Mécanique générale

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Description

Mécanique générale présente les outils méthodologiques permettant d'appréhender la mécanique des mécanismes industriels : compréhension, modélisation, détermination des mouvements et efforts mis en jeu.
Il offre une démarche rigoureuse permettant de traiter en autonomie et en intégralité un problème de mécanique générale, depuis la modélisation, le repérage, le paramétrage, la détermination des équations de liaison, la détermination des équations de mouvement (méthode de Newton ou de Lagrange) jusqu'à la résolution numérique des équations décrivant le comportement du système.
Didactique, Mécanique générale s’adresse aux étudiants de master et aux ingénieurs en mécanique. De nombreux exemples agrémentent la lecture : trois applications « fil rouge » utilisées au fur et à mesure de l’exposé, des applications industrielles présentées et résolues en fin de chapitres ainsi que des exemples de scripts pour la résolution numérique des équations.

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Date de parution 05 octobre 2010
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EAN13 9782746241299
Langue Français

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Mécanique générale

































© LAVOISIER, Paris, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-2998-3



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Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2010.







Mécanique générale


cinématique et dynamique des mécanismes















Morvan Ouisse

Sylvaine Mallet










DIRECTION ÉDITORIALE FÉLIX DARVE
Collection Mécanique des structures
sous la direction de Noël Challamel




Tabledesmatières
Introduction. . . . . . . . . . ........................... 17
Chapitre1.Notiondetorseur ........................... 19
1.1. Notiondetorseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. Champdevecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2. Équiprojectivitéd’unchampdevecteurs . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3. Torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4. Élémentsderéductiond’untorseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.5. Relationfondamentale:transportdumoment . . . . . . . . . . . 20
1.1.6. Produitvectorielennotationmatricielle . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2. Opérationssurlestorseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. Égalitédedeuxtorseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2. Additionetmultiplicationparunscalaire . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3. Comomentdedeuxtorseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Invariantsd’untorseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Torseursspéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Axecentrald’untorseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2. Déterminationdel’axed’untorseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Décompositiond’untorseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7. Constructiond’untorseuràpartird’unchampdevecteurs . . . . . . . 25
Chapitre2.Analysegéométriquedesmécanismes . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Systèmederéférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Espacephysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2. Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Repérageetparamétraged’unsolide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Notiondesolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Repèreliéàunsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3. Paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910 Mécanique générale
2.2.3.1. Positiond’unrepèreparrapportàunautre . . . . . . . . . . 29
2.2.3.2. Orientationd’unrepèreparrapportàunautre . . . . . . . . 30
2.2.3.3. Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Étudedesliaisonsentresolides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1. Descriptionparamétriquedumouvement . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2. Analysedesliaisonsusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2.1. Liaisonà6 degrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2.2. Liaisonà5 degrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2.3. Liaisonsà4degrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2.4. Liaisonsà3degrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2.5. Liaisonsà2degrésdeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2.6. Liaisonsà1degrédeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2.7. Liaisonà0 degrédeliberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2.8. Tableaurécapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2.9. Synthèse : conditions de contact et degrés de liberté d’une
liaisondonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Démarched’analysecinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1. Repéragedessolides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1.1. Choixdunumérod’unsolidedumécanisme . . . . . . . . . 54
2.4.1.2. Définitiondurepèreattachéausolide . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1.3. Choixdesdimensionscaractéristiques . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1.4. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1.5. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2. Paramétragecompletdumécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.2.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.2.2. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.3. Graphedeliaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.3.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.3.2. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.4. Détermination des équations de liaison de nature géométrique
pourunparamétragecomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.4.1. Fermeturedechaînelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.4.2. Fermeturedechaîneangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.4.3. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.4.4. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.4.5. Degrédemobilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.5. Notiondemouvementplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.6. Paramétragepartieldumécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.6.1. Techniquedeparamétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.6.2. Écrituredeséquationsdeliaison . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.6.3. Graphesymbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.6.4. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.7. Paramétrageindirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Tabledesmatières 11
2.4.7.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.7.2. Équationsdemontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.8. Déterminationdeséquationsdeliaisondenaturecinématique . . 74
2.4.8.1. Équationsdeliaisonholonomes . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.8.2. Réductiondunombredeparamètresd’unsystème . . . . . . 74
2.4.9. Synthèse:paramétrageetobtentiondeséquationsdeliaisond’un
mécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Chapitre3.Cinématiquedessolides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. Cinématiquedupoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1. Positionettrajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2. Vecteurvitessed’unpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.3. Accélerationd’unpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2. Cinématiquedusolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1. Champdevitesses d’unsolide:torseurcinématique. . . . . . . . 78
3.2.1.1. Champdevitessesd’unsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1.2. Propriétéfondamentale:équiprojectivité . . . . . . . . . . . 79
3.2.1.3. Notiondepointcoïncident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1.4. Formuledelabasemobile,etdeladérivationcomposée . . 81
3.2.2. Étudedemouvementsparticuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2.1. Mouvementdetranslation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2.2. Mouvementderotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.2.3. Notiondemouvementinstantané . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3. Champdesaccélérationsd’unsolide . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.4. Compositiondesmouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.4.1. Compositiondesvitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.4.2. Extensionaucasdestorseurscinématiques . . . . . . . . . . 87
3.2.4.3. Compositiondesaccélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.5. Synthèse:calculsdevitessesetd’accélérations . . . . . . . . . . 88
3.2.5.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3. Cinématiqueducontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.1. Conditionscinématiquesdecontactentredeuxpièces . . . . . . . 94
3.3.2. Vecteurpivotementetvecteurroulement . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3. Glissement,pivotementetroulement . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.3.1. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4. Cinématiquedessolides:applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.1. Étudecinématiqued’unvariateurNuVinci . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.1.1. Descriptiondumécanismeetobjectifsdel’étude . . . . . . 101
3.4.1.2. Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.2. Étudecinématiqued’unmécanismedeprojecteurdecinéma . . . 110
3.4.2.1. Descriptiondumécanismeetobjectifsdel’étude . . . . . . 110
3.4.2.2. Élémentsdecorrection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.3. Autresanalysescinématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11212 Mécanique générale
Chapitre4.Géométriedesmassesetcinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1. Masseetcentred’inertied’unsystèmematériel . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1. Systèmematérielàmasseconservative . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1.1. Massed’unsystèmematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1.2. Masseconservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.2. Systèmehomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.3. Casparticuliersdesmilieuxlinéïquesousurfaciques . . . . . . . 114
4.1.4. Centred’inertied’unsystèmematériel . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.4.1.
Déterminationdelapositionducentred’inertieparintégrationdescomposantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.4.2. Déterminationdelapositionducentred’inertieàpartirdes
caractéristiquesdessous-systèmes . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.4.3.
Déterminationducentred’inertieàpartirdessymétriesmatérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.4.4. Exemple:manivelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.4.5. Déterminationducentred’inertieàpartirdesthéorèmesde
Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2. Opérateurd’inertied’unsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1. Momentd’inertied’unsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2. Opérateurd’inertied’unsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2.2. Matriced’inertieassociée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2.3. Baseprincipaled’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.3. ThéorèmedeHuygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3. Matricesd’inertiedesolidesdegéométriesparticulières . . . . . . . . 120
4.3.1. Effetdesconditionsdesymétriematérielle . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1.1. Symétrieparrapportàunplan . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1.2. Symétrieparrapportàdeuxplansorthogonaux . . . . . . . 120
4.3.1.3. Invarianceparrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.2. Matricesd’inertiedesolideshomogènesdeformessimples . . . 121
4.3.2.1. Matriced’inertied’unparallélépipède . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2.2. Matriced’inertied’uncylindrederévolution . . . . . . . . . 121
4.3.2.3. Matriced’inertied’unellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.2.4. Exemple1:parallélépipèderectangle . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.2.5. Exemple2:changementdebase . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.2.6. Exemple3:manivelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4. Torseurcinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2. Déterminationdelarésultantecinétique. . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.3. Déterminationdumomentcinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5. Torseurdynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5.2. Déterminationdelarésultantedynamique . . . . . . . . . . . . . 128Tabledesmatières 13
4.5.3. Déterminationdumomentdynamique. . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6. Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6.1. Synthèsepourunsolide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6.2. Casd’unensembledesolides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6.2.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7. Énergiecinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7.1. Énergiecinétiqued’unsolideenmouvement . . . . . . . . . . . . 133
4.7.2. Énergiecinétiqued’unensembledesolides . . . . . . . . . . . . . 134
4.7.2.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 134
Chapitre5.Étudedes actionsmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1. Torseurdesactionsmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2. Actionsmécaniquesàdistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2.1.Exemple:systèmebielle-manivelle . .............. 137
5.3. Actionsmécaniquesdecontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.1. Torseursd’actionstransmissiblesparlesliaisonsusuelles. . . . . 138
5.3.1.1. Casd’unmouvementplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.1.2. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.2. Différentsniveauxdemodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.3. Casdesliaisonsnonparfaites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3.3.1. Frottementsec:loisdeCoulomb . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.3.2. Frottementvisqueuxlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.3.3. Exemple:liaison pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3.3.4. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.4. Actionstransmissiblesparlesengrenages. . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.4.1. Actiontransmissibleparunengrenageàdenturedroite . . . 157
5.3.4.2. Engrenagesàdentureshélicoïdales . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.4.3. Extensionaucasdescrémaillères . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.4.4. Autrestypesd’engrenages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.5. Actionsmécaniquesexercéesparlesressortsetlesamortisseurs . 160
5.3.5.1. Ressortdetraction-compression . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3.5.2. Ressortdetorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3.5.3. Amortisseurdetraction-compression . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.5.4. Amortisseurdetorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.5.5. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Chapitre6.Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1. Principefondamentaldeladynamique(PFD) . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1. Énoncéduprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2. Théorèmesgénérauxdeladynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2.1. Théorèmedelarésultantedynamique(TRD) . . . . . . . . . 165
6.1.2.2. Théorèmedumomentdynamique(TMD) . . . . . . . . . . 166
6.1.3. Théorèmedesactionsréciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16614 Mécanique générale
6.1.4. Graphedeliaisonsincluantlesreprésentationsd’efforts. . . . . . 166
6.1.4.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.4.2. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.5. ApplicationduPFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.5.1. Systèmemécaniqueisolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.5.2. Choixdurepèregaliléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.5.3. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1.6. Casdelastatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2. Procéduredemiseenéquationd’unproblèmedemécaniquegénérale . 175
6.2.1. Bilanglobald’unmécanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2.1.1. Bilan globalethyperstatisme:paramétragecomplet . . . . 176
6.2.1.2. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.1.3. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.1.4. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.2.1.5. Casd’unmouvementplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2.1.6. Bilan globaletparamétragepartiel . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2.1.7. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.1.8. Exemple:systèmebiellemanivelle . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.1.9. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2.2. Bilanréduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.2.1. Casdessystèmesenboucleouverte . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.2.2. Casdessystèmesenbouclefermée . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.2.3. Casdesmécanismesprésentantdesliaisonsnonparfaites. . 188
6.2.2.4. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.3. Dynamique:applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3.1. Étudedynamiqued’uneponçeusemanuelle . . . . . . . . . . . . 189
6.3.1.1. Étudedelaponceuseàvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3.1.2. Étudedelaponceuseencoursdefonctionnement . . . . . . 199
6.3.2. Étude dynamique d’une commande de fermeture de vanne
hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Chapitre7.ÉquationsdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1. Notiondepuissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1.1. Définitiondelapuissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1.2. Puissancedéveloppéeparlesactionsdeliaisons . . . . . . . . . . 214
7.1.2.1. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1.2.2. Exemple:puissancedéveloppéeparunamortisseur . . . . . 215
7.2. Principedespuissancesvirtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3. Constructiond’unchampvirtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3.1. Paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3.2. Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.3.3. Paramétragedesvitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3.3.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Tabledesmatières 15
7.3.4. Constructiond’unchampvirtuelassociéauparamétrageprincipal 222
7.3.4.1. Exemple:brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.4. ÉquationsdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.1. ÉcritureduPPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.2. Puissancevirtuelledéveloppéeparlesquantitésd’accélération . . 224
7.4.2.1. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.3.
Puissancevirtuelledéveloppéeparleseffortsagissantsurlesystème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.3.1. Exemple:liaison plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.4.3.2. Exemple:amortisseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4.4. Fonctionsdeforceetdedissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.4.4.1. Notiondefonctiondeforce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.4.4.2. Fonctiondedissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.4.5. ÉquationsdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.4.5.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 233
7.4.6. Compatibilitéduchampvirtuelaveclesliaisons . . . . . . . . . . 237
7.4.6.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 238
7.4.7. Effortsdeliaisondéveloppantunepuissancevirtuellenonnulle . 239
7.4.8. ÉquationsdeLagrangeavecmultiplicateurs . . . . . . . . . . . . 240
7.4.8.1. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5. Aspectsméthodologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.5.1. Déterminationdetouteslesinconnuesduproblème . . . . . . . . 243
7.5.2. Déterminationd’unepartiedesinconnuesdusystème . . . . . . . 243
7.5.3. Bilanréduitdusystème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.5.3.1. Exemple:systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.6. ÉquationsdeLagrange:applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.6.1. Étudedynamiqued’uneplatinedisque . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.6.2. Étudedynamiqued’unmoteuràtauxvariable . . . . . . . . . . .
261
Chapitre8.Élémentsd’analysenumériqueetdestabilitédessystèmesmécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.1. Intégrationnumériquedeséquationsdemouvement . . . . . . . . . . . 271
8.1.1. Méthodesdupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.1.2. Lesméthodesd’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.1.3. Notionsdeconsistanceetdestabilitéd’unschémanumérique . . 276
8.1.4. MéthodedeRunge-Kuttad’ordre4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.1.5. Choixd’uneméthodederésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.1.6. FamilledesméthodesdeNewmark(méthodesdusecondordre) . 280
8.1.6.1. ConsistanceetstabilitédesméthodesdeNewmark . . . . . 281
8.1.6.2. ChoixdesparamètresdanslaméthodedeNewmark . . . . . 282
8.1.7. Casdessystèmesenbouclesfermées . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.1.8. Exemple:systèmebielle-manivelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.2. Stabilitédessystèmesdynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28916 Mécanique générale
8.2.1. Équationsdemouvementdugyroscope . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2.2. Quelquesnotionssur lastabilitédesmécanismes . . . . . . . . . 291
8.2.2.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.2.2.2. Étudedelastabilitéd’unsystèmemécanique . . . . . . . . 294
8.2.3. Application au gyroscope: étude de la stabilité de certains états
stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.2.3.1. Déterminationdesétatsstationnairesdugyroscope . . . . . 298
8.2.3.2. Étude de la stabilité de certains états stationnaires par la
méthodedeLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.2.3.3.
Étudedelastabilitédecertainsétatsstationnairesparrésolutionnumériquedeséquationsdemouvement . . . . . . . . 301
Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.1. Rappelssurlesproduitsvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.1.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.1.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.2. Exemplestraîtésdanscetouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.2.1. Systèmebielle-manivelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.2.2. Brasderobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.2.3. Systèmeroulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.3. Exemples de scripts pour la simulation dynamique de systèmes
mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
A.3.1. Scriptdesimulationdusystèmebielle-manivelle . . . . . . . 321
A.3.2. Scriptdesimulationd’unsystème4 barres. . . . . . . . . . . 324
A.4. Rappeldesprincipalesformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
A.5.Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Bibliographie ..................................... 329
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Introduction
L’objectif de cet ouvrage est de donner à l’ingénieur mécanicien les bases de la
mécaniquedu solideindéformable,autrementditles
outilsluipermettantd’appréhender
lesmécanismesindustriels.
Ledomainetraitéiciestceluidessystèmesmulti-corps,dontlesapplicationssont
enlienétroitaveclesmathématiques,l’automatique,lamécaniquedesmilieuxdéformables,lesvibrations,lafabrication,et sans douteplusquetousles autresdomaines,
laconception.
D’un point de vue analyse, l’objectif est de fournir les outils permettant de
comprendre,demodéliseretdedéterminerl’ensembledesmouvementsd’unmécanisme,
ainsi que les efforts mis en jeu dans celui-ci. On s’attache tout particulièrement aux
aspectsméthodologiques,afinquelelecteurpuisseacquérirunedémarcherigoureuse
permettant de traiter en autonomieet en intégralité un problèmede type mécanisme,
depuislamodélisation,lerepérage,leparamétrage,ladéterminationdeséquationsde
liaison,ladéterminationdeséquationsdemouvement,jusqu’àlarésolutionnumérique
deséquationsdécrivantlecomportementdusystème.
D’un point de vue conception, l’objectif est de fournir les outils permettant le
dimensionnementdecomposants,quisefaitprincipalementàpartirdelaconnaissance
des sollicitations auxquellesle composantà dimensionnerest soumis.De ce pointde
vue, en particulier en ce qui concerne la modélisation, il est important de garder à
l’espritl’ensembledesnotionsétabliesenconception.
Leplansuiviiciestclassiquepourlamécaniquegénérale:l’objectifestd’aboutir
à l’expression des principes fondamentauxde la mécanique, basés sur l’approchede
Newton, qui traduisent les relations existant entre les efforts auxquels est soumis un
système mécanique et les mouvements en résultant. Cependant, ces principes
néces-
sitentd’acquériruncertainnombredenotionsquisontdécritesdanslespremierschapitres : aprèsavoir présentél’outilde basedu mécanicien,quiest le torseur,il faudra
1718 Mécanique générale
s’attacher à la description et à la caractérisation du mouvement d’un système
mécanique,indépendammentdescausesquileprovoquent,avantdecaractériserlessolides
vis-à-visdeleur répartitiondemasse, puisdeproposerun cadrepourla modélisation
desactionsmécaniquesquenousconsidérerons.Alorsseulementnousauronsles
outils permettant de présenter le principe fondamental de la dynamique à partir duquel
nous pourrons mettre en relation les actions mécaniques et les mouvements des
so-
lides.Nousaborderonsensuitel’approchedeLagrange,quiestunealternativeàl’utilisationduprincipefondamentaldeladynamiquepourletraitementd’unproblèmede
mécanique générale. Elle permet d’aboutir à des résultats équivalents, mais avec un
pointdevueetunemiseenéquationtrèsdifférentsdel’approchenewtonienne.Enfin,
ladernièrepartiedel’ouvrages’attacheàdonnerlesbasesdelarésolutionnumérique
d’un problème de mécanique générale sous contraintes, avant d’illustrer ces notions
danslecadredel’analysedestabilitédesmécanismes.
L’exposé est agrémenté de trois exemples de type fil rouge, que l’on utilise au
fur et à mesure que les nouvelles notions sont introduites. En complément, des
applicationssur desexemplesindustrielssontprésentéeset résoluesàl’issue dechaque
partiefondamentaledel’ouvrage,ainsiquedesexemplesdescriptspourlarésolution
numériquedeséquationsn’ayantpasdesolutionanalytique.
Notonsquelecôtémathématique(réduitàsonstrictminimum!)decetouvragene
doit pas faire perdrede vue la physiquedes phénomènesdécrits. Les
notionsprésentées ne peuventmalheureusementpas être assimilées par unesimplelecturepassive :
cet ouvrages’étudie papier et crayon à portée de main, avec un
entraînementmathématiquesuffisantpermettantdenepastransformeruneétudemécaniqueenproblème
decalculmathématique...Chapitre1
Notiondetorseur
Ce premier chapitre introductif a pour objectif de présenter le torseur, qui est l’outil
debasedu mécanicien.Ilpermet,commenousleverronsplustard,dereprésenterde
façon synthétiqueles grandeursquecelui-ci doit manipuler,en particulier les actions
mécaniquesetlesmouvementsdesolides.
1.1. Notiondetorseur
1.1.1. Champdevecteurs
OnnoteE l’espaceaffineeuclidienorientédedimension3,etEl’espacevectoriel
(de dimension 3) associé. Un champ de vecteurs est une applicationH qui à tout
pointMdeΩ⊂E associeunvecteurdeE:
H : Ω −→ E
(1.1)~M −→H(M).
1.1.2. Équiprojectivitéd’unchampdevecteurs
UnchampdevecteursH estditéquiprojectif si etseulementsi:
−−→ −−→2 ~ ~∀(M,N)∈ Ω , MN.H(M) =MN.H(N). (1.2)
1.1.3. Torseur
Pardéfinition,untorseur estunchampdevecteurséquiprojectif.
1920 Mécanique générale
1.1.4. Élémentsderéductiond’untorseur
On appelle moment enM du torseurT la valeur du champ de vecteurs enM :
~T(M).
Propriété : un torseurT est entièrement déterminé par la donnée du moment en un
~pointAquelconqueetd’unvecteuruniqueR.
~LevecteurR estappelérésultantedutorseurT .
On distinguealorsletorseurT desonexpression{T} baséesur sesélémentsde
réduction:
    ~ ~  R.~x T(A).~x ~R  ~   ~ R.~y T(A).~y{T} = = . (1.3)~  T(A)  ~ ~A R.~z T(A).~z
(~x,y~,~z) (~x,y~,~z) A
Remarque:On confondrasouventenpratique,etabusivement,{T}etT .
1.1.5. Relationfondamentale:transportdumoment
Connaissantlarésultanteetlemomentdutorseurenunpointdel’espace,onpeut
déterminersonmomentenn’importequelpoint:
−→2 ~ ~ ~∀(A,B)∈E , T(A) =T(B)+AB∧R. (1.4)
L’opérateur ∧ correspond au produit vectoriel. On se reportera à l’annexe A.1 qui
rappellesespropriétésessentielles.D’autrepart,cetteformuleainsiqueles
autreformulesimportantesdel’ouvragesontprésentéesenannexeA.4.
Pourdémontrercettepropriété,ilfautprocéderen deuxtemps:
~1) MontronsdansunpremiertempsquelechampdevecteursT vérifiantT(A) =
−→~ ~T(B) +AB∧R est équiprojectif.Soit un champ de vecteursT tel que∀(A,B) ∈
−→2 ~ ~ ~E , T(A) =T(B)+AB∧R.Alors:
−→ −→ −→ −→~ ~ ~AB.T(A) =AB.T(B)+AB.(AB∧R)
−→ −→~ ~⇒ AB.T(A) =AB.T(B)
−−→ −−→ −−→ −−→~ ~ ~car AB.(AB∧R) =R.(AB∧AB) = 0.
2) Dansunsecondtemps,ilfautmontrerquesiunchampdevecteursT
estéqui−→
~ ~ ~ ~projectif,alorsil existeun uniquevecteurR telqueT(A) =T(B)+AB∧R.Cette
démonstrationnécessiteplusieursétapes,quineserontpasdétailléesiciparsoucisde
concision.Ilfautpourcela:
- montrerquetouteapplicationantisymétriqueL estlinéaire,Notion detorseur 21
-
montrerquelamatriced’uneapplicationantisymétriquedansunebaseorthonorméeestunematriceantisymétrique,
- montrer que pour toute application antisymétriqueL, il existe un unique
~ ~ ~ ~ ~vecteurRtelque∀U ∈ E, L(U) =R∧U,
~- montrer que siT est un torseur défini par son champ de momentsT, alors
−−→ ~ ~l’applicationL définie à partir d’un pointA deE :L(AM) = T(M)−T(A) est
antisymétrique.
−→~ ~ ~ ~Pour trouverR connaissantH, on peut exploiter la relationAB∧R = T(A)−
~ ~T(B), quifournitun système linéaire dontles inconnuessontles composantesdeR.
CesystèmedoitêtreécritentreunpointA etdeuxpointsB etC quinesontpastous
troisalignésafin d’obtenirunsystèmenonsingulier.
1.1.6.
Produitvectorielennotationmatricielle
D’unpointdevueprogrammation,denombreuxlangagesinformatiquesetbibliothèques scientifiques sont basés sur une approchematricielle. Les vecteurs présentés
plushautseprêtentdoncnaturellementàl’intégrationdansdesalgorithmesdecalcul,
puisqu’ils peuvent être vus comme des matrices à 3 lignes et 1 colonne. Les
opérations d’additionsur les vecteurssontalors équivalentesaux opérationsd’additionsur
les matrices. Le produit vectoriel, tel qu’il est présenté ici, et tel qu’il sera utilisé en
pratique d’un point de vue analytique, n’est en revanche pas directement relié aux
opérations classiques matricielles. Ceci dit, étant donné que l’application linéaireL
définie plus haut est antisymétrique, cela signifie qu’il existe une matrice
antisymé~ ~ ~triqueR permettantdedéterminerles composantesdeL(U) =R∧U dansla basei
(~x ,~y ,~z ):i i i
h i h i
~ ~L(U) =R U . (1.5)i
i i
Onmontretrèsfacilementquecettematriceapourexpression:
 
~ ~0 −R.~z R.~yi i
 ~ ~ R = . (1.6)R.~z 0 −R.~xi i i
~ ~−R.~y R.~x 0i i
C’estsouscetteformequeleproduitvectorielestutiliséenpratiquedansleslogiciels
desimulation.22 Mécanique générale
1.2. Opérationssur lestorseurs
1.2.1. Égalitédedeuxtorseurs
Deux torseursT etT sont égaux si et seulement si ils ont même résultante et1 2
mêmemomentenunpoint:

~ ~ ~ ~R R R =R ,1 2 1 2{T } = ={T } = ⇔ (1.7)1 2~ ~ ~ ~T (A) T (B) T (A) =T (A).1 2 1 2A B
1.2.2. Additionetmultiplicationparunscalaire
Multiplicationparunscalaire
Pourtoutαréel,ondéfinitletorseurαT àpartirdutorseurT :

~ ~R αR
{T} = ⇒{αT} = . (1.8)~ ~T(A) αT(A)
A A
Additiondedeuxtorseurs
SoientdeuxtorseursT etT :1 2

~ ~R R1 2{T } = et {T } = , (1.9)1 2~ ~T (A) T (B)1 2A B
ondéfinitalorsletorseursommeT =T +T :1 2

~ ~ ~ ~R +R R +R1 2 1 2
{T} ={T }+{T } = = ,1 2 ~ ~ ~ ~T (A)+T (A) T (B)+T (B)1 2 1 2A B
(1.10)
−→ −→
~ ~ ~ ~ ~ ~oùT (A) =T (B)+AB∧R etT (B) =T (A)−AB∧R .2 2 2 1 1 1
1.2.3. Comomentdedeuxtorseurs
On appelle comoment des deux torseursT etT la quantité scalaireT ⊗T1 2 1 2
définiedelafaçonsuivante:

~ ~R R1 2 ~ ~ ~ ~{T }⊗{T } = ⊗ =R .T (A)+R .T (A). (1.11)1 2 1 2 2 1~ ~T (A) T (B)1 2A B
Propriété:lecomomentdedeuxtorseursnedépendpasdupointchoisipourlecalcul:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~R .T (A)+R .T (A) =R .T (B)+R .T (B). (1.12)1 2 2 1 1 2 2 1
Démonstration:
−→ −→~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~R .T (A)+R .T (A) =R .T (B)+R .AB∧R +R .T (B)+R .AB∧R1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1
−→
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (1.13)=R .T (B)+R .T (B)+AB.(R ∧R +R ∧R )1 2 2 1 1 2 2 1
~ ~ ~ ~=R .T (B)+R .T (B).1 2 2 16
6
Notion detorseur 23
1.3. Invariantsd’untorseur
On appelle invariant d’un torseur une quantité ne dépendant pas du point
d’expressiondutorseur.
~– LarésultanteR estuninvariantvectorieldutorseurT .
– Leproduitscalairedelarésultanted’untorseurparsonmomentnedépendpasdu
point d’expression de ce moment. Cet invariant scalaire, parfois appelé automoment
deT ,estledemi-comomentdutorseurparlui-même.
1.4. Torseursspéciaux
On appelle torseur spécial tout torseur dont l’automoment est nul. Il existe trois
typesdetorseursspéciaux:letorseurnul,lecoupleetleglisseur.
– Torseurnul
LetorseurnulO estletorseursuivant:

~ ~0 0
{O} = = . (1.14)~ ~0 0
A ∀
– Couple
Pardéfinition,uncoupleC estuntorseuràrésultantenulle:

~ ~0 0
{C} = = . (1.15)~ ~C(A) C(A)
A ∀
Propriété:lemomentd’uncouplenedépendpasdupointd’expressiondecemoment.
– Glisseur
UnglisseurG estuntorseurdontlemomentestnulenaumoinsunpointdel’espace:

~R
{G} = . (1.16)~ ~T(A) = 0
A
~ ~~Apriori,siB =A,T(B) = 0.Deplus,T vérifielespropriétéssuivantes:
~ ~-∀B∈E, T(B) estorthogonalàR.
~ ~ ~-∀B∈ (A,R)T(B) = 0.
1.5. Axecentrald’untorseur
1.5.1. Définition
~On appelle axe central d’un torseurT à résultante R non nulle l’ensemble des
~pointsM pourlesquelslemomentT(M)estcolinéaireàlarésultante.24 Mécanique générale
~ ~SoitI unpointdecetaxe,notéΔ.AlorsT(I) =λR.Montronsqueλnepeutêtre
quelconque:
−→~ ~ ~ ~λR =T(I) =T(A)+IA∧R
2~ ~ ~⇒λR =T(A).R
(1.17)
~ ~T(A).R 1T ⊗T
⇒λ = = .
~2 ~22R R
λ,quiestuninvariantscalairedutorseurT ,estappelépasdutorseur.
1.5.2. Déterminationdel’axed’untorseur
Onsupposequel’onconnaîtlesélémentsderéductiondutorseurT aupointA:

~R
{T} = . (1.18)~T(A)
A
Oncherchealorsàcaractériserl’axecentral,notéΔ,decetorseur.
~Par définition,l’axe central est orientépar la résultanteR du torseur. Il ne reste donc
qu’àdéterminerunpointdepassage.
– Si l’on connaît un point de l’espace pour lequel le moment du torseur est nul,
alorsΔpasseparcepoint,etl’axecentraldutorseurestentièrementdéterminé.
−→~ ~ ~ ~~– Sinon,ilfautchercherunpointJ telqueR∧T(J) = 0,soitR∧(T(A)+JA∧
−→ −→ −→ −−→ −→~ ~ ~~R) = 0. On décompose alorsJA surR : JA = JB +BA avec JB = μR et
−→ ~BA.R = 0. −→
~ ~ ~ ~ ~ ~⇒ R∧(T(A)+μR∧R+BA∧R) = 0
−→ −→
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~⇒ R∧T(A)+(R.R)BA−(R.BA)R = 0
−→ ~ ~R∧T(A)
⇒ BA =− 2~R
−→ ~ ~R∧T(A) ~⇒ AJ = −μR,~2R
oùμ est un réel arbitraire. La connaissancedu torseur en un pointA permet doncde
remonterdefaçonexpliciteàlacaractérisationde Δ.
1.6. Décompositiond’untorseur

~R ~Soit le torseurT : {T} = et Δ = (J,R) l’axe central deT .
~T(A)
A
Alors le moment en A peut s’exprimer en fonction du moment sur l’axe central :
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~T(A) = T(J)+AJ∧R = μR+AJ∧R. On peut doncdécomposerle torseur
delafaçonsuivante:
( )
~~ ~ ~0 R 0 R
{T} = + = + . (1.19)−→~ ~ ~ ~μR μR 0AJ∧RA A JANotion detorseur 25
Touttorseurpeutdoncêtredécomposéenunesommed’uncoupleetd’unglisseur.
1.7. Constructiond’untorseurà partird’unchampdevecteurs
~Étant donné un champ de vecteurs quelconque M −→H(M) et un domaine
Ω⊂E alorslechampdevecteurs
Z
−−→~ ~Q −→T(Q) = QM∧H(M)dΩ (1.20)
Ω
~estuntorseuretapourrésultantelevecteurR :
Z
~ ~R = H(M)dΩ. (1.21)
Ω
Démonstration : Montrons que ce champ de vecteurs est équiprojectif. Soient deux
pointsQetN del’espace:
Z Z −→ −−→ −→ −→ −−→
~ ~ ~T(Q).QN = QM∧H(M)dΩ.QN = QN∧QM .H(M)dΩ
ZΩ Ω
−→ −→ −−→ ~= QN∧(QN +NM) .H(M)dΩ
(1.22)ZΩ Z
−→ −−→ −−→ −→~ ~= QN∧NM .H(M)dΩ = NM∧H(M) dΩ.QN
Ω Ω−−→~=T(N).QN.
Cechampdevecteursestdoncbienuntorseur.Onpeutidentifiersarésultanteàpartir
delaformuledetransportdemoment:
Z Z −−→ −→ −−→
~ ~ ~T(Q) = QM∧H(M)dΩ = QN +NM ∧H(M)dΩ
(1.23)Ω ΩR−−→ ~ ~=QN∧ H(M)dΩ+T(N).Ω26
Chapitre2
Analysegéométriquedesmécanismes
L’analysegéométriquedesmécanismesconstituelapremièreétapedel’analysecinématiquedes mécanismes,qui sera présentéedans le chapitresuivant.La cinématique
est l’étude des mouvements indépendammentdes causes qui les produisent.Nous
allonsdonc,dansunpremiertemps,compléterleconceptd’espacephysique,définipour
lagéométrie,parleconceptdetemps.Enmécaniqueclassique,cesdeuxconceptssont
supposésêtretotalementindépendantsl’undel’autre.
2.1. Systèmederéférence
2.1.1. Espacephysique
Historiquement, la perception de l’espace physique a conduit, notamment pour
l’étude de la géométrie, à le représenter par un espace affine euclidien orienté, de
dimension3. A cet espaceest associé un pointd’origine,et un espacevectorielmuni
d’unebaseorthonorméedirecte.Cet ensembleconstitueunrepère.
2.1.2. Temps
L’espace physique n’étant pas assez riche pour représenter le mouvement, on lui
associe le concept de temps. La notion de temps telle qu’on l’utilise en mécanique
classique est conforme à la perception que l’on s’en fait : on définit tout d’abord
la notion d’instant, et à chaque instant on associe une date. L’ensemble ainsi défini
est ordonné, permettant de définir l’ordre chronologique. En enrichissant encore ce
conceptavecuneorigine,choisiearbitrairement,etunemesure,on définitla datation
galiléenne,qui va nouspermettred’associer à chaqueinstant et de façon unique,une
datenotéet.L’espaceainsidéfiniestaffinededimension1.
2728 Mécanique générale
2.2. Repérageet paramétraged’unsolide
2.2.1. Notiondesolide
Dans le cadre de la mécanique générale, nous allons nous intéresser à l’étude du
mouvement des solides. Parmi l’ensemble des corps physiques, nous considérerons
commesoliderigide(ouindéformable)toutcorpstelqueladistanceentredeuxpoints
quelconquesdececorpsresteconstanteaucoursdutemps.Lesbasesdelamécanique
classique présentent de façon séparée l’étude du mouvement des solides rigides et
celledessolidesdéformables.Lemouvementréeldetoutsolidefaitbiensûrintervenir
desdéformations,maisdansuncertain nombredecas,cesdéformationspeuventêtre
considéréescommenégligeables.Danstoutelasuite,nousconvenonsd’appelersolide
untelcorps.Ilserasous-entenduquecelui-ciestindéformable.
2.2.2. Repèreliéàunsolide
À tout solideS , nous attacherons un repèreR (O ,~x ,~y ,~z ), comme le montrei i i i i i
la figure 2.1. Le repère R est dit lié à S . L’étude du mouvement d’un solide Si i i
par rapport à un solide S reviendra donc à étudier le mouvement du repèreR parj i
rapport au repèreR . Le choix de l’orientation des axes et de l’origine de ce repèrej
est arbitraire, mais celui-ci doit être effectué de façon judicieuse si l’on veut limiter
les calculs associés. Nous verrons en particulier que si le solide est en liaison avec
d’autressolides,lesaxesdesliaisonsdoiventêtreprivilégiés.
Figure2.1. Repérage d’un solideS .iAnalyse géométrique desmécanismes 29
2.2.3. Paramétrage
Afin de caractériser complètement l’emplacement dans l’espace d’un solide par
rapportà un autre,il faut connaîtrela position de celui-ci,mais égalementson
orientation.Onvadonc,pourfixerlesidées,s’intéresseraumouvementd’unsolideS ,quii
seraditmobile,parrapportàunsolideS ,appelésolidederéférence.Cesappellationsj
sontrelatives,ilest biensûr possibledeconsidérerlemouvementdeS par rapportàj
un solideS , ce qui intervertitles appellations.Au solideS nousattachons le repèrei i
R (O ,~x ,~y ,~z )etàS nouslionsR (O ,~x ,~y ,~z ),commelemontrelafigure2.2.i i i i i j j j j j j
Le paramétrage du mouvement deS par rapport àS revient à définir un ensemblei j
de variables,appelées paramètresdu mouvement,permettantdedéfinir la position et
l’orientationdeR parrapportàR .i j
Figure2.2. Deux solides et leurs repères associés.
2.2.3.1. Positiond’unrepère parrapportàunautre
La position deR par rapport àR est définie par la position deO par rapport ài j i
O :j    −−→
O O .~xx j i j
−−→  −−−→  O O = y = , (2.1) O O .~y j i j i j
−−−→z O O .~zj j i j j
oùx,y,z sontappelésparamètresdumouvements’ilsdépendentdutemps.
Remarque : le choix des paramètresx,y,z n’est pas unique; on peut choisir de
caractériser la position du solideS par rapportau solideS en utilisant n’importequeli j
pointM deS et n’importe quel pointM deS . La position est alors caractériséei i j j
−−−→ −−−→
parlevecteurM M (etnonM M quicaractériselemouvementdeS parrapportj i i j j30 Mécanique générale
àS ), dontles composantesdansR (repèrede référence)peuventêtre utilisées pouri j
définirlesparamètres.
2.2.3.2. Orientationd’unrepèreparrapportà unautre
L’orientationdurepèreR parrapportàR peutêtredéfiniedeplusieursmanières,i j
conduisant à des résultats équivalents. On présente ici les techniques les plus
répanduesenmécaniqueanalytique:utilisationdelamatricedepassagedelabasej versla
basei,utilisation des anglesd’Euler,ou utilisation desanglesnautiques.On
présente
égalementunetechniqueutiliséedanscertainesapplicationsoùtroisrotationscombinées sont mises en jeu, les quaternions,ainsi que l’approchede Denavit-Hartenberg,
utiliséeenrobotique.
2.2.3.2.1. Utilisationdelamatricedepassage
Ondéfinitcommesuitlamatricedepassagedelabasej verslabasei,ellecontient
encolonneslescoordonnéesdesvecteursdebasedeR exprimésdanslabasedeR :i j
 
~x .~x ~y .~x ~z .~xi j i j i j
 P = ~x .~y ~y .~y ~z .~y . (2.2)j→i i j i j i j
~x .~z ~y .~z ~z .~zi j i j i j
Ces quantités sont appelées cosinus directeurs des vecteurs de la base deR ex-i
primés dans la base de R . Il y a donc a priori 9 quantités scalaires permettant laj
définition de cette orientation,mais il faut garder en mémoireque les repèresutilisés
sontorthonormés,cequiconduitàl’existencederelationsentrecesquantités.Iln’ya
en fait que 3 quantités scalaires indépendantesparmi les 9 valeurs contenues dans la
matrice, ce qui implique qu’il suffit de connaîtreces 3 quantités pour définir
l’orientationdeR parrapportàR .Enpratique,3relationssontgénéralementinsuffisantesi j
pour déterminer 3 valeurs angulaires de façon unique : par exemple, pour connaître
α, la donnée de cosα ne suffit pas, alors que la donnée de cosα et sinα permet de
connaîtreαdefaçonuniquesur[0,2π[.
Rappelssur lespropriétésd’unematricederotationP :i→j
– cettematriceestorthogonale,
– soninverseestégaleàsatransposée:
−1 T
P =P =P , (2.3)j→ii→j i→j
~– ellepermetdechangerlabased’expressiond’unvecteurA:
−1~ ~(A) =P (A) , (2.4)i jj→i
– ellepermetdechangerlabased’expressiond’unematriceA:
−1[A] =P [A] P . (2.5)i j j→ij→iAnalyse géométrique desmécanismes 31
2.2.3.2.2.
Anglesd’Euler
L’utilisationdesanglesd’Eulerest,enmécaniqueanalytique,lafaçonlapluscourante de paramétrer l’orientation d’un solideS par rapport à un autre solideS . Cei j
paramétrage s’appuie sur la définition de trois angles, définissant trois rotations
permettantdepasserd’unrepèreàl’autre.Lesdeuxrepèressontschématiséssurlapartie
gauche de la figure 2.3, tandis que la partie droite de cette figure présente les trois
anglesd’Euler,ainsiquelesrepèresintermédiaires.
Figure2.3. Angles d’Euler.
Lepassaged’unrepèreàl’autresedécomposedoncentroisrotationssuccessives,
décritessurlafigure2.4:
– une rotation d’angle ψ, appelé angle de précession, autour de l’axe ~z . Laj
construction de cet angle se base sur le vecteur~x , qui est le vecteur unitaire dontp
ladirectionestdonnéepar~z ∧~z .Onconstruitalorslevecteur~y =~z ∧~x ,etψ estj i p j p
définidelafaçonsuivante:
ψ = (~x ,~x ) = (~y ,~y ). (2.6)j p j p
Afind’exploitercetangledanslesrelationsquenousécrironsparlasuite,ontrace
la figure de changement de base associée, qui est donnée sur la partie gauche de la
figure 2.5. Cette figure sera systématiquement tracée avec les repères dans le sens
direct,etunanglederotationpositifdontl’ordredegrandeurest20à30˚.Ellepermet
dedéterminersansrisqued’erreurlesrelationsentrelesvecteursdebases:
 
~x = cosψ~x +sinψ~y , ~x = cosψ~x −sinψ~y , p j j j p p
~y =−sinψ~x +cosψ~y , ou ~y = sinψ~x +cosψ~y , (2.7)p j j j p p
 
~z =~z , ~z =~z .p j j p
Dans le cas où les deux vecteurs~z et~z sont colinéaires, l’angle de précessionj k
est défini commeétant nul : ceci est source de difficultés numériquesqui font que ce
paramétragen’estquepeuutilisédansleslogicielsdecalcul.32 Mécanique générale
Figure2.4. Angles d’Euler :décomposition.
Figure2.5. Figures de changement de base.
– unerotationd’angleθ,appeléangledenutation,autourdel’axe~x :p
θ = (~y ,~y ) = (~z ,~z ), (2.8)p n p n
– unerotationd’angleφ,appeléanglederotationpropre,autourdel’axe~z :i
φ = (~x ,~x ) = (~y ,~y ). (2.9)n i n i
On peut si besoin déterminer la matrice de passage associée, qui vérifiera la
relationsuivante:
−1~ ~(A) =P (A) . (2.10)i ji→jAnalyse géométrique desmécanismes 33
−1OnaalorsP =P =P P P avec:j→i j→p p→n n→ii→j
 
cosψ −sinψ 0
 P = sinψ cosψ 0 , (2.11)j→p
0 0 1
 
1 0 0
 P = 0 cosθ −sinθ , (2.12)p→n
0 sinθ cosθ
 
cosφ −sinφ 0
 P = sinφ cosφ 0 , (2.13)n→i
0 0 1
soit:
 
cosφcosψ−sinφcosθsinψ −sinφcosψ−cosφcosθsinψ sinθsinψ
−1  cosφsinψ +sinφcosθcosψ −sinφsinψ +cosφcosθcosψ −sinθcosψP = .i→j
sinφsinθ cosφsinθ cosθ
(2.14)
2.2.3.2.3. Anglesnautiques
Il existe une autre technique permettant le paramétrage de l’orientation d’un
repère par rapport à un autre, qui est très utilisée pour la description de mouvementsà
"translation dominante",comme ceux d’un avion ou d’un bateau : ce sont les angles
nautiques.Ilssontprésentéssur lafigure2.6.
Figure2.6. Angles nautiques.
LepassagedeR àR sefaitparlacombinaisondestroisrotationsdéfiniesàpartirj i
desanglessuivants:34 Mécanique générale
– l’angledelacet,notéα,correspondantàunerotationautourdel’axe~z :j
α = (~x ,~x ) = (~y ,~y ). (2.15)j ℓ j ℓ
Cetangleestconstruitàpartirduvecteur~x ,quiestlevecteurunitaireportépar~y ∧~z .ℓ i j
– l’anglederoulis,notéβ,correspondantàunerotationautourdel’axe~x :ℓ
β = (~y ,~y ) = (~z ,~z ). (2.16)ℓ r ℓ r
– l’angledetangage,notéγ,correspondantàunerotationautourdel’axe~y :i
γ = (~z ,~z ) = (~x ,~x ). (2.17)r i r i
Figure2.7. Angles nautiques : décomposition.
NotaBene:Ilestpossiblededéfinird’autrestypesd’angles,defaçonéquivalente,
àpartird’unchoixarbitrairedetroisaxesderotationnoncolinéaires.
2.2.3.2.4. Quaternions
Nous ne ferons que présenter rapidement, dans le cadre de cet ouvrage, l’intérêt
del’utilisationdesquaternionspourreprésenterl’orientationetlarotationd’unrepère
parrapportàunautrerepère.Nousnedétailleronsdoncpaslamiseenœuvreeffective
desquaternionsdanslescalculsdecinématiqueetdedynamiqueassociésàl’étudedes
mécanismes. Pour une utilisation exhaustivedes quaternionsen mécaniquegénérale,
ilseradoncnécessairedesereporteràdesouvragesspécialisés,notamment[CAS87,
KUI99].Analyse géométrique desmécanismes 35
– Définitionet propriétésprincipalesdesquaternions
Unquaternionestunnombrehypercomplexeforméparunquadrupletdenombres
réelsquis’écritsouslaforme:
Q =q 1+q i+q j +q k, (2.18)0 1 2 3
où1,i,j,k sontlesquatrequaternionsunitésetq ,q ,q ,q sontdesnombresréels.0 1 2 3
Tout quaternionQ s’écrit donc comme une combinaison linéaire des quatre
quaternions unités.q est la composante réelle ou scalaire du quaternion,q ,q ,q sont0 1 2 3
lescomposantescomplexesdeQ(ousapartievectorielle).
La multiplication des quaternionsn’est pas commutative,elle vérifie les relations
suivantes:
2 2 2i =j =k =−1, ij =−ji =k, jk =−kj =i, ki =−ik =j. (2.19)
L’ensembledesquaternionsdelaformeQ =q +0i+0j+0kconstituel’ensemble0
desréels.
L’ensembledesquaternionsdelaformeQ = 0+q i+q j+q kconstitueunespace1 2 3
3vectorieltridimensionnelquel’onpeutassimileràR .Onlesappellequaternionspurs
ouquaternionsvectoriels.
La décomposition du quaternion en sa partie scalaire et sa partie vectorielle est
notée:
~ ~ ~ ~ ~ ~Q =q +V = (q ,V) où V =q i+q j +q k =q i+q j +q k. (2.20)0 0 1 2 3 1 2 3
Attention,cette notation où l’on additionneun scalaire et un vecteurn’est acceptable
quepourladécompositionduquaternion...
LeconjuguéduquaternionQ est
¯ ~Q =q −q i−q j−q k = (q ,−V). (2.21)0 1 2 3 0
LanormeduquaternionQest
q qq
¯ 2 2 2 2 2 ~ 2||Q|| = QQ = q +q +q +q = q +||V|| . (2.22)0 1 2 3 0
Unquaterniondenorme1estditunitaireetpeutêtreécritsouslaforme:
Q = cosθ +sinθ~u, (2.23)u
où~uestunvecteurunitaire.
L’inverseduquaternionQ est:
¯ ¯Q Q−1
Q = = . (2.24)2¯ ||Q||QQ
Les règles algébriques usuelles, à l’exception de la commutativité de la
multiplication,sontsatisfaitesparlesquaternions.