ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

Description

ESSEC 2005, math II, option scientifiqueDans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont r´eelles et toutes d´efinies sur un espace probabilis´e(Ω,A,P). (X ) repr´esente une suite de variables al´eatoires et, pour tout n > 1, on noten n>1nXS = X . Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.n ii=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erancem.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nL’objet du probl`eme est de pr´eciser de mani`ere quantitative les r´esultats ci-dessus.Partie I : Un premier exemple. Le cas gaussienDans cette partie, (X ) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes unen n>1loi normale centr´ee r´eduite,N(0,1).Sn1) Quelle est la loi de ?n2) Soit δ un r´eel strictement positif. Dans cette partie, on note exp la fonction exponentielle.a) Montrer quer Z +∞ 2 S S 2n ntn n P >δ = 2P >δ = exp − dt n n π 2δb)En posant u =n(t−δ), montrer quer Z +∞2 2 S 2 nδ un P >δ = ×exp − exp − −uδ du n nπ 2 2n03)a)Montrer que pour tout x> 0, on a 06 1−exp(−x)6x.Z +∞b)Montrer que l’int´egrale exp(−uδ)du converge et la calculer.0c) D´eterminerZ Z +∞ +∞ 2 ulim exp(−uδ)du− exp − −uδ dun→+∞ 2n0 ...

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Extrait

ESSEC 2005, math II, option scientifique

Dansceprobl`eme,lesvariablesal´eatoiressontr´eellesettoutesd´efiniessurunespaceprobabilise´ (Ω,A, P). (X n ) n>1 errpnesuited´esenteulasetae´ravelbaiurpouttoreoit,sen>1, on note n X S n =X i . SiXeriotae´laelbairnevaestue,lleer´E(X.eensedi´gne)so´espncra i=1 Pre´liminaires 1)Soit (X n etedavirbaelas´l)unesuilemeˆmedtemda,ioesirtoeaeslleer´euneetantrancsp´em. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(X n ). 2)Soitδunretifitosptnemetcirtslee´Aun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]m−δ, m+δ[ soitinclusdanslecomple´mentairedeArenirmte´e.D   S n limP∈A n n→+∞ L’objetduprobl`emeestdepre´ciserdemanie`requantitativelesre´sultatsci-dessus. Partie I :Un premier exemple. Le cas gaussien Dans cette partie, (X n ) n>1 teouttannesuriotniseaselae´lesntivsuepd´daenetsdevariabunesuite loinormalecentre´ere´duite,N(0,1). S n 1)Quelle est la loi de? n 2)Soitδe.llietnenopxenoitcnoftreio,nntoeepxalitif.Danscettepatsletcirnemesoptu´enr a)Montrer que r   Z   +∞ 2   S n S n 2n nt P>δ= 2P>δ= exp−dt   n nπ2 δ b)En posantu=n(t−δ), montrer que r   Z 2 +∞ 2    S n 2nδ u P>δ=×exp−exp− −uδdu  n nπ2 2n 0 3)a)Montrer que pour toutx>00, on a61−exp(−x)6x. Z +∞ b)Mop(exlera´tge’lniqreutner−uδ) duconverge et la calculer. 0 c)inerDe´etmr Z Z  +∞+∞ 2    u lim exp(−uδ) du−exp− −uδdu n→+∞ 2n 0 0   S n d)e´udEdnolsrri,equene´nu,infinelaviuqtendetdl’inversP>δ.  n PartieII:Quelquesre´sultatsg´en´eraux ` Al’instardesvariablesale´atoiresdiscre`tes,onadmettraquesiX,Ysont deux variables ale´atoires`adensit´e,inde´pendantes,admettantuneespe´rance,alorsXYadmete´pseenuecnar etE(XY) =E(X)E(Y). sX SoitXoire´eatlle(r´eeenavuellairbaadeneou`r`etdiscuotuotr)eP.is´ts∈Radmettelle que e sX uneespe´ranceEon pose(e ), sX ϕ(s) =E(e ) Soit (X n ) n>1 deterivaunuiesotaeserielba´laseuqiolempeneni´dseusadtnttouivanamˆeteslX. S   n n s 1)Montrer que pour toutn>1, pour touts∈Rtel queϕ(s) existe, on aE(e )=ϕ(s/n) . n sY 2)SoitYteellee´rreoiat´ealulevaabnreis >0 tel queE(e )existe.