Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Bac+5
Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques 2008 Probleme 2 : devoir sur table (3h). 22/10/2007. Ce probleme est adapte d'un probleme qui a ete pose au concours AGRO-VETO en 2005, lors d'une epreuve de 3h30. Les deux problemes sont independants. Les resultats des preliminaires peuvent etre utilises dans les deux problemes. Le resultat d'une ques- tion non traitee peut etre utilisee par la suite. Rappelons que la clarte, la precision et la rigueur de la redaction sont largement prises en compte dans l'evaluation. Preliminaires Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N, on considere sa fonction generatrice definie par la serie entiere gX(s) = ∑ k?N P(X = k)sk. 1. Montrer que le rayon de convergence R de gX est superieur ou egal a 1. 2. On suppose maintenant que le rayon de convergence R est strictement plus grand que 1. Montrer que X est integrable et que EX = g?X(1). 3. Application. Soit X une variable aleatoire de loi geometrique de parametre p ?]0, 1[, c'est-a-dire a valeurs dans N? et telle que ?k ? N?, P(X = k) = p(1? p)k?1. Calculer EX.
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Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques 2008 Probleme 2 : devoir sur table (3h). 22/10/2007. Ce probleme est adapte d'un probleme qui a ete pose au concours AGRO-VETO en 2005, lors d'une epreuve de 3h30. Les deux problemes sont independants. Les resultats des preliminaires peuvent etre utilises dans les deux problemes. Le resultat d'une ques- tion non traitee peut etre utilisee par la suite. Rappelons que la clarte, la precision et la rigueur de la redaction sont largement prises en compte dans l'evaluation. Preliminaires Soit X une variable aleatoire a valeurs dans N, on considere sa fonction generatrice definie par la serie entiere gX(s) = ∑ k?N P(X = k)sk. 1. Montrer que le rayon de convergence R de gX est superieur ou egal a 1. 2. On suppose maintenant que le rayon de convergence R est strictement plus grand que 1. Montrer que X est integrable et que EX = g?X(1). 3. Application. Soit X une variable aleatoire de loi geometrique de parametre p ?]0, 1[, c'est-a-dire a valeurs dans N? et telle que ?k ? N?, P(X = k) = p(1? p)k?1. Calculer EX.
- lancers successifs
- tour de role
- loi geometrique
- independantes de meme loi
- joueur jk
- tour de role dans l'ordre des indices
- regle du jeu
- ieme lancer
EcritProbabilite´s
Proble`me2:devoirsurtable(3h). 22/10/2007.
CapesdeMathe´matiques2008
Ceproble`meestadapt´ed’unproble`mequiae´te´pos´eauconcoursAGRO-VETOen 2005,lorsd’unee´preuvede3h30.Lesdeuxproble`messontind´ependants.Lesr´esultats despre´liminairespeuventeˆtreutilis´esdanslesdeuxproble`mes.Ler´esultatd’uneques-tionnontrait´eepeuteˆtreutilise´eparlasuite.Rappelonsquelaclart´e,lapre´cisionet larigueurdelar´edactionsontlargementprisesencomptedansl’e´valuation.
Pre´liminaires SoitXusdansleur`avaoiree´taellairbaenavNceriatncon,oeressid`tcoifano´nregne´ d´efinieparlase´rieentie`re X k gX(s) =P(X=k)s . k∈N 1. Montrerque le rayon de convergenceRdegXa`.1gelaor´uiruestsee´pu 2. On suppose maintenant que le rayon de convergenceRest strictement plus grand que 1. Montrer queXe´tnbargitseetleequ 0 EX=g(1). X 3. Application. SoitXteiroe´mperauqdetoirl´eaoig´edelvenuaelbaira`eametr ∗ p∈]0,tse’-a`-eridava`leursdans,c1[Net telle que ∗k−1 ∀k∈N,P(X=k) =p(1−p). CalculerEX.
Probl`emeI.LejeuduCraps. A.Etudedujetsimultan´ededeuxde´snonpipe´s. Onlancesimultane´mentdeuxd´es´equilibr´es,etonnoteSleur somme. 1.D´eterminerlaloideS,nesoe.iancsteeravae´pscnar 2.V´erifierquepourtoutk∈ {2, . . . ,7}, k−1 P(S=k) =P(S= 14−k) =. 36 3. Calculer,en fonction dek´tile,laprobabiP(S6∈ {k,7}) pourk∈ {4,5,6}, puis pourk∈ {8,9,10}.
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EcritProbabilit´es
CapesdeMath´ematiques2008
B. Le Craps. LejeuduCraps,tr`espopulaireauxEtats-Unis,sejoue`aunjoueur,etconsiste enunesuccessiondelancerssimultane´sdedeuxd´es´equilibre´s.Onsupposequeles diff´erentslancerssontinde´pendants.Onconside`relasuite(Sn)n∈Ndes sommes ∗ obtenueslorsdeslancerssuccessifs:c’estdoncunesuitedevariablesale´atoires inde´pendantesdemˆemeloiquelavariableale´atoireS´etudi´eepr´ece´edmmne.t Lar`egledujeuestlasuivante.Lepremierlancerestparticulier: – siS1∈ {7,11}ngaglteeojelrueumiere.n´eue,jttes – siS1∈ {2,3,12}.e´nimrettseuel,erdetlejejoueurp – siS1∈ {4,5,6,8,9,10}, le joueur retient la valeurke´.sbttreelnue,oelesdance Le but est d’obtenirkno:7rineledrageravbt’otdan`imelenaec.rer´esultatdudeux – siS2=klteeuejettseimre,joleuruegnga´n,e – siS2,e´nimrettsjeueetleperdueureloj=,7 –danstouslesautrescas,lejoueurrelancelesd´es. Etainsidesuitejusqu’a`avoirobtenuun7(auquelcasilperd),oulavaleurk(auquel cas il gagne). On noteH´’velemtne´enej”leuouagrg”eneop,trun≥1, on noteHn l’´ev´enement”lejoueurgagneaunrucelcelasedteL.”recnaleme`i-iertpateetectdbu P(H). 1.Calculerlaprobabilite´P(H1). 2. Pourn≥2 et pourk∈ {4,5,6}c,lauceluubriglaigtn´eeaqurellaepjrooubea nalcnreasi-e`emuaoilenbtanchu’tqkau premier lancer. 3.Ende´duire,pourk∈ {4,5,6}l,patnuqi’lahcasengagrueuojleueeqt´libibaro a obtenukupremierlanceresge´t`elaaa k−1 P(H|S1=k) =. k+ 5 4. Calculer,pourk∈ {8,9,10}lapr,ilitobabanchsaneailu’tqjeleuqe´gagrueuo obtenukau premier lancer. 5. CalculerP(H) et commenter.
Probl`emeII.Unjeua`plusieurs. Desjoueursnomme´sJ1, . . . , Jc, avecc≥delolsnadro’eders2,edˆrotrutna`ojeu indices :J1, puisJ2, .. .,puisJc, puisJ1, puisJ2, et ainsi de suite. A chaque fois qu’il joue, le joueurJkilitobabenrp´euapk∈]0,netlame´egenposer.Ogagn1[de qk= 1−pkrueuojnu’uqse`deinrmteseeuej.Lnotegagne.OnGkne”tell’e´´vneme joueurJkgagne”. Onsupposequetouslesr´esultatsdetouslesjoueurssontmutuellementinde´pendants, ∗ c’esta`direquesi,pouri∈N, on note Ei={unpure´molecoic`ucpoessourannlsesnut.urce}, la suite (Ei)i∈Nntsinemeev´eed’´E.finnastepdndne´onn,tenotiusenutseTla variable ∗ ale´atoiredonnantlenombredecoupsjoue´sjusqu’`alafindujeu.
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EcritProbabilit´es
CapesdeMathe´matiques2008
A. Entre deux joueurs. On suppose ici quec= 2. 1.Exprimerles´ev´enement{T= 2k+ 1}et{T= 2k+ 2}en fonction des (Ei)i∈N. ∗ k k End´eduirequeP(T= 2k+ 1) =p1(q1q2) etP(T= 2k+ 2) =q1p2(q1q2) . 2.Calculerlesprobabilite´sP(G1) etP(G2) – on pourra remarquer queJ1(resp. J2) gagne si et seulement siTest un nombre impair (resp.pair). 3.Montrerquelejeusetermineavecprobabilite´1–c’est`adirequeP(T <+∞) = 1,puiscalculerl’esp´erancedeTen fonction dep1etp2(on pourra utiliser les r´esultatspr´eliminairessibesoin). 4.Donneruneconditionne´cessaireetsuffisantesurp1etp2pour queTsuive une loige´ome´trique.CetteconditionneseraPASsuppose´eve´rifie´edanslasuite. 5.Onditquelejeueste´quitablesiP(G1) =P(G2renucenoiditno´n).Donnirsaesece et suffisante surp1etp2elQ.tibatueuavejeuquel´equsoitruopE[T] dans ce cas ?
B. Entrecjoueurs. On suppose ici quec≥se2e.x´tfi 1. CalculerP(Gk) pourk∈ {1, . . . , c}reteenimeleusuej´eduireqecav.End probabilit´e1. 2.Onditquelejeueste´quitablesilaprobabilit´edegagnerestlameˆmepour chacundesjoueurs.Montrerquelejeuest´equitablesietseulementsipourtout k∈ {1, . . . , c−1} pk pk+1=. 1−pk 3.Onsupposequelejeueste´quitable.Calculerles(pk)2≤k≤cen fonction dep1et end´eduirequep1≤1/c. Indication.On pourra introduirerk= 1/pk. 4. OnnoteTojspse´uqsuja`’utlanomenedbrouece´taellaodnnioerlafinriablava dujeu.Onsupposeencorequelejeueste´quitable.CalculerE[T] en fonction dep1et dec.
C.Entreuneinfinit´edejoueurs. Onsupposemaintenantquesepre´senteunesuiteinfinie(Jk)k∈Nde joueurs jouant ∗ `atourderoˆle,chaquejoueurJkibab´tilnutnorpeyaaepk>0 de gagner. On note qk= 1−pkO.engagrueuojnu’quesd`teˆerr’auspeuLsenjeso.pleuq´rseuleststa desjoueurssontmutuellementind´ependants,etonnoteGk´ve´’lt”enemenuruejole Jkgagne”. ∗ 1.Montrerquelejeunepeutpasˆetre´equitable,etmontrerquepourtoutn∈N, P(Gn) =Qn−1−Qn,`olusa(teuiQn)n∈Nd´sterapeinfie
Q0= 1 et∀n≥1, Qn=qnQn−1.
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