que commence la préparation d’un doctorat. C’est un peu long, mais, réaliser un rêve, n’est-ce pas un vrai bonheur ? Notre chercheur débutant fait alors connaissance avec le mythique Nicolas Bourbaki11 et parmi ses nombreux ouvrages, avec la « topologie générale ». La lecture d’une papardelle12 de livres dans des domaines inconnus de lui est une charge supplémentaire pour l’apprenti-chercheur. Vous n’absorbez pas un ouvrage de mathématiques sur des sujets que vous ne connaissez pas comme un roman policier. Le lecteur doit tout comprendre, mémoriser des résultats, prendre des notes tout au long de la lecture. Parfois, il doit se faire expliquer par un collègue une partie brumeuse rédigée un peu rapidement par l'auteur. Ajoutons que souvent les textes sont écrits dans une langue étrangère ! Tout à fait au début, notre chef de travaux a ainsi dû se faire traduire un article d’une mathématicienne russe. À coté de la lecture, il faut ajouter une autre charge, la participation aux « séminaires ». Naturellement, tout chercheur est tenu de publier les résultats de ses travaux, qu’il doit faire connaître par des conférences ouvertes à ses pairs, les fameux séminaires. À Nancy, le séminaire de mathématiques du vendredi après-midi réunissait toutes les semaines des sommités nationales et internationales. Pendant les premiers mois, notre agrégé apprenti-chercheur avait des difficultés à suivre ce qui était exposé, ainsi que les questions ou explications des auditeurs chevronnés. C’était une dure épreuve, un enseignement de la modestie et de la volonté car il fallait « s'accrocher ». À l'occasion du séminaire, notre chef de travaux découvrait encore un pan de la hiérarchie. Les réunions hebdomadaires étaient en effet précédées d'un repas
11. Nicolas Bourbaki est un mathématicien virtuel, il n’a jamais existé ! Vers les années 1930, un groupe de mathématiciens, majoritairement issus de l’École Normale Supérieure, peu satisfaits des ouvrages disponibles pour enseigner les mathématiques, décide de mettre la main à la pâte et de rédiger de nouveaux ouvrages en approfondissant la cohérence des mathématiques. Les structures vont atteindre leur apogée. Un vaste programme, qui s’est interrompu après un certain nombre d’années, et qui de toute façon n’aurait pas pu être terminé, puisque les mathématiques évoluent sans cesse. 12. Expression assez utilisée dans le Sud de la France : une grande quantité, un grand nombre …

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en l'honneur de l'invité, dans un des meilleurs restaurants de la ville. C'était encore l'époque des mandarins ! Ils revenaient souvent visiblement satisfaits, avec du retard sur l’horaire, parfois le visage un peu congestionné. La piétaille pouvait attendre ; depuis, mai 68 est passé par là, et tout a bien changé, sans que tout abus ait disparu. Un troisième pan du travail universitaire est relatif à l'administration. Par bonheur, à l’époque, ce travail concernait surtout les mandarins, et nous n’en parlerons pas dans ce chapitre. Depuis, il s’est généralisé à tous les enseignants, et au fil des réformes, chacun peut constater combien la bureaucratie a fait preuve d'innovation pour apporter une nouvelle strate de complexité et de « réunionite » aigüe à chaque échelon de l'organisation universitaire. Malheureusement, tout cela a un prix. Après cette visite rapide de l'université, revenons à notre jeune chef de travaux. Sa bonne fée va lui jouer encore un tour. Après un an de travail, le temps des examens arrive ; comme tout enseignant, il doit jouer son rôle de surveillant. Les Professeurs eux-mêmes n’en sont pas exemptés. C'est un travail simple, sans aucun intérêt : contrôle de l'identité des élèves, distribution des sujets, surveillance, distribution de feuilles vierges, puis, finalement collecte des copies. Les étudiants, souvent majeurs, ne posent pratiquement pas de problème. Dans l'amphithéâtre, à côté de notre chef de travaux, un Professeur récemment nommé à Nancy tourne en rond, il n'a rien à faire qu’à attendre la fin de l’examen. Un rapprochement se fait entre les deux surveillants, l’ainé interroge le cadet lui demandant où il en est dans sa recherche. La réponse est simple : « pour le moment, j'ai toute la topologie générale de Bourbaki à assimiler ainsi que trois livres sur la variable complexe ». En dépit de cette lecture, aucun thème de recherche ne s'est encore dégagé. De la façon la plus naturelle du monde, nos deux compères oublient momentanément les étudiants qui ont achevé leurs épreuves, et se retrouvent au bas de l’amphithéâtre, devant le tableau noir ; l'ainé énonce devant le novice le problème qui va devenir son thème de recherche pendant des années. Adieu topologie, adieu variable complexe, bonjour les mathématiques appliquées. Le sujet connaîtra une explosion mondiale par la 19

suite13, la direction prise par le « patron » pour résoudre toute une famille de problèmes est la bonne. Pour donner une idée de ce dont il s’agit, disons que nous recherchons des fonctions comme la température, la pression, la densité, des vitesses de déplacement... en tous les points du domaine étudié. La résolution numérique de ce type de problème va donner un essor considérable à ce qui s'appelle les mathématiques appliquées (et ouvrir la voie à de nouvelles méthodes de conception sur ordinateur de voitures, d’avions …). Notre jeune chef de travaux, l’auteur de cet ouvrage, vous l’avez deviné bien sûr, allait ainsi devenir le premier élève de Jacques-Louis Lions14 sur un sujet extrêmement porteur, d'autant plus porteur que les ordinateurs allaient, dans le même temps, développer des puissances phénoménales de calcul et permettre ainsi une rapide mise en pratique des résultats de la recherche conceptuelle. Donnons un exemple simple d'un tel problème : maintenons une partie d'une plaque métallique à une certaine température ; il s'agit de déterminer par des calculs la valeur de la température en tout point de la plaque. Pour comprendre la méthode dite numérique, il faut disposer d'un certain bagage mathématique, mais qu’à cela ne tienne, concentrons-nous sur l’idée essentielle : au lieu de chercher la température en tous les points de la plaque (ils sont une infinité), limitons-nous à un certain nombre d’entre eux, par exemple 2.000, régulièrement répartis. Nos inconnues deviennent la température en ces points ; il y en a donc 2.000, et il ne nous reste plus qu'à trouver 2.000 relations liant ces inconnues15 et à résoudre le système de 2.000 équations à 2.000 inconnues. Aujourd'hui, l’ordre de grandeur a considérablement changé : les chercheurs en sont à des centaines de millions d'équations à autant d'inconnues. Bien plus, le record d’un milliard est atteint, nous en parlerons au chapitre consacré au « Calcul Haute Performance ».
13. « L'approximation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques ». La technique utilisée est plus connue sous le nom : « Méthode des éléments finis ». 14. Un mathématicien exceptionnel, un chapitre lui sera consacré. 15. C'est là que se cache la méthode : comment trouver un système discret (quelques points) qui décrit de façon approchée un système continu (tous les points de la plaque) ? Autrement dit, comment passer de l’infini au fini ? Dans sa thèse l’auteur traitait environ 2.000 points, c’était déjà énorme !

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J.L. Lions s'est très vite singularisé dans le monde des « patrons », pardon, des directeurs de thèse. Pour lui, acquisition des outils et recherche sur un thème précis vont de pair : il ne faut pas s'éparpiller, au contraire allons « droit au but ». Alors que pour d’autres patrons, il faut lire, beaucoup lire, et étudier jusqu'à ce que l'idée germe et demande à être développée. Cette double approche de la recherche s’apparente aux démarches inductives ou déductives que l’on retrouve dans les formations d’ingénieurs actuelles par voie d’apprentissage ou par voie classique. L’été suivant, maintenant fort d’un sujet de thèse, notre jeune chercheur attaque son problème tout en lisant la littérature indispensable pour comprendre et le problème posé et la méthode numérique propre à le résoudre. Et puis, la rentrée arrive ! Patatras, le chef de travaux est complètement absorbé par des tâches d'enseignement à l'Université et à l’École des Mines. Le constat est effrayant : il n'aura jamais assez de temps à consacrer à sa recherche pendant l’année universitaire. Rappelons une fois de plus qu'à cette époque, un chef de travaux était taillable et corvéable à merci. Pour les lecteurs qui ne sont pas avertis de la situation dans les universités, signalons qu'aujourd'hui, les horaires d’enseignement sont les mêmes pour tous les enseignantschercheurs16 ! Il faut réagir pour ne pas devenir, après quelques années à l'université de Nancy, un enseignant complètement aigri. Notre jeune chercheur informe son patron qu'il est raisonnable d'arrêter la comédie de la préparation d'une improbable thèse. Il va demander sa réintégration dans le corps des agrégés et prendre un poste dans un lycée, de préférence dans le Midi. Au moins ne sera-t-il pas partagé entre deux projets inconciliables. La bonne fée était-elle encore dans les parages, avait-elle écouté la conversation entre les deux hommes ? Toujours est-il que quelques jours plus tard, toujours sur les conseils de son patron,

16. Les professeurs agrégés du secondaire détachés à l'Université (PRAG) font un service double, mais ils n’ont pas d’obligation de recherche. Naturellement, la cohabitation de personnels avec des qualifications et des services différents peut entraîner des tensions.

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voilà notre apprenti chercheur candidat à un poste d'attaché de recherche au CNRS17. Un vrai bonheur : au lieu de quitter l'université en situation d'échec, c'est la voie royale qui s’offre à lui : tout son temps devient disponible pour la recherche. Les résultats ne se font pas attendre. Trois ans plus tard la thèse est soutenue. La date de la soutenance n’est pas laissée au hasard, ce sera en Janvier en hommage à sa mère décédée le 15 Janvier 1952. Mais, une semaine avant la soutenance, à la suite du traitement d’une petite maladie par de la pénicilline, notre futur impétrant subit un choc très violent, il est allergique à cet antibiotique et il ne le savait pas. Pendant des heures délicates, il est en danger et puis la vie reprend le dessus. Il est question de reporter la soutenance de la thèse, mais rien n’y fait, il soutiendra envers et contre tout en Janvier. La bonne fée avait baissé la garde, elle s’était octroyée quelques jours de congé, mais le chercheur quoique affaibli tenait bon18. Tous ceux qui entendent parler pour la première fois du métier d’attaché de recherche sont intrigués. Ainsi, un livreur venu installer chez nous un réfrigérateur avait bien remarqué dans les papiers à signer après sa prestation que j’exerçais ce curieux métier. Quelques jours plus tard, j’apprends par des amis (eux aussi acheteurs de matériel électroménager) que notre livreur a eu la chance de voir de près un « type » qui est dans les recherches, du genre détective privé ou policier, et chose surprenante, il est tout à fait normal. Ce gag nous a amusé pendant longtemps, un mathématicien détective ça peut exister et ressembler à monsieur tout le monde ! Nous sommes passés rapidement sur la notion de « publication » ; attardons-nous un instant sur le sujet. Naturellement, tout chercheur est pressé de publier, ne serait-ce que pour s’assurer de la paternité de sa trouvaille … pour progresser dans sa carrière et garantir son gagne-pain19. Cependant,
17. J'ai cru comprendre à l'époque, que la direction du département de mathématiques n'appréciait pas les conseils de mon patron, ni mon départ pour le CNRS. 18. L’auteur se sentait oh combien redevable envers sa mère, il l’aimait bien sûr, mais surtout, il admirait cette femme illettrée, courageuse et intelligente. Cf. Jean CEA, « Qu’il est long le chemin de la France », Éditions du Losange, 2004. 19. Les universitaires américains utilisent une expression terrible : « Publish or Perish» (Publier ou périr).

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tactiquement la question se pose de publier immédiatement ou d’attendre d’avoir exploité à fond les idées nouvelles. Dans les deux cas, il y a un risque. Une publication rapide vous garantit la paternité, mais permet aux chercheurs du monde entier de se saisir de vos idées et de les exploiter, peut être, avant vous. Si vous tardez à publier, afin d’exploiter à fond vos idées, quelqu’un d’autre peut le faire avant vous ! Certains concepts sont souvent dans l’air du temps et tous les chercheurs du monde sont à l’affût. Tant que le chercheur travaille sur de la matière inerte, tout cela n’est pas excessivement grave, c’est surtout une question d’égo. Par contre dès qu’il s’agit du vivant, alors se pose une question d’éthique. En effet, que penseriez-vous de quelqu’un qui ferait une grande avancée dans le traitement du sida et qui la garderait secrète en attendant d’exploiter à fond ses idées ? J’ai vécu une période qui me parait bien lointaine dans cette bonne ville de Nancy. À l’époque, un chef de travaux, et à plus forte raison un « Professeur des Universités » était quelqu’un, un homme respecté. Il devait d’ailleurs être à la hauteur de son rang, « Monsieur le Doyen » y veillait et m’avait averti dès mon arrivée à Nancy. Comme évidemment l’argent du ménage était rare en ces débuts de carrière, au cours de notre première visite à Nancy, nous étions descendus ma femme et moi dans un hôtel « peu étoilé ». De quoi s’attirer les foudres de cet homme distingué ! L’université faisait imprimer des affiches contenant la liste des cours et les noms des enseignants. Jusque là rien de surprenant, mais un beau jour j’ai découvert une affiche placardée à coté de la porte de mon domicile. Il semblait important que tout le voisinage sache qu’ici résidait un universitaire. C’était peut-être valorisant aux yeux des voisins. Aujourd’hui, quels sont les métiers qui sont supposés apporter un tel prestige à leur entourage ? « Nous allons aborder maintenant un nouveau chapitre. L’auteur a passé sa vie à la recherche de solutions de problèmes complexes, il a toujours été question de chercher des nombres. Nous commençons donc par préciser le long cheminement de l’histoire qui a conduit aux nombres que nous connaissons et au fameux zéro ». 23

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Les nombres entiers et le zéro
« Dès les premiers âges, nos ancêtres éprouvaient le besoin de compter, c'est-à-dire d’exprimer des quantités, qu’elles soient entières ou qu’elles résultent de mesures de longueurs, aires ou volumes. Chaque civilisation inventa ses techniques, puis, l’écriture vint tout balayer : avec un nombre fini de signes, nous pouvons tout exprimer. » N’importe quel élève connaît aujourd’hui la signification d’un nombre comme 123, par exemple. Et pourtant, l’empereur d’occident, Charlemagne, le créateur des écoles européennes, ignorait totalement le sens de ces chiffres. Il a fallu une longue histoire pour arriver à une écriture aussi simple, des millénaires ! Cependant, depuis l'éternité, nos ancêtres étaient amenés à compter. Actuellement, le document le plus ancien est le bâton d’Ishango découvert en 1950 près du lac Édouard au Congo. Il s'agit d'un os d'une dizaine de centimètres sur lequel on distingue des incisions, en particulier un groupe de trois encoches suivi d’un ensemble de huit points. Toutefois, l’interprétation de ces divers signes est encore discutée. Le papyrus de Rhind est lui plus récent (1650 avant JC ; il contient des copies de documents anciens). Il fut acheté à Louxor en 1858 par Henry Rhind. Le papyrus traite 87 problèmes des plus divers ; le scribe maîtrise bien les nombres et certaines techniques mathématiques, en particulier, la règle de trois. Les tablettes d'argile, à peu près de la même époque, sont bien plus nombreuses ; avec quelques signes seulement les comptables sumériens et phéniciens savaient gérer de nombreuses quantités. 25