Corrige EDHECL Mathematiques 2007 HEC ECO

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Corrigé Mathématiques 2007 option économique Exercice 1 ................................................................................... 1) a) Soit M et N deux matrices quelconques de M (IR) et λ un réel quelconque. 2tϕ( λM + N) = ( λM + N) + ( λM + N). Or la transposition est linéaire donc on peut écrire : t t t tϕ( λM + N) = λM + N + λ M + N = λ(M + M) + (N + N), ce qui donne : ϕ( λM + N) = λ ϕ(M) + ϕ(N). L’application ϕ est linéaire. tDe plus, si M appartient à M (IR), alors M appartient aussi à M (IR), et, par stabilité de M (IR) pour 2 2 2l’addition, ϕ(M) appartient à M (IR). 2Conclusion : ϕ est un endomorphisme de M (IR). 2 b) Cherchons les images par ϕ des matrice de la base B de M (IR). 2⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛2 0 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2E . 1 1 1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 0 0 0 0 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 1 ⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛0 1 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = E + E . 2 2 2 2 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 0 1 0 1 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 0 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛0 1 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = E + E . 3 3 3 2 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 0 0 0 1 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛0 0 ⎞ ⎛0 0 ⎞ ⎛0 0 ⎞tϕ(E ) = E + E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2E . 4 4 4 4⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 1 0 1 0 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠On en déduit que la matrice A de ϕ relativement à la base B est : 2 0 0 0⎛ ⎞⎜ ⎟0 1 1 0⎜ ⎟A = . ⎜ ⎟0 1 1 0⎜ ⎟⎜ ⎟0 0 0 2⎝ ⎠ c) La matrice de ϕ dans la base B est symétrique donc diagonalisable. Par conséquent ϕ est aussi diagonalisable. 1 La matrice A possède deux colonnes égales, elle n’est donc pas inversible, ce qui ...

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Corrigé Mathématiques 2007

option économique

Exercice 1 ................................................................................... 1) a) Soit M et N deux matrices quelconques de M 2 (IR) et λ un réel quelconque. ϕ   ( λ   M + N ) = ( λ   M + N ) + t ( λ   M + N ). Or la transposition est linéaire donc on peut écrire : ϕ   ( λ   M + N ) = λ   M + N + λ   t M + t N = λ   ( M + t M ) + ( N + t N ), ce qui donne : ϕ   ( λ   M + N ) = λ   ϕ   ( M ) + ϕ   ( N ). L’application ϕ est linéaire. De plus, si M appartient à M 2 (IR), alors t M appartient aussi à M 2 (IR), et, par stabilité de M 2 (IR) pour l’addition, ϕ   ( M ) appartient à M 2 (IR). Conclusion : ϕ est un endomorphisme de M 2 (IR).     b) Cherchons les images par ϕ des matrice de la base B de M 2 (IR). ϕ   ( E 1 ) = E 1 + t E 1 = ⎛ ⎜ 1 0 ⎟ ⎠ ⎞ + ⎜ ⎛ 1 0 ⎟ ⎞ = ⎛ ⎜ 2 0 0 0 ⎟ ⎞ = 2   E 1 . ⎝ 0 0 ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ϕ   ( E 2 ) = E 2 + t E 2 = ⎜ ⎛ 0 1 ⎞ ⎟ + ⎜ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟ = ⎝ ⎛ ⎜ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ ⎟ = E 2 + E 3 . ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ϕ   ( E 3 ) = E 3 + t E 3 = ⎜ ⎛ 0 0 ⎟ ⎠ ⎞ + ⎛ ⎝ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎞ = ⎝ ⎛ ⎜ 0 1 1 0 ⎞ ⎠ ⎟ = E 2 + E 3 . ⎝ 1 0 ⎠ t E = ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ϕ   ( E 4 ) = E 4 + 4   ⎝ 0 0 1 0 ⎠ + ⎝ ⎜ ⎛ 0 0 0 1 ⎞ ⎠ ⎟ = ⎝ ⎛ ⎜ 0 0 0 2 ⎠ ⎞ ⎟ = 2   E 4 . On en déduit que la matrice A de ϕ relativement à la base B est :   0 1 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 2 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎟ A =  . 0 1 1 0 ⎝ 0 0 0 2 ⎠     c) La matrice de ϕ dans la base B est symétrique donc diagonalisable. Par conséquent ϕ est aussi diagonalisable.

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