Viscoplasticité, endommagement, mécanique de la rupture et mécanique du contact

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Concevoir de nouveaux matériaux de structure, allonger la durée de vie des pièces, éviter les ruptures en service font partie des préoccupations majeures des ingénieurs. Une bonne maîtrise du comportement mécanique des matériaux est essentielle pour aboutir à ce résultat. Cet ouvrage aborde ce sujet dans les domaines de la viscoplasticité, de l'endommagement, de la résistance à la fissuration et de la mécanique du contact. Faisant suite à un précédent volume sur le comportement mécanique des matériaux, consacré à l'élasticité et à l'élastoplasticité, il conserve la même démarche qui consiste, en partant des mécanismes actifs à l'échelle microscopique, à remonter aux lois macroscopiques. Le premier chapitre concerne les comportements viscoplastiques qui se manifestent, par exemple, à basse température, par une influence de la vitesse de sollicitation, ou, à haute température, par le fluage sous charge constante. Le deuxième chapitre traite des très nombreux phénomènes d'endommagement que l'on rencontre dans tous les matériaux (métalliques, polymères, verres, bétons ...), comme la cavitation, la fatigue, la corrosion sous contrainte. Le troisième chapitre donne les notions de mécanique de la rupture nécessaires pour comprendre la résistance de la fissuration. Le quatrième chapitre apporte les notions principales de mécanique du contact. Chaque chapitre est suivi d'exercices, énoncés de telle sorte que le lecteur est guidé pas à pas pour trouver la solution. De très nombreuses illustrations facilitent la lecture. Comportement mécanique des matériaux est le fruit du DEA "Mécanique et Matériaux" de la région parisienne. Il s'adresse aussi aux élèves-ingénieurs, ingénieurs et chercheurs. Les développements mathématiques y sont d'un accès facile. Les réelles difficultés, dont la maîtrise n'est pas exempte d'aspects passionnants, résident dans les fréquents changements d'échelle et dans le sens physique auquel il est fait appel.

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Date de parution 07 avril 2009
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EAN13 9782746243231
Langue Français

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COMPORTEMENT MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX
Viscoplasticité,
endommagement,
mécanique de la rupture
et mécanique du contact
Dominique François
André Pineau
André Zaoui
permes Lavoisier Viscoplasticité, endommagement,
mécanique de la rupture et mécanique du contact © LAVOISIER, 2009
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
© Hermès, Paris, 1993, 1995
www.hermes-science.com
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Mixed Sources
Product group from well-managed
forests and other controlled sources
ISBN 978-2-7462-2348-6
Cert no. SGS COC 2953
www.fsc.org ISBN general 978-2-7462-2346-2
© 1996 Forest Stewardship Council
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Printed and bound in Great Britain by CPI Antony Rowe, Chippenham and Eastbourne. March 2009. Viscoplasticité,
endommagement,
mécanique de la rupture
et mécanique du contact
Dominique François
André Pineau
André Zaoui
cience Lavoisier COMPORTEMEN T MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX
Dans la même collection :
Élasticité et plasticité
Dominique François, André Pineau, André Zaoui.
ISBN 978-2-7462-2347-9 Table des matières
Avant-propos 11
Chapitre. Elastoviscoplasticité3
1.1. Introduction
1.2. Résultats expérimentaux caractéristiques 14
1.2.1. Réponse unidimensionnelle5
1.2.1.1. Fluage -—1.2.1.2. Courbes de traction — 1.2.1.3. Relaxation
— 1.2.1.4. Sauts de contrainte en fluage —.2.1.5. Restauration
— 1.2.1.6. Vieillissement —1.2.1.7. Essais cycliques
1.2.2. Réponse sous chargement multiaxial 30
1.2.3. Synthèse 32
1.3. Mécanismes physiques responsables de la viscoplasticité3
1.3.1. Activation thermique de la déformation plastique et viscoplasticité
à basse température
1.3.1.1. Introduction — 1.3.1.2. Formalisme de l'activation thermique
de la déformation plastique — 1.3.1.3. Nature et résistance des obstacles
1.3.2. Modèles physiques de la viscoplasticité à haute température 50
1.3.2.1. Fluage-dislocations — 1.3.2.2. Fluage-diffusion
— 1.3.2.3. Diagrammes de fluage — 1.3.2.4. Superplasticité
1.4. Modèles mécaniques de la viscoplasticité macroscopique 75
1.4.1. Potentiel viscoplastique pour le monocristal6
1.4.2.le pour le polycristal9
1.4.3. Comparaison entre plasticité indépendante du temps
et viscoplasticité 80
1.4.4. Ecriture de lois particulières1
1.4.4.1. Lois sans écrouissage — 1.4.4.2. Lois avec écrouissage
multiplicatif — 1.4.4.3. Lois avec écrouissage additif isotrope
— 1.4.4.4. Lois avec écrouissage additif cinématique — 1.4.4.5. Lois
avec restauration —1.4.4.6. Remarques sur la mise en œuvre des modèles
1.4.5. Traitement simultané de la plasticité et de la viscoplasticité 88
1.5. Méthodes de renforcement des matériaux devant résister au fluage 89
1.5.1. Méthodes de renforcement liées à la diffusion 9
1.5.2. Fluage des solutions solides ;2
1.5.3. Fluage des alliages renforcés par des particules3 6 Comportement mécanique des matériaux
Exercices 95
Chapitre 2. Endommagements 11
2.1. Description des divers types d'endommagement
2.1.1. Généralités
2.1.2. Les clivages et les ruptures apparentées7
2.1.3. Rupture ductile 120
2.1.4. Fatigue3
2.1.5. Fluage
2.1.6. Corrosion sous contrainte et fatigue-corrosion 12
2.1.7. Fragilisation5
2.1.8. Ruptures brutales et ruptures différées8
2.2. Rupture par clivage
2.2.1. Description du clivage
2.2.2. Contrainte théorique de clivage 129
2.2.3. Représentation d'une fissure par des dislocations 13
2.2.4. Rupture par clivage ou rupture intergranulaire ?1
2.2.5. Naissance des clivages 132
2.2.6. Emoussement des clivages
2.2.7. Propagation dess 14
2.2.7.1. Relaxation par glissement de dislocations — 2.2.7.2. Interaction
avec les joints de grains
2.2.8. Rupture des carbures dans les aciers doux4
2.2.9. Les paramètres de la contrainte de clivage5
2.3. Rupture fragile des céramiques7
2.3.1. Caractères de la rupture
2.3.2. Améliorations obtenues en agissant sur les joints de grains 14
2.3.3.ss par incorporation de zircone métastable8
2.3.4.s obtenues par microfissuration 14
2.3.5. Sensibilité au choc thermique 149
2.3.6. Rupture différée des céramiques
2.4. Rupture du verre
2.4.1. Microfissures superficielles
2.4.2. Renforcement par des particules métalliques 150
2.4.3. Rupture différée du verre 151
2.5. Rupture du béton
2.5.1. Description des mécanismes de rupture
2.5.2. Critères de rupture4
2.5.3. Mécanique de l'endommagement6
2.6. Aspects statistiques de la rupture fragile9
2.6.1. Théorie du maillon le plus faible
2.6.2.e de Weibull 16
2.6.3. Relation avec la distribution de microfissures 163
2.6.4. Théorie de Batdorf5
2.6.5. Quelques difficultés6 Table des matières 1
2.7. Rupture des composites 169
2.7.1. Effet des contraintes résiduelles
2.7.2. Composites à fibres longues plus fragiles que la matrice 170
2.7.3.s à fibres courtes, ou à renforts particulates 172
2.7.4. Critères de rupture macroscopique 173
2.8. Rupture ductile des métaux5
2.8.1. Amorçage des cavités
2.8.2. Croissance dess8
2.8.2.1. Cavité isolée — 2.8.2.2. Interaction entre cavités
— 2.8.2.3. Comportement des milieux poreux
2.8.3. Coalescence des cavités 18
2.9. Transition fragile-ductile
2.9.1. Eprouvette lisse9
2.9.2. Effet de la vitesse de sollicitation 190
2.9.3. Effet d'entaille1
2.9.3.1. Généralités — 2.9.3.2. Mécanique des éprouvettes entaillées
— 2.9.3.3. Effet des entailles sur la transition fragile-ductile
2.9.4. Essais de resilience 20
2.9.5. Influence des facteurs métallurgiques 202
2.10. Rupture des polymères 205
2.11. Fatigue
2.11.1. Généralités9
2.11.2. Amorçage des fissures de fatigue 213
2.11.3. Germination et croissance continues des fissures — Equation
de conservation du nombre de fissures6
2.11.4. Fatigue plastique oligocylique 220
2.11.5. Propagation des fissures de fatigue
2.11.6. Influence de la microstructure sur la fatigue 232
2.11.7. Cumul de l'endommagement en fatigue5
2.12. Endommagement en viscoplasticité. Rupture intergranulaire à haute
température 23
2.12.1. Introduction6
2.12.2. Cavitation intergranulaire — Mécanismes 238
2.12.2.1. Germination des cavités — 2.12.2.2. Croissance des cavités
2.12.3. Mesures d'endommagement par fluage et approches
phénoménologiques 260
2.12.3.1. Introduction — 2.12.3.2. Loi de Monkman-Grant
— 2.12.3.3. Courbes isochrones de fluage à rupture sous chargement
multiaxial — 2.12.3.4. Bases de la mécanique de l'endommagement
— 2.12.3.5. Mécanique de l'endommagement et mesures physiques
d'endommagement intergranulaire
2.13. Fragilité intergranulaire 271
2.13.1. La fragilité de revenu réversible des aciers 27
2.13.2. Ségrégation des impuretés sur les joints2
2.13.3. Fragilisation par les métaux liquides8
2.13.4. Surchauffe des aciers8 Comportement mécanique des matériaux
2.14. Fragilisation par l'hydrogène 280
2.14.1. Fragilisation des métaux formant des hydrures 281
2.14.2. Métaux et alliages ne formant pas d'hydrures2
2.15. Corrosion sous contrainte et fatigue-corrosion
2.15.1. Caractères généraux
2.15.2. Mécanismes4
2.15.3. Propagation des fissures7
2.15.4. Facteurs métallurgiques 29
Exercices 293
Bibliographie 311
Chapitre 3. Mécanique de la rupture
3.1. Divers modes de ruine et d'endommagement. Intérêt de la mécanique
de la rupture
3.2. Analyse des fissures en élasticité linéaire bidimensionnelle 315
3.2.1. Notations et hypothèses
3.2.2. Rappels sur les méthodes générales de résolution des problèmes
d'élasticité plane7
3.2.2.1. Déformation antiplane — 3.2.2.2. Déformation plane et contrainte
plane — 3.2.2.3. Problèmes axisymétriques
3.2.3. Singularité du champ des contraintes 320
3.2.3.1. Les trois modes d'ouverture d'une fissure — 3.2.3.2. Introduction
du facteur d'intensité des contraintes, K— 3.2.3.3. Champs de contraintes
et de déplacements — 3.2.3.4. Quelques expressions utiles du facteur
d'intensité de contrainte
3.2.4. Taux de libération d'énergie, G 33
3.2.4.1. Théorie de la rupture fragile par Griffith — 3.2.4.2. Relation entre
G et la complaisance C de la structure — 3.2.4.3. Relation entre K et G
3.2.5. Méthodes de calcul des facteurs d'intensité de contrainte 334
3.2.5.1. Utilisation de solutions existantes. Principe de superposition
— 3.2.5.2. Méthodes expérimentales de détermination du facteur
d'intensité de contrainte — 3.2.5.3. Méthodes numériques de détermination
des facteurs d'intensité de contrainte
3.2.6. Quelques remarques sur les fissures tridimensionnelles 343
3.3. Analyse des fissures en élasto-plasticité. Cas de la plasticité confinée5
3.3.1. Introduction 34
3.3.2. Analyse qualitative de l'écoulement plastique en pointe de fissure.
Cas de la contrainte plane et de la déformation plane 346
3.3.3. Solutions en plasticité confinée8
3.3.3.1. Modèle d'Irwin — 3.3.3.2. Modèle de Dugdale-Barenblatt ou
de Bilby-Cottrel-Swinden
3.4. Introduction à l'analyse des fissures en plasticité étendue 35
3.4.1. Chargement limite 356
3.4.2. Plasticité parfaite. Champ de Prandtl9
3.4.3. Intégrale de contour, / 360
3.4.4. Solution asymptotique. Champ H.R.R3 Table des matières 9
3.5. Résumé sur la mécanique de la rupture en élasticité linéaire
et en comportement non linéaire 366
3.6. Applications de la mécanique de la rupture7
3.6.1. Détermination de la ténacité K\ — Notion de courbe R 368 c
3.6.2. Propagation des fissures par fatigue 37
3.6.3.n des fissures en corrosion sous contrainte et en
fatiguecorrosion 380
Annexe I. Etude de la zone plastifiée en pointe de fissure en mode III.
Cas de la plasticité confinée4
Exercices7
Bibliographie 398
Chapitre 4. Mécanique des contacts — Frottement et usure 399
4.1. Introduction
4.1.1. Mouvement relatif des surfaces 400
4.1.2. Forces transmises au point de contact1
4.2. Mécanique du contact2
4.2.1. Analyse en élasticité
4.2.1.1. Position du problème — 4.2.1.2. Chargement linéique d'un solide
semi-indéfini —4.2.1.3. Chargement ponctuel d'un solide semi-infini
— 4.2.1.4. Théorie de Hertz du contact normal — 4.2.1.5. Chargement
tangentiel et glissement — Cas de deux cylindres
4.2.2. Analyse en élasto-plasticité 433
4.2.2.1. Début de la plastification —4.2.2.2. Implications
pour l'endommagement sous l'effet de contacts normaux répétés
4.3. Frottement 438
4.3.1. Introduction
4.3.2. Aire réelle de contact — Influence de la topographie et de la nature
des contacts
4.3.3. Adhérence 441
4.3.4. Modèles et lois de frottement2
4.3.4.1. Interactions géométriques et mécaniques des aspérités
— 4.3.4.2.s physico-chimiques — Adhérence des aspérités
4.4. Usure — Mécanismes et modèles6
4.4.1. Usure provoquée par l'abrasion7
4.4.2.e produite par l'adhérence8
4.4.3. Autres modes d'usure 450
4.5. Matériaux pour frottement et usure
4.5.1. Matériaux métalliques1
4.5.2. Polymères2
4.5.3. Céramiques
Exercices 453
Bibliographie4
Nomenclature5 10 Comportement mécanique des matériaux
Glossaire 467
Constantes physiques et facteurs de conversion 471
Tableaux 472
Index 489 Avant-propos
Dans un premier volume, nous avions étudié les comportements élastique
et plastique des matériaux en nous efforçant de montrer les liens qui pouvaient
exister entre les phénomènes à l'échelle microscopique et les relations entre
contraintes et déformations à l'échelle macroscopique.
On pourra se reporter à son introduction pour appréhender les divers
types de comportements mécaniques. Après le comportement élastique pour
lequel toute déformation disparaît après décharge, let plastique
pour lequel les déformations irréversibles sont indépendantes du temps, il nous
reste à étudier ceux pour lesquels celui-ci intervient. Nous laisserons de côté
ici la viscoélasticité, particulièrement importante lorsque l'on a à faire à des
polymères, pour étudier la viscoplasticité. Il s'agit donc d'un comportement ac­
compagné de déformations irréversibles qui évoluent au cours du temps toutes
choses égales par ailleurs. Il intervient naturellement à haute température et sa
connaissance est importante pour la conception d'appareils qui fonctionnent à
chaud tels que des turbines, des chaudières ... Mais nous verrons ce comporte­
ment se manifester aussi à basse température, où la plasticité étudiée dans le
volume précédent ne constituait qu'une première approximation. Les sollicita­
tions peuvent ensuite provoquer des endommagements, et aboutir à la rupture.
Ils revêtent une importance pratique considérable. Des pièces qui rompent en
service n'entraînent pas toujours des catastrophes comme celle de Tchernobyl,
mais à coup sûr des coûts d'immobilisation, de remplacement, de réparation
qui sont loin d'être négligeables. La fiabilité des constructions est de plus en
plus recherchée non seulement parce qu'elle retentit sur la compétitivité ainsi
que sur la productivité, mais encore parce que la protection de l'environnement
est à juste titre à l'ordre du jour : il est primordial d'éviter à tout prix la rup­
ture d'une cuve de réacteur nucléaire, d'un barrage, d'un pétrolier géant, d'un
avion, d'un réacteur chimique. Somme toute, les ingénieurs font plutôt bien
leur travail si l'on considère le relativement faible nombre d'accidents graves 12 Comportement mécanique des matériaux
résultant de fautes de conception. Cependant on ne saurait être trop prudent
et le savoir est, en cette matière, le commencement de la sagesse.
Le choix de bons matériaux revêt une importance toute particulière. On
a cru pendant longtemps qu'il fallait, avant tout, rechercher des matériaux
possédant une résistance à la déformation la plus élevée possible. Puis, progres­
sivement, dans de nombreux cas, on a dû s'employer à rechercher des matériaux
présentant un meilleur compromis entre leur résistance et leur ténacité ou, de
façon plus générale, leur ductilité. Par ailleurs, surdimensionner n'est pas non
plus une bonne solution.
Dans de nombreux cas aussi prolonger la durée de vie des structures est un
objectif intéressant. Une bonne maîtrise des phénomènes d'endommagement et
de rupture permet des gains non négligeables en jouan t à la fois sur le dessin des
pièces et sur la nature des matériaux qui entrent dans leur fabrication. Pour
ces diverses raisons, il est donc indispensable que les connaissances accumulées
sur ces phénomènes soient résumées et enseignées, tout particulièrement aux
élèves ingénieurs, ainsi qu'à ceux qui voudront poursuivre des recherches sur
ces sujets.
L'endommagement des matériaux aboutit généralement à la formation de
fissures. Le comportement des pièces fissurées est l'objet de la mécanique de
la rupture, qui a connu des développements importants depuis les années 50.
Un mode de sollicitation particulier mais très fréquemment rencontré et
plutôt sévère résulte des forces qui s'exercent au contact de deux corps : une
roue et un rail, les billes et la piste d'un roulement, les torons d'un câble.
Nous avons rassemblé sous forme d'exercices à la fin des chapitres certains
calculs ou développements qui auraient alourdi le texte. D'autres exercices
abordent quelques problèmes pratiques. Ils sont exposés en guidant le lecteur
pas à pas et incluent les résultats à trouver.
Comme le précédent volume, celui-ci est le résultat des cours de DEA de
Mécanique et Matériaux. Il a bénéficié des améliorations apportées aussi bien
par des enseignants, des chercheurs que par des étudiants. On s'apercevra que
de très nombreuses illustrations sont tirées des thèses soutenues au sein du
FIRTECH Mécanique et Matériaux qui récolte les droits d'auteur de cet ou­
vrage en quelque sorte collectif. Nous tenons à remercier tout particulièrement
e rG. Cailletaud pour son aide dans la rédaction du 1 chapitre.
Un tel travail implique des tâches fastidieuses de frappe et de dessin. Nous
en remercions bien vivement Mme Martin et M. Pasquet qui n'ont pas ménagé
leur peine. Chapitre 1
Elastoviscoplasticité
1.1. Introduction
Le type de comportement qui est présenté dans ce chapitre a en com­
mun avec l'élastoplasticité le fait qu'il subsiste une déformation permanente
après décharge. En revanche, la viscosité interdit maintenant les déformations
plastiques instantanées : c'est le temps qui pilote la déformation inélastique,
qui devient donc dépendante de la vitesse de chargement (en anglais :
ratedépendent plasticity). Hormis cette caractéristique, le comportement
viscoplastique est très voisin de la plasticité classique, qui a déjà été exposée au chapitre
3 du volume précédent. Il se distingue par ailleurs des comportements de type
viscoélastique par la décomposition de la déformation en une part élastique et
e vune part inélastique viscoplastique (soit e = c + c) avec, en général, absence y
de réversibilité, même retardée, de la part inélastique de déformation.
Le comportement viscoplastique se rencontre avant tout dans les métaux
et alliages opérant à température élevée (plus du tiers de la température de
fusion). A haute température, il sera associé à des phénomènes de diffusion
opérant à différentes distances caractéristiques, celle des dislocations dans le
fluage qui résulte d'une compétition entre l'écrouissage et la "restauration"
ou, à plus grande distance, celle des joints de grains dans le fluage diffusion.
Il est également possible de mettre en évidence une "viscoplasticité de basse
température" liée à l'activation thermique de la déformation plastique. Ces
termes seront définis plus précisément au moment de l'étude physique contenue
dans ce chapitre. Au-delà des métaux, les théories viscoplastiques s'appliquent
aux résines ou aux polymères lorsqu'ils subissent des chargements trop violents
pour conserver leur caractère viscoélastique, et encore aux sols, roches, ou à la 14 Comportement mécanique des matériaux
glace, lorsqu'il s'agit d'étudier l'évolution mécanique sur des périodes de temps
"longues".
Comme précédemment pour l'étude de la plasticité, des hypothèses simpli­
ficatrices seront utilisées ici : élasticité linéaire, petites transformations, absence
d'endommagement. Le chapitre comporte :
— l a description des essais permettant la mise en évidence et la caractérisation
de base du comportement viscoplastique et des phénomènes associés ;
— l'énoncé et la discussion des modèles physiques de la viscoplasticité (modèles
d'activation thermique, mécanismes de fluage), en s'attachant en particulier
à définir le domaine de validité de chaque type d'équation, ce qui permet de
prévoir ensuite les limites des modèles proposés, par exemple lorsqu'on envisage
des extrapolations en temps ou en température ;
— l'exposé des modèles mécaniques phénoménologiques de la viscoplasticité,
en faisant ressortir la signification physique de chaque terme introduit ; dans
cette partie sont discutées également les théories de plasticité et viscoplasticité
combinées, ainsi que l'utilisation de la viscoplasticité pour des raisons de com­
modité numérique en lieu et place de la plasticité indépendante du temps ;
— l a présentation des méthodes de renforcement vis-à-vis du fluage, qui mon­
trent, une fois connus les mécanismes de déformation, comment se prémunir
contre les déformations excessives et la rupture.
Dans ce chapitre, nous ne traitons que le comportement des matériaux en
viscoplasticité. L'étude des modes d'endommagement spécifiques du fluage est
abordée au chapitre suivant.
1.2. Résultats expérimentaux caractéristiques
Les caractérisations de base en viscoplasticité s'effectuent sous chargement
monotone, en bloquant la force ou la déformation après une mise en charge
(il s'agit respectivement d'expériences de fluage ou de relaxation). Le grand
intérêt de ces essais est leur simplicité, mais ils ne suffisent en général pas pour
déterminer de façon complète le comportement, la contrainte ou la déformation
plastique restant pratiquement constantes dans chaque cas. Il faut donc con­
sidérer d'autres types d'essais plus élaborés, avec des chargements définis par
morceaux, et présentant des changements de vitesse de déformation, ou encore
des sauts de contrainte. L'un des points importants d'une bonne caractérisation
mécanique est la séparation entre les effets de la déformation et ceux du temps
sur l'état du matériau. Elastoviscop lasticité 15
1.2.1. Réponse unidimensionnelle
1.2.1.1. Fluage
L'essai de fluage s'effectue sous charge constante sur éprouvette cylin­
drique ou éprouvette plate. Selon les applications, les durées d'essais visées
sont de quelques dizaines d'heures à plusieurs années. Les résultats se lisent
(figure 1.1) dans un diagramme temps-déformat ion. Dans la mesure où c'est
en général un poids mort qui est utilisé pour le chargement, la contrainte n'est
pas constante dans cet essai, mais c'est un fait qui est souvent négligé par les
expérimentateurs, chaque essai étant caractérisé par la valeur initiale de la con­
trainte axiale <7o = F/So, F force appliquée, 5o section initiale de l'éprouvette.
La réponse expérimentale comporte trois étapes, plus ou moins apparentes selon
le matériau et la température :
— le fluage primaire, pendant lequel la vitesse de déformation diminue, ce qui
correspond à une augmentation de résistance du matériau,
— le fluage secondaire, qui fait apparaître une vitesse de déformation constante
au cours du temps,
— le fluage tertiaire, caractérisé par une augmentation de la vitesse de dé­
formation, qu'il faut associer à l'apparition d'un endommagement sensible à
yFigure 1.1. Les 3 phases dun essai de fluage 16 Comportement mécanique des matériaux
l'échelle mécanique (lié à la cavitation par exemple), ou à un adoucissement du
matériau (lié par exemple à des localisations de déformation à l'échelle de la
microstructure).
A basse température, c'est en général le fluage primaire et le fluage secon­
daire qui sont prépondérants; lorsque la température augmente, le fluage secon­
daire s'établit plus rapidement, et le fluage tertiaire prend plus d'importance.
La synthèse d'une campagne d'essais peut être faite en reportant l'ensemble
des courbes obtenues dans le diagramme de la figure 1.1, mais on a parfois
recours, dans le plan temps-contrainte, au tracé des lignes de déformation cons­
tante qui indiquent, pour une contrainte initiale donnée, le temps mis pour
atteindre une certaine déformation (par exemple courbe à 0,2%, courbe à 1%,
fig.1.2). Ce diagramme a l'avantage de permettre facilement la comparaison
de plusieurs matériaux, ou encore l'influence de la température : tel matériau
aura "50°C d'écart en fluage" avec un autre si les courbes obtenues pour la
même déformation sont décalées de cette amplitude de température.
Lorsque la température est inférieure à 0,3 X/, Tj étant la température de
fusion, le seul type de fluage observé expérimentalement est le fluage primaire,
la diminution de vitesse étant alors décrite par des lissages en fonction du
temps, t, qui utilisent des lois puissance ou logarithmique :
1/3e = At (loi d'Andrade) (1.1a)
e — ^41n(l + t/to) (fluage logarithmique) (1-16
(MPa) A
Figur e 1.2. Courbes à déformation constante en fluage Elastoviscoplasticité 17
Il ne faut pas confondre ces expressions où A et to sont des coefficients dépen­
dant du matériau avec des lois de comportement, car elles ne sont pas aptes
à définir, de façon correcte, l'évolution de la déformation selon des trajets de
chargement réels (décharge partielle ou totale par exemple). L'écriture correcte
de Pécrouissage, par exemple en termes de déformation viscoplastique, sera
discutée plus loin.
Une autre représentation, limitée au fluage secondaire, consiste à reporter
dans un diagramme log-log temps-vitesse de déformation la vitesse minimum
relevée dans chaque essai. Dans un faible intervalle de contrainte appliquée, les
points obtenus ainsi se placent sur une droite, ce qui conduit à interpréter les
essais à l'aide de la loi de Norton (fig.1.3) :
M= (£) (Lie)
G
(MPa)
i {
1000 -
800 -
600 -
200 h
_L _L _L -L 100
8 7 4 3 éVS rio- io- io-6 io-5 io- io- (s")
Figure 1.3. Interprétation d'essais de fluage par la loi de Norton
Bien qu'il ne s'agisse que d'un lissage valable dans des conditions stabilisées,
et qui, en particulier, ne prend pas en compte l'écrouissage, cette relation est
souvent utilisée dans les calculs avec un statut de véritable loi de comportement.
Le coefficient M est l'"exposant de Norton" du matériau. La valeur numérique
de cet exposant diminue avec la température. Le tableau 1.1 regroupe quelques
valeurs caractéristiques obtenues pour des métaux purs. Ainsi que le précisera 18 Comportement mécanique des matériaux
le paragraphe sur les modèles physiques, ceux-ci prévoient une valeur de 1
dans le cas du fluage—diffusion, et des valeurs allant jusqu'à 4 ou 5 selon les
mécanismes étudiés, dans le cas du fluage—dislocations. Le domaine de validité
est néanmoins réduit : ainsi, à température moyenne, il faut introduire une
contrainte interne; le fait de continuer à utiliser cette règle de lissage produit
alors des exposants qui peuvent atteindre 40 ou 50, en particulier avec des
alliages complexes qui ne sont pas de simples solutions solides.
Métal M Q Énergie d'autodiffusion
(kcal/mole) (kcal/mi
Al 4,4 34 34
Cu 4,8 48,4 47,1
Au 5,5 48± 5 41,7
Ni 66,5 4,6 66,8
P b 4,2 24,2±2,5 24,2
Ta 4,2 114±4 110
Cd 4,3 19±2 19,1
Zn 21,6±1 24,3 6,1
Tablea u 1.1. Valeurs caractéristiques de l'exposant de Norton, de Q, et de
l'énergie d'autodiffusion dans les métaux purs. (Données rassemblées par A.K.
Mukherjee, J.E. Bird, J.E. Dorn, Trans.ASME, vol 62, p.155, 1969)
En conservant le même type de loi, il est parfois intéressant de disposer
d'une représentation qui fasse intervenir simultanément la contrainte appliquée
et la température. La loi obtenue fait intervenir maintenant une énergie d'ac­
tivation Q, et la température T, exprimée en Kelvin :
v Mè ° = (j) eM-^ ) (1-2)
Comme le montre le tableau 1.1, cette énergie d'activation s'identifie à l'énergie
d'autodiffusion dans le cas de métaux purs. Dans le cas de matériaux plus com­
plexes, il n'est plus possible de donner de signification physique précise à ce
terme : c'est ainsi par exemple que Q peut lui-même dépendre de la contrainte
appliquée. Néanmoins il continue à être utilisé, en particulier pour effectuer
des équivalences temps-température. Celles-ci portent sur la représentation de
la durée de vie et peuvent être utiles pour évaluer un temps à rupture sur Elastoviscoplasîicité 19
une période très longue, non accessible à l'expérimentation, à une température
donnée, à partir d'essais plus courts à une température plus élevée. En admet­
tant (loi de Monkman-Grant, voir chapitre 2, paragraphe 2.12) que la durée
de vie tji est une fonction puissance de la vitesse de fluage stationnaire, soit
vsè tf=Cte il vient alors : ÎR = Aexp(j~;). Une représentation paramétrique
t 1
est possible si A et Q ne dépendent pas tous les deux en même temps de la
contrainte. C'est le cas par exemple pour le fluage—diffusion, où seul A est fonc­
tion de la contrainte, ce qui conduit à utiliser le paramètre P' = \n(tn)-Cte/T
pour représenter les données de fluage; si c'est au contraire Q qui varie avec la
contrainte, les résultats s'interprètent à l'aide du paramètre de Larson-Miller
P — T(ln(*#)+Cte) , comme l'indique la figure 1.4.
Log (G)
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,0
1,9
1,8
17 18 19 20 21
3 T (17 +Lo g t )xl0R
Figure 1.4. Représentation de Larson-Miller dans le cas d'un acier inoxydable
austénitique renfermant 2,5% de molybdène, Z03CND17-12 20 Comportement mécanique des matériaux
1.2.1.2. Courbes de traction
Contrairement au cas de la plasticité indépendante du temps, il n'y a
pas unicité de la courbe de traction pour différentes vitesses de chargement.
L'"effet de vitesse" habituel entraîne une augmentation de la contrainte pour
une déformation donnée comme indiqué sur la figure 1.5. Cet effet a tendance
à se saturer pour les vitesses très élevées ou très faibles, dont il est possible
de considérer qu'elles conduisent aux cas limites de la plasticité instantanée
à grande vitesse et de la plasticité instantanée à vitesse nulle. En appelant
vcontrainte critique a{e, a) le niveau de contrainte correspondant au deuxième c
cas, où a désigne de façon conventionnelle les variables d'écrouissage, les essais
de traction à différentes vitesses peuvent donc s'interpréter en introduisant une
"contrainte visqueuse" dépendant de la vitesse de déformation viscoplastique,
vet nulle à vitesse nulle, <r(è a) : v y
v v<r = tr(c, a) + <r(è, a) (1.3)
e v
3
^^^_ioFigur e 1.5. Effet de la vitesse de mise en charge lors d'un essai de traction
La "contrainte visqueuse" peut être mise en évidence au cours d'un seul
essai, en modifiant la vitesse de mise en charge au cours de la traction. Pour
une vitesse donnée, la courbe obtenue tend à rejoindre la courbe de traction de
référence, comme le montre la figure 1.6.
Les observations reportées ci-dessus ne sont pas générales. Certains ma­
tériaux présentent, quant à eux, dans certains domaines de température et de
vitesse de sollicitation, un "effet inverse de la vitesse" qui les rend d'autant plus Elastoviscoplasticité 21
Cpurtoes de référence
a vitesse constante
Figure 1.6 Effets de changements de la vitesse de mise en charge lors d'un
essai de traction
résistants à la déformation que la vitesse est faible. Ces effets sont en général
associés à des instabilités dans les modes de déformation, qui se manifestent au
niveau macroscopique par l'effet Portevin-Le Châtelier. Celui-ci est caractéri­
sé par l'existence de "crochets de traction" sur les courbes d'écrouissage lors
d'essais à vitesse de déformation imposée avec un asservissement suffisamment
"dur" pour tenir la consigne (figure 1.7). A vitesse de contrainte imposée,
Figure 1.7. Effet Portevin-Le Châtelier à vitesse de déformation imposée 22 Comportement mécanique des matériaux
la courbe de traction présente au contraire de vastes paliers, dans la mesure
où rien ne vient maintenir la vitesse de déformation lorsque se produisent les
instabilités comme à la figure 1.8 (voir vol.précédent, paragraphe 3.3.8.5 et
fig.3.6.5).
Figure 1.8. Effet Portevin-Le Châtelier à vitesse de contrainte imposée
1.2.1.3. Relaxation
L'essai de relaxation consiste à effectuer une mise en charge, généralement
à vitesse de déformation contrôlée, suivie d'un maintien à déformation cons­
tante. Pendant cette période de maintien, la contrainte chute alors que la
déformation viscoplastique continue à augmenter (figure 1.9). Ceci confirme
bien une différence fondamentale avec la plasticité indépendante du temps,
puisqu'il est clair alors que les points de la courbe de traction sont à Vextérieur
du domaine d'élasticité, si toutefois celui-ci existe. Au cours de la relaxation,
les vitesses de contrainte et déformation viscoplastique sont liées par la relation
suivante, où E est le module d'Young dans la direction de traction :
v& = -Eè (1.4)
Pour le cas où, en l'absence d'asservissement sur une mesure locale, ce n'est
pas la déformation, mais un déplacement (d'éprouvette, de traverse) qui est
bloqué, il faut alors prendre en compte la souplesse qui provient de l'extérieur
de la partie utile et travailler avec un module équivalent E*, plus faible.
Il est souvent plus difficile que dans le cas du fluage de mener des es­
sais de très longue durée, à cause notamment du contrôle de la température. Elastoviscoplasticité 23
Figure 1.9. Essai de relaxation
Néanmoins, l'un des avantages de l'essai de relaxation est qu'il permet de ba­
layer une gamme importante de vitesses de déformation viscoplastique, typique­
2 1 0 1 2 -1ment de 10~ à 10" — 10" s . La valeur résiduelle de contrainte atteinte
lorsque la chute de contrainte est pratiquement stoppée (vitesses inférieures à
1 0 110~ s"") correspond à la limite supérieure du domaine d'élasticité, cr intro­c
duite au paragraphe 1.2.1.2. Classiquement, pour un matériau donné, cette
limite est d'autant plus faible que la température est élevée. Mais elle reste
souvent suffisamment haute pour qu'il ne soit pas raisonnable de travailler sans
domaine d'élasticité. Les différentes formes obtenues pour les courbes de re­
laxation à partir de lois identifiées sur des essais de fluage sont discutées dans
l'exercice 1. Dans la plupart des cas, les lois simples sans contraintes internes
ne sont pas capables de décrire simultanément le fluage et la relaxation.
1.2.1.4. Sauts de contrainte en fluage
Appliqués pendant le fluage primaire, des sauts de contrainte permet­
tent de caractériser l'écrouissage pendant cette période du chargement. Le
résultat de ces essais est étudié dans un diagramme temps-déformation vis­
coplastique, et les deux hypothèses classiques consistent à supposer que c'est
soit le temps, soit la déformation viscoplastique qui sont les bons indicateurs
de l'état d'écrouissage. Cela conduit donc, comme sur la figure 1.10, à cons­
truire les courbes au deuxième niveau de contrainte à l'aide de translations
parallèles soit à l'axe des temps (time hardening), soit à l'axe des déformations
(strain hardening), voir aussi l'exercice 1. C'est la seconde hypothèse qui est 24 Comportement mécanique des matériaux
- Fluage sous une contrainte Oj : courbe OMM'
1
- Fluage sous unee G2 : courbe ODD' T T
- Fluage sous une contrainte 02 après fluage sous une contrainte G\ :
- écrouissage par la déformation : courbe MNN\ avec D'N = DM
1 1- écrouissage par le temps : courbe MPP , avec T P = TM
0
Figur e 1.10. Comparaison des hypothèses d'écrouissage par le temps et la
déformation
la plus utilisée, la première ne correspondant pas à une formulation rigoureuse
(problème d'origine, que faire lorsque l'essai est interrompu ?). Elle se reformule
à partir de la loi de Norton, en indiquant que le coefficient K est susceptible
de varier avec la déformation viscoplastique, ce qui donne :
vIl est classique à ce niveau d'utiliser pour la fonction K(e) une fonction
puissance.
L'essai de décharge partielle (dip test en anglais) s'effectue selon un trajet
de chargement plus élaboré, qui permet d'effectuer une mesure mécanique de la
position du domaine d'élasticité. Il s'agit dans un premier temps de se placer
dans la période de fluage secondaire, sous la contrainte cr . Ce sont en effet les 0
variables correspondant à cet état de charge qui vont être caractérisées. On
peut appliquer alors, comme indiqué sur la figure 1.11, des décharges plus ou
moins importantes, suivies d'un retour à la contrainte cr, afin de ne pas trop 0Elastoviscoplasticité 25
s'écarter de l'état que l'on souhaite mesurer. Les observations classiques sont
alors les suivantes :
— pour une faible décharge (cas A), l'écoulement viscoplastique se poursuit,
éventuellement après un temps de latence, appelé hésitation au fluage,
— pou r une décharge plus importante (cas B), il n'y a plus d'écoulement vis­
coplastique, la contrainte est à l'intérieur du domaine d'élasticité,
— pour une chute de contrainte encore plus grande, il est possible de trouver un
écoulement viscoplastique en compression, tout en conservant une contrainte
appliquée positive, comme le montre le cas C. Ceci prouve alors que le domaine
d'élasticité a été traversé, et que la contrainte effective qui pilote la vitesse de
déformation a changé de signe. 26 Comportement mécanique des matériaux
Ce dernier type d'essai tend à prouver qu'une bonne représentation du
matériau ne peut se faire qu'au travers de lois de comportement à seuil, obtenues
à partir de la loi de Norton en remplaçant a par a — as :
è- = (^r (i.6)
Il y a donc, en viscoplasticité comme en plasticité indépendante du temps
(voir vol. précédent, paragraphe 3.2.2.2), de l'écrouissage cinématique. En
fait, les formulations contenues dans les expressions (1.5) et (1.6) seront plutôt
complémentaires lorsqu'il s'agira d'écrire les modèles de comportement
viscoplastiques les plus généraux.
1.2.1.5. Restauration
La viscoplasticité apparaissant à haute température, elle est accompagnée
d'un certain nombre d'autres phénomènes, pilotés par le temps et la tempéra­
ture. La restauration est de ceux-là.
Le terme de restauration statique désigne les phénomènes de réarrange­
ments thermiquement activés au niveau de la microstructure (dislocations no­
tamment), qui s'opèrent en présence de traitements thermiques de recuit (vol.
précédent, paragraphe 3.3.8.3). La restauration produit généralement un efface­
ment partiel ou total de l'écrouissage accumulé par la déformation. Sa présence
se fera sentir dans les lois de comportement au niveau des lois d'écrouissage,
qui devront faire intervenir un terme d'"oubli" en fonction du temps. Elle se
manifeste pour des vitesses de déformation très faibles, ou même à vitesse nulle.
La restauration dynamique apparaît, quant à elle, directement pendant
le processus de déformation, auquel elle est directement liée. Le domaine con­
1cerné est alors celui des fortes vitesses de déformation (l à 100 s" ) . Elle est en
particulier présente dans les expériences de torsion sur barreaux cylindriques
pleins (vol. précédent, paragraphe 1.3.4), menées pour étudier l'aptitude à
la mise en forme des métaux. Les déformations peuvent être de 100% et
plus. Analysé en moyenne en termes de couple et d'angle, ce type d'essai
donne des courbes telles que celles de la figure 1.12, où l'on retrouve l'effet
de vitesse. Le pic du couple correspond, selon le matériau, à une recristalli­
sation (matériaux à faible énergie de faute d'empilement, comme les aciers
inoxydables), ou à une polygonisation à l'intérieur des grains (matériaux à
forte énergie de faute d'empilement, comme les alliages d'aluminium). Ce type
de mécanisme a déjà été évoqué au paragraphe 3.3.8.3 du volume précédent. Elastoviscoplasticité 27
Couple
4 5 6 7 8
Nombre de tours
Figure 1.12. Restauration dynamique pendant l'essai de torsion
Les oscillations sont ensuite produites par l'alternance de l'écrouissage et de
la recristallisation/polygonisation. Une interprétation rigoureuse de ce type
d'essai est bien sûr très délicate, dans la mesure où il se reforme ainsi en per­
manence du matériau "neuf". L'état d'écrouissage n'est donc pas uniforme
dans l'éprouvette. L'essai permet néanmoins de classer les matériaux les uns
par rapport aux autres.
1.2.1.6. Vieillissement
D'autres phénomènes peuvent encore être rencontrés au niveau de la mi­
crostructure, comme par exemple l'évolution des tailles ou des fractions
volumiques de précipités existants, ou encore l'apparition d'une précipitation nou-28 Comportement mécanique des matériaux
velle (carbures par exemple). Au contraire de la restauration, ces phénomènes
peuvent conduire à un durcissement, qui se manifeste par exemple après une
période d'attente à haute température et à charge nulle (point B de la figure
1.13) dans un essai de traction. Le redémarrage en traction peut mettre en
évidence un effet d'histoire de la température, caractérisé par un dépassement
de la courbe de traction initiale. Des adoucissements peuvent aussi être con­
statés, comme le souligne l'exercice 2, qui tente de faire le lien entre contrainte
interne et précipitation, et qui montre que, dans certains cas, le fluage ter­
tiaire est tout simplement lié à une modification du comportement
contraintedéformation, et non à l'endommagement.
temps de maintien
Figure 1.13. Effet du vieillissement en traction Elastoviscoplasticité 29
1.2.1.7. Essais cycliques
Les matériaux viscoplastiques peuvent être caractérisés sous chargement
cyclique au même titre que les matériaux obéissant aux lois de plasticité ins­
tantanée (vol. précédent, paragraphe 3.2.1). Il est possible de définir de la
Figure 1.14. Forme du cycle contrainte-déformation en viscoplasticité
a) essai de fatigue oligocyclique b) essai de relaxation cyclique avec temps
de maintien en traction c) essai de fluage cyclique avec temps de maintien en
traction et en compression 30 Comportement mécanique des matériaux
même manière la courbe d'écrouissage cyclique, qui maintenant dépend de la
vitesse de sollicitation. Les boucles contrainte-déformation présentent encore
de Veffet Bauschinger ; elles peuvent, en revanche, être plus "rondes" que les
boucles d'un matériau plastique, dans la mesure où l'écoulement viscoplastique
continue en traction au début de la décharge (figure 1.14). Parmi les essais
couramment réalisés, en particulier pour l'étalonnage de lois de rupture, il faut
citer les essais de relaxation cyclique et de fluage cyclique.
1.2.2. Réponse sous chargement multiaxial
Dans la mesure où les essais uniaxiaux remettent en cause la notion de
domaine d'élasticité, il est légitime de se demander ce qui sera conservé du for­
malisme de la plasticité indépendante du temps dans les comportements de type
viscoplastique. Les expériences réalisées sous chargement multiaxial peuvent
apporter un élément de réponse. En plasticité, la caractérisation expérimentale
du domaine d'élasticité, domaine initial, ou domaine obtenu après un premier
chargement, peut être faite par mesure de l'écoulement plastique commençant
selon certaines directions d'un plan de chargement (par exemple ¿711 — <7i , 2
essou cru — 0*22) • L' ai correspondant sur un matériau viscoplastique est celui
qui consiste à mesurer les vitesses de déformation. Il s'agit en fait d'un es­
sai de décharges partielles en fluage multiaxial. Comme le montre la figure
1.15 sur l'exemple d'un fluage biaxial, cr — (j , après obtention d'un régime n 12
stabilisé en fluage secondaire, l'essai se poursuit par de brèves décharges avec
des incréments variables sur chaque composante. Il est alors possible d'évaluer
à la fois l'intensité et la direction de la vitesse d'écoulement viscoplastique.
Le diagramme résultant (figure 1.15b) montre, en général, que la direction
représentative de l'écoulement est perpendiculaire à des équipotentielles tracées
dans le plan des contraintes, en se positionnant par rapport à un domaine
translaté par rapport à l'origine. L'intensité de l'écoulement est d'autant plus
grande que le point de fonctionnement est éloigné du centre de ce domaine. Ces
données expérimentales s'intégreront donc bien dans un schéma utilisant à la
fois le critère de von Mises, de l'écrouissage cinématique et la loi de normalité. Elastoviscoplasticité 31
^1 2
A | B | A | C ^ A 1 D| _ A _| E _ A
..4L :
u ...—u ~
b)
Figure 1.15. Essai de décharges partielles en traction-torsion a) principe
de l'essai (d'après C. Oytana) h) tracé des équipotentielles et des directions
d'écoulement dans le plan des contraintes an — au (d'après C. Oytana) 32 Comportement mécanique des matériaux
1.2.3. Synthèse
L'ensemble des essais exposés dans les deux paragraphes précédents mon­
trent que, pour un matériau viscoplastique, il faut considérer la contrainte
comme la somme d'une contrainte critique d'écoulement viscoplastique et d'une
"contrainte visqueuse". La première, qui pourra s'avérer nulle dans certains
cas, en particulier à très haute température, dépend essentiellement de la
déformation (ou plus généralement de l'écrouissage), et éventuellement du
temps lorsque des mécanismes de restauration par le temps sont actifs. La
seconde dépend essentiellement de la vitesse de déformation, et éventuellement
de la déformation dans des descriptions de type strain hardening. Il y a donc
deux manières de représenter le durcissement d'un matériau viscoplastique,
en modifiant le domaine d'élasticité (écrouissage additif, car les modifications
apportées viendront augmenter la contrainte seuil), ou encore en diminuant
la vitesse d'écoulement à l'extérieur du domaine élastique (écrouissage multi­
plicatif, car les termes d'écrouissage viennent multiplier le facteur qui norme
la vitesset viscoplastique). L'écrouissage portant sur la contrainte
seuil aura dans les modèles un statut de type plastique, et pourra être isotrope,
ou cinématique, linéaire ou non. Celui qui portera sur la "contrainte visqueuse"
sera, par nature, isotrope. De la même manière qu'en plasticité, il faudra re­
courir à un écrouissage cinématique pour modéliser correctement des charge­
ments cycliques.
Le problème de l'activation de l'écoulement viscoplastique se pose de façon
plus simple qu'en plasticité, puisqu'il ne subsiste maintenant que deux régimes,
le régime élastique, lorsque le point de fonctionnement est intérieur au do­
maine d'élasticité, et le régime d'écoulement viscoplastique, lorsqu'il se situe à
l'extérieur du domaine. En particulier, pour un point de fonctionnement donné
hors du domaine d'élasticité, la vitesse de déformation viscoplastique est par­
faitement indépendante de la vitesse de contrainte. Elle ne dépend que des
valeurs instantanées du tenseur de contrainte et des variables d'écrouissage. La
condition de cohérence n'existe plus. Il y a donc une équation qui fait défaut
pour l'évaluation de la vitesse de déformation. Cela donne plus de liberté pour
définir cette dernière.
Le choix de l'une ou l'autre des descriptions qui viennent d'être évoquées
ici devra se faire par référence aux mécanismes physiques, en particulier pour
ce qui concerne la question du seuil et de forme de la loi de viscosité. Elastoviscoplasticité 33
1.3. Mécanismes physiques responsables de la viscoplasticité
Dans cette partie, nous allons examiner les mécanismes physiques qui
sont à l'origine du comportement viscoplastique des matériaux cristallins. A
basse température (T/Tf < 0.30, où T/ est la température de fusion), en règle
générale, seule l'activation thermique de la plasticité est responsable des effets
de vitesse que l'on rencontre dans un certain nombre d'alliages métalliques. Les
dislocations, au cours de leur déplacement, rencontrent des obstacles qu'elles
franchissent non seulement sous l'effet des forces de glissement qui agissent
sur elles, mais également de l'activation thermique. Dans ce domaine de
température, la diffusion étant trop lente, le franchissement des obstacles par
montée des dislocations n'est pas possible. En revanche, à plus haute tem­
pérature (T/Tf > 0.50), la diffusion est l'origine même de la viscoplasticité,
que celle-ci opère à relativement courte distance (fluage—dislocations) ou à
plus grande distance (fluage—diffusion). Ces deux régimes de température sont
examinés successivement.
1.3.1. Aciivation thermique de la déformation plastique et viscoplasticité à
basse température
1.3.1.1. Introduction
Lorsqu'on réalise des essais de traction pour mesurer la limite d'élasticité
R d'un certain nombre de métaux à très basse température (T/Tf < 0.2), on
p
constate que celle-ci est fortement fonction de lae et de la vitesse,
comme cela est indiqué schématiquement sur la figure 1.16. De façon plus
générale, la contrainte d'écoulement mesurée par exemple lors d'un essai de
traction est sensiblement fonction de la vitesse de déformation comme cela a
été indiqué dans le paragraphe précédent (voir figure 1.5). Le meilleur exem­
ple est fourni par celui des métaux et alliages de structure cubique centrée.
L'origine physique d'un tel comportement tient, dans ce cas, au franchissement
par les dislocations des forces de réseau ou forces de Peierls-Nabarro (voir le
précédent volume, §3.3.8.1), sous l'effet de l'activation thermique. D'autres
obstacles susceptibles d'être franchis par les dislocations sous l'effet combiné
de la contrainte appliquée et de l'activation thermique peuvent exister comme
nous allons l'indiquer plus loin. Auparavant, nous nous proposons de présenter
le formalisme général de l'activation thermique de la déformation plastique. 34 Comportement mécanique des matériaux
RP .
T
1 I I I I I ^
0,1 0,2 03 0,4 0,5 T/TF
Figur e 1.16. Schéma montrant que, à basses températures, (T/Tj < 0,20),
la limite d'élasticité dépend non seulement de la température, mais également
de la vitesse. Au-delà d'une température critique, T, on se situe sur le palier c
"athermique"
1.3.1.2. Formalisme de l'activation thermique de la déformation plastique
a) Rappels sur les mécanismes élémentaires à l'origine de la déformation
plastique
Si on appelle p la densité de dislocations mobiles de vecteur de Bùr-m
gers 6, lorsque ces dislocations se déplacent à la vitesse moyenne ïï, la vitesse
de déformation macroscopique correspondante est donnée (voir le précédent
volume, §3.3.3.3) par :
vè =Pmbv (1.7)
Cette relation importante est valable, que le déplacement des dislocations soit
contrôlé par le glissement ou par la montée. Elle peut être mise sous une
autre forme équivalente qui se prête mieux à l'introduction du formalisme de
l'activation thermique :
vè =N ^b v (1.8) m
où N est le nombre de sites d'activation, c'est-à-dire de régions du cristal m
où un segment de dislocation est retenu par un obstacle qu'il pourra franchir
éventuellement avec l'aide de la contrainte appliquée et celle de l'agitation ther¬
e . " 1 - a*™*. , o u.„d „ se e„miqU qui Pt dui t q gm t Elastoviscoplasticité 35
de dislocation a franchi la barrière de potentiel qui s'oppose à son mouvement
spontané (AA est l'aire balayée et V le volume du cristal). Dans l'expression
(1.8), v est la fréquence d'activation, c'est-à-dire le nombre de fois par seconde
qu'un site d'activation fonctionne et que la dislocation réussit à franchir la
barrière.
Deux cas sont possibles suivant la distance A parcouru e par la dislocation
lors du franchissement de la barrière de potentiel (voir figure 1.17). Si cette
distance est faible, de l'ordre de quelques 6, l'aire balayée ou aire d'activation
A A est de l'ordre de A/, / étant la longueur du segment de dislocation libérée,
et le saut en retour est possible. En revanche, si la distance A est grande et, par
2 3exemple, correspond à la distance entre précipités (10 à 10 6), le mouvement
en retour est impossible.
Dans les années 55-60, les résultats de la théorie des vitesses absolues de
réaction ont été appliqués aux phénomènes élémentaires physiques, responsa­
bles de la déformation dans les solides cristallins. Cette approche nécessite un
certain nombre d'hypothèses simplificatrices, que nous allons détailler.
Distance
Figur e 1.17. Diagramme énergie-distance. Introduction de la notion d'énergie
d'activation
b) Forme générale des expressions reliant la vitesse à la contrainte et à la
température
Tout d'abord, dans le cas où le mouvement en retour de la dislocation
est possible, la fréquence réelle va être égale à la somme de la fréquence du
+mouvement en avant (Ï/ ) et de celle du mouvement en retour (^~), soit : 36 Comportement mécanique des matériaux
(Q-<rbA\ + 0
f Qo + crèvl \
et *=,,+ -,,- = 21* «pj^sh ^ (1.9)
Dans cette expression, Qo représente, en première approximation, la hau­
teur de la barrière de potentiel. La signification de cette quantité sera précisée
par la suite. Il en est de même de A qui représente Taire balayée par la dislo­
cation. Le facteur I/Q représente la fréquence de saut de l'obstacle.
Dans le cas où le mouvement en retour est très peu probable, on aura, de
même :
-Qo abA
v = i/ exp -^ r exp — (1.10) 0
Ces expressions portées dans la relation (1.8) permettent, sous certaines
vconditions, de donner la forme générale des expressions è = f(T,a).
c) Introduction de la contrainte interne et de la contrainte effective
Comme on Ta indiqué précédemment lors de la présentation des résultats
expérimentaux caractéristiques, il apparaît souvent nécessaire de faire apparaî­
tre une notion de seuil que les physiciens de la déformation plastique désignent
habituellement par contrainte interne, notée précédemment a de telle sorte Cl
que la contrainte "effective", aj j ou "visqueuse", a, s'écrit sous la forme : e v
a = aff = a - a (LU)
v e c
Cette expression sera reprise lors de l'écriture des modèles de comporte­
ment viscoplastiques les plus généraux. Pour l'instant, il suffit de retenir que
a est une contrainte interne, somme en chaque point du cristal de toutes c
les contraintes à longue portée (en 1/r) associées aux défauts contenus dans
le solide cristallin et des contraintes de friction, c'est-à-dire principalement à
l'effet des autres dislocations. Ainsi la contrainte interne ne dépend que de
la température, par l'intermédiaire des modules, et de la sous-structure, donc
du taux de déformation. Cette contrainte interne est fluctuante spatialement.
La longueur d'onde correspondante est grande, (de l'ordre des dimensions de
la sous-structure : cellules ou sous-grains), beaucoup trop grande pour que
les barrières constituées par les maxima du champ de contrainte puissent être
franchies à l'aide des fluctuations thermiques. On appelle as la valeur moyenne Elastoviscoplasticité 37
non nulle de la contrainte interne. Dans le tableau 1 .II, sont classés les obs­
tacles selon leur portée.
Obstacles à grande Obstacles à courte Aire deactivation
portée portée Obstacles à courte portée
2 Réseau de Frank Vallées de Peierls 10 6
2 Jonctions attractives Jonctions répulsives 100 6
2 Précipités Atomes de solutés 100 b
Tableau l.II. Nature de quelques obstacles à grande et courte portées
On peut, par ailleurs, se reporter à l'exercice 3 où, à partir d'un modèle
simplifié de deux barres placées en parallèle, on tente de donner une image
physique macroscopique de cette notion de contrainte interne.
Pour se représenter le franchissement d'un obstacle activé thermiquement,
il est utile de recourir au diagramme force-distance (figure 1.18).
Iba,
Distance parcourue
Figure 1.18. Diagramme force-distance. Notions de contrainte interne et de
contrainte effective ou visqueuse. L'aire hachurée I représente l'énergie fournie
par la contrainte effective alors que l'aire II four­
nie par Vactivation thermique 38 Comportement mécanique des matériaux
• Si a < as, la dislocation ne pourra même pas se déplacer entre les obstacles.
• Si a > ers, la dislocation peut alors, après un certain déplacement, venir en
position d'équilibre stable contre un obstacle. Celui-ci exerce une force en re­
tour de courte portée. La contrainte qui participe réellement au franchissement
est aj f = cr — a s- Elle fournit une partie de l'énergie nécessaire au franchisse­
e
ment. Le complément de l'énergie (aire hachurée II sur la figure 1.18) est fourni
par l'activât ion thermique.
— Si la température est nulle, la barrière ne pourra être franchie que sous une
contrainte a = as +
&B— Si la température est supérieure à une température critique T , telle que
c
l'activation thermique correspondante soit suffisante pour fournir toute l'aire
sous la courbe force-distance, on se situe alors sur le palier athermique montré
sur la figure 1.16 avec a = as¬
— A une température intermédiaire T, la contrainte efficace est juste suffisante
pour que, sous son action et celle de l'agitation thermique caractéristique de
T, les obstacles soient franchis à la fréquence voulue correspondant à la vitesse
de déformation imposée.
d) Définition des grandeurs d'activation thermique
Pour pouvoir profiter de toutes les relations établies à partir de la ther­
modynamique et comparer les grandeurs déterminées à partir de l'expérience
à celles déduites du formalisme de l'activation thermique, il faut s'assurer de
deux choses. Tout d'abord les relations théoriques doivent être dérivées suivant
les règles rigoureuses de la thermodynamique. Ensuite, il faut faire le passage
de l'événement élémentaire d'activation, celui du franchissement d'un obstacle
par une dislocation, au comportement macroscopique.
Ces deux points vont être examinés successivement. Cependant, dans
cette partie, nous mettrons principalement l'accent sur le premier aspect du
problème.
En première approximation, la variation d'enthalpie libre entre la position
initiale (état 1) correspondant à un équilibre stable sous l'action de aff = e
a —as et la position finale (état 2) correspondant à un équilibre instable lorsque
la dislocation a surmonté localement la barrière, peut se mettre sous la forme :
AG = J (*B- (Teff)bldx (1.12a)
AElastoviscoplasticité 39
Ainsi, tout du moins en principe, AG A se calcule quand on connaît la
forme (TB = Cependant, il faut également connaître la variation de la
longueur de dislocation l(x) au cours du processus d'activation.
La relation précédente peut également se mettre sous la forme suivante :
AG A = [<TB{X,T) + a(x,T)]bldx - ab Idx (1. s 126)
Cette dernière expression a comme intérêt de faire ressortir clairement, dans le
deuxième terme, le travail effectué par la contrainte appliquée.
Si cr et T sont les variables indépendantes et qu'on considère as comme
constante, on a alors :
Ceci permet de définir l'entropie d'activation :
Par ailleurs, l dimension d'un volume. On préfère définir une aire
a a
oa
d'activation à laquelle, très souvent, on peut donner une signification physique
claire, soit :
L'enthalpie d'activation se définit alors par :
AH A = AG A + T • AS A (1.16)
En tenant compte de la définition de AS, on vérifie aisément la relation
suivante :
AH = 4 (1.17) A
Il est à noter que si, dans le processus élémentaire, la longueur du segment
de dislocation / est indépendante de la distance parcourue x, l'aire d'activation
A* = l - Ax a un sens physique très précis. Elle correspond à l'aire balayée par
la dislocation lors du passage de l'état initial à la position de col. Cependant, 40 Comportement mécanique des matériaux
en règle générale, Ax — f(a). Malgré cette restriction, il est commode d'écrire
la relation (1.12) sous la forme plus simple :
AG A = J [* + cr]bldx - ablAx (1.18) B s
En effet, en utilisant les expressions données par la théorie des vitesses
absolues de réaction, on obtient, dans le cas où il n'existe pas de possibilité de
saut en retour :
J {<?B + (Ts)bldx
abA*
ex p L19v ex p h = "° { - kf } "E T <>
j (<?B + (Ts)bldx représente une variation d'enthalpie libre et peut s'exprimer
sous la forme :
AG = AH - TAS 0
AS AHo ab A*
soit : v = i/q exp — exp — — exp ( 1.20)
La relation (1.8) permet d'exprimer la vitesse macroscopique sous la forme :
.„ AA. AS AH baA* AT 0
N£ = m—bvo exp — exp — — exp (1.21)
Si la possibilité de saut en retour existe, on aura de même :
. AA. AS AH baA* ...
v 0 uve = 2N —bvo exp — exp ——sh-j^- (1.22) m
A ce stade, trois remarques importantes doivent être faites :
Remarqu e 1. La relation empirique (1.2) utilisée pour décrire le fluage
stationnaire, se met souvent sous la forme :
vè =è exp^ (1.23) 0
qui permet de définir une énergie d'activation apparente :
91n(éVio)
Q ~ d{l/T)
Les relations (1.21) et (1.22), en posant :
Elastoviscoplasîicité 41
AA. AS %T
= N—bi/exp — (1-24) m 0
conduisent à :
Q = AHo — &bA*, si on admet que tous les termes dans é{j sont indépen­
dants de T. Ainsi, dans la relation empirique (1.23), Q, enthalpie d'activation
apparente, est bien fonction de la contrainte.
Remarqu e 2. Dans les études de nature rhéologique, on examine souvent la
sensibilité à la vitesse à l'aide du paramètre m défini par :
où m = 1/M est l'exposant de la loi de puissance introduite précédemment (Eq
1.1c).
On peut remarquer simplement que si ¿0 (Eq(1.23)) est indépendant de cr,
m est directement relié à l'aire d'activation, soit :
vbaA* „ kT d\n(e /eo) 4
m — — — ou encore A = — (1.26)
ki 0
Remarqu e 3. Dans les deux remarques précédentes, pour trouver une sig­
nification précise au coefficient de sensibilité à la vitesse (m) et à celui de la
température (Q), on a dû recourir à des hypothèses simplificatrices (/=Cte, ¿0
indépendant de T et a). L'hypothèse selon laquelle / est une constante peut, à
certains égards, paraître contradictoire avec le fait qu'en règle générale A* est
fonction de a.
Par ailleurs, dans l'établissement de la loi de déformation macroscopique à
partir des mécanismes élémentaires, les réels problèmes n'ont pas été abordés.
En particulier, il faudrait pouvoir traiter beaucoup mieux les points suivants :
— représente r plus fidèlement le passage de l'état de contrainte macroscopique
aux contraintes réelles que subit réellement la dislocation,
— relier la vitesse de déformation dans un plan de glissement à la moyenne sur
de nombreux événements,
— décrire la déformation macroscopique comme moyenne sur de nombreux
plans de glissement.
Pour ces diverses raisons, on ne peut prétendre que mesurer des valeurs
"moyennes" à l'aide des deux relations suivantes : 42 Comportement mécanique des matériaux
dln(èv/èo)
AG A = -Jb
d(l/T)
(1.27)
-r* kTm kT
A =
ba b da
J T
1.3.1.3. Nature et résistance des obstacles
Les obstacles que rencontre une dislocation au cours de son glissement
peuvent être regroupés en deux grandes catégories :
— les obstacles discrets, soit préexistants comme les précipités ou les atomes de
la solution solide, soit induits par la déformation, comme les arbres de la forêt
de dislocations ;
— les obstacles diffus, comme les forces de réseau, qui sont surmontés par les
décrochements sur les dislocations (voir volume précédent, §3.3.8.1).
Force des Énergie Exemples
obstacles (0° K) Qo
3 Forte ~ fib ~ fib/l Précipités contournés
par les dislocations
3 Moyenne 0,2 à fib ~ fib/l Dislocation de la forêt
Petits précipités cisaillés
Défauts d'irradiation
3 Faible < 0,2 p,b < fib/l Forces de réseau
Solution solide
Tableau l.III. Énergie et contrainte de franchissement de quelques obstacles
Ces deux types d'obstacles sont schématisés sur les figures 1.19 et 1.20.
La vitesse de déformation est imposée par la cinétique de franchissement des
obstacles discrets (figure 1.19) ou celle de la germination et de la propagation
des décrochements (figure 1.20). Dans le tableau l.III, nous avons fait figurer
les ordres de grandeur des énergies et de la contrainte, CTQ = as -f &s de fran­
chissement de ces obstacles en l'absence d'activation thermique, c'est-à-dire au
zéro degré absolu.
Nous allons maintenant montrer comment on peut appliquer le forma­
lisme de Pactivation thermique de la déformation plastique pour traiter trois
exemples recouvrant les deux grandes catégories d'obstacles. Elastoviscoplasticité 43
plan de glissement
. distance
Figure 1.19. Schéma montrant des obstacles discrets dans un plan de glisse­
ment supposant au passage d'une dislocation
plan de glissement
Figure 1.20. Un exemple d'obstacles diffus constitués par les crans sur une
ligne de dislocation qui franchit les barrières de Peierls
a) Obstacles discrets préexistants - Cas des précipités
Le cas du durcissement par précipitation constitue un exemple type d'obs­
tacles préexistants (voir exercice 4). On rappelle que lorsque ceux-ci sont
parfaitement cohérents avec la matrice, ils peuvent être franchis par les dis­
locations, soit par cisaillement, lorsqu'ils sont suffisamment petits, soit par
contournement lorsque leur taille est supérieure à une taille critique, de l'ordre 44 Comportement mécanique des matériaux
(7C-(p )
AE
c)
départ échappement
Figure 1.21. Positions d'équilibre pour le franchissement de deux précipités
par une ligne de dislocation qui les cisaille a) ou les contourne b). La position
des cols d'énergie correspondant et l'effet de la température (donc de la con­
trainte appliquée pour une vitesse donnée) sont indiqués sur la figure c), voir
aussi exercice 4 Elasîoviscoplasticité 45
de T/JA OÙT est la tension de ligne des dislocations et y A l'énergie d'antiphase
correspondant au cisaillement des particules (voir vol. précédent, §3.3.8.5).
Que les précipités soient cisaillés ou contournés, il est facile de montrer,
en écrivant l'équilibre de la dislocation, qu'il existe deux positions d'équilibre,
l'une correspondant au départ (minimum sur la couche d'énergie), l'autre à
l'échappement (maximum sur la courbe d'énergie) (figures 1.21 a et b). La
façon dont est franchi le col d'énergie AGA que la dislocation doit franchir
quand la contrainte augmente (donc quand la température diminue) est in­
diquée schématiquement sur la figure 1.21 c. Les expressions donnant l'énergie
totale et la forme des courbes reportées sur cette figure se calculent rigoureuse­
ment (voir exercice 4), soit :
— pou r le cisaillement :
AE = T(Al + Al) + y AS - ab(AS + AS) (1.28)
m p A p m P
- pour le contournement :
AE = T(Al) - abAS (1.29) m m
où Al et Alp représentent l'augmentation de la longueur de la partie de la
m
dislocation située dans la matrice et dans la particule par rapport à une position
arbitraire de référence, et AS et AS les augmentations des aires balayées
m P
par la dislocation correspondante.
Comme, pour ce type d'obstacles, la probabilité de saut en retour est
très faible, on peut utiliser l'expression (1.10) pour déterminer la vitesse de
déformation, soit
Qo - <xbA*
A M AT (1.30)
N — — i/o exp kT
m
où N est une constante et A A ~ L\. Les valeurs de Qo et de A* se
m
déterminent facilement pour les deux modes de franchissement en utilisant
les expressions introduites précédemment. Ainsi, pour le franchissement par
cisaillement à forte contrainte, c'est-à-dire au voisinage du zéro absolu, on peut
montrer que Qo a la forme attendue, soit :
2Qo = *R,7A (1.31)
2JA
2tandis que : A* = 2LR\Jl — (cr/cr ) avec ao = -=r- (1.32
s 0
Rs
La hauteur de la barrière d'activation peut s'exprimer sous la forme : 46 Comportement mécanique des matériaux
3/2AG = Qo[l - (<t/<t)] (1.33) A 0
f
vce qui permet d'obtenir l'expression reliant la vitesse é, la température et la
contrainte, soit :
ve = CQ exp
où ¿0 est une constante.
Cette relation qui lie l'effet de la température et celui de la vitesse de
déformation, comme les autres relations du même type introduites dans ce
paragraphe, est habituellement utilisée pour représenter la variation de la limite
d'écoulement (a = RP) avec ces deux paramètres.
b) Obstacles discrets induits par la déformation - Cas des arbres de la forêt
de dislocations
Le mécanisme de durcissement par écrouissage provoqué par les jonc­
tions attractives et répulsives entre dislocations a été présenté précédemment
(volume précédent, §3.3.8.2). On a alors montré qu'en l'absence de toute ac¬
tivation thermique, il faut exercer une contrainte critique, notée ici <t, pour 0
faire glisser une dislocation au milieu de la forêt et que <7o vau t :
cr = afiby/p avec a ~ 1/3 à 1/4 (1.35) 0
3L'énergie nécessaire pour vaincre les jonction s est de l'ordre de jfib avec 0,20 <
7 < 1.
Dans la relation d'Orowan (éq. 1.7), la densité des obstacles, contraire­
ment au cas précédent, est une fonction croissante de la déformation. En
écrivant que la vitesse moyenne des dislocations peut s'exprimer sous la forme :
v = /3bvQexp-^ (1.36)
où /3 est un facteur adimensionnel, et que la densité de dislocations mobiles est
liée à la contrainte appliquée par la relation :
2p m = a'(<r/pb) (1.37
où OT! est une constante (A! ~ 1), la vitesse de déformation peut, de façon
générale, s'écrire : Elastoviscoplasticité 47
L'énergie d'activation est une fonction décroissante de la contrainte appliquée,
comme dans le cas des obstacles discrets préexistants. Si on admet que cette
variation est linéaire, soit :
Q = Q(1-—) (1.39) 0
on en déduit les expressions suivantes :
vc = è exp 0
(1.40)
2 ¿0 =a> (-)avec 0
c) Obstacles diffus - Viscoplasticité de basse température contrôlée par la
résistance du réseau
On a rappelé qu'à basse température (T/Tj < 0,20), la vitesse de dépla­
cement des dislocations dans la plupart des matériaux métalliques, notamment
ceux qui ont une structure cubique centrée, est contrôlée par le franchissement
d'un autre type d'obstacles, celui associé à sa structure atomique (forces de
Peierls-Nabarro). L'énergie d'une dislocation fluctue avec sa position, comme
cela est indiqué sur la figure 1.20. La dislocation avance par la propagation
de décrochements simples ou doubles (voir volume précédent, figure 3.36). En
règle générale, la vitesse de déplacement d'une dislocation d'une vallée à une
autre est imposée par la vitesse de germination des décrochements sur les dis­
locations. On peut écrire, comme précédemment, que l'énergie d'activation
s'exprime sous la forme :
l (1.41) Q = Qo -)'
3où Qo ~ 0, 20^6 (voir tableau 1 .III) et <TQ est la limite d'élasticité au zéro
degré absolu. Dans cette expression, les exposants p et q sont proches de 1.
D'après Frost et Ashby, le meilleur accord est obtenu en prenant p = 3/4 et
q = 4/3.
La densité des décrochements est une fonction croissante de la défor­
mation. En supposant que cette densité varie de la même façon que celle des
arbres de la forêt, on est ainsi amené à exprimer la vitesse de déformation sous
la forme :
x 4/3
(1.42) = €Q exp
3/ 4 "(f)kT 48 Comportement mécanique des matériaux
2ê = eó(—) où è'o est une constante 0avec
Remarqu e
1 - Les expressions qui viennent d'être introduites ne s'appliquent pas au do­
3 4 1maine des très grandes vitesses de déformation (c > 10 à 10 s"" ) qu'on peut
rencontrer dans certaines conditions de choc ou lors de certaines opérations
de mise en forme. Dans de telles conditions, la mobilité des dislocations est
contrôlée pax le traînage des phonons ou électrons.
La vitesse d'une dislocation peut être reliée à la force F qui s'exerce sur
elle par l'intermédiaire d'une mobilité, telle que :
1 1 r K v = — F — —ab (1.43)
B B
Tp(MPa)
400
4 1ë(10 s")
Figure 1.22. Limite d'élasticité en cisaillement r en fonction de la vites­
p
se, à très grande vitesse, dans un acier doux (d'après J.D. Campbell et W.G.
Ferguson, Phil.Mag. vol 21, 1970, pp. 63-82). Domaine des très grandes
4 1vitesses (è > 10 s')