EA 2002 composition de mathematiques classe prepa pc
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ANNEE 2002 CONCOURS D’ADMISSION A L’ECOLE DE L’AIR CONCOURS PCYPN COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Coefficient : 13 L’attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin et de la rigueur apportés dans le travail. Nota : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ‘il a été amené à prendre. T.S.V.P. CONCOURS ECOLE DE L’AIR 2002 EPREUVE DE MATHEMATIQUES PC-PSI ERRATUM PROBLEME II - Page 4 / 4 g(x)=Cbx au lieu de n=fj n n g(x)= cb Y Lire n=O n Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants, Problème 1 On fixe un entier n E N” et 1 ‘on désigne par E 1 ‘espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur où égal à n. On considère la forme linéaire L sur E définie par . 1 VP E E, L(P) = P(x)dx s -1 On notera B =( 1. X,X*, .., Xn) la base canonique de E. Les questions sont dans une large mesure indépendantes. 1. (a) Déterminer l’image par L du polyn&ne P tel que P = 2 apXP. p=o (b) Déterminer la dimension du noyau de L, puis une base B’ de ce noyau. 2. Pour tout réel X , on considère l’application fi de E dans lui même définie par: f>(P) = P + XL(P)X (a) Montrer que fi est linéaire et préciser la matrice de fx dans la base canonique de E. (b) Déterminer les valeurs propres de fx ainsi que le rang de fx. fx est-il ...
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