Mathématiques 2 2004 Classe Prepa PC Concours Centrale-Supélec

MATHÉMATIQUES II Filière PC
MATHÉMATIQUES II
2Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien IR muni de son pro-
duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique ()O ; i, j de son
orientation canonique et de son repère polaire canonique.
On appellera conique toute partie C (vide ou non) de P ayant une équation de
la forme
2 2
{}M ∈ C ⇔{}AX++BXY CY+DX+EY+F =0()XY,
Aoù ABCDEF, , , , , sont six réels, avec en outre , B , C non tous nuls.
6 AÀ tout (, , , , , ), élément de IR tel que , BC, non tous nuls cor-
respond ainsi une conique C , que l’on pourra noter C .()AB,,CDEF,,,
Le but du problème est notamment l’étude de l’ensemble des points communs à
certains ensembles de coniques.
Partie I - Préliminaires
I.1) Montrer que les fonctions θ a cos2 θ ; θ a sin2 θ ; θθa cos ;θθa sin ;
θ a 1 de IR vers IR forment une famille libre dans l’espace des fonctions numé-
riques définies sur IR .
I.2) Soit un cercle quelconque du plan P , que l’on supposera de rayon ρ > 0 .
Montrer que si le cercle est inclus dans la conique C , alors AC=()AB,,CDEF,,,
et B = 0 . Réciproquement, que peut-on dire d’une conique C ?A,,0 ADEF,,,
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Filière PC
Partie II -
On note P ′ = P\{}Oy le plan PM privé de l’axe des ordonnées. On note un0
point de coordonnées ()X , Y appartenant à P ′ .0 0
Soit E l’ensemble des coniques C satisfaisant aux quatre1 ()AB,,CDEF,,,
conditions :
⎧ ⎧E = 0M ∈ C0⎨ ⎨
F = 0⎩ ⎩AC=
II.A -
II.A.1) Montrer que le seul élément, noté ()C , de E qui soit un cercle a pour1 1
2 2 2 2équation .x()X + Y –()x + y X = 00 0 0
Montrer que C est tangent à l’axe Oy et indiquer une construction géomé-1
trique de son centre.
II.A.2) Montrer qu’il existe un seul élément, noté ()C , de E qui ait une2 1
équation de la forme BXY+0CX = . En indiquer une caractérisation géométri-
que.
II.A.3) Déterminer ()C ∩()C . En discuter le nombre d’éléments. En1 2
déduire l’ensemble des points communs à tous les éléments de E .1
II.B - On appelle ϕ l’application de P ′ dans PM qui, au point de coordonnées
polaires ()ρθ, , tel que ρ ≠ 0 et que pour tout entier relatif k, θ ≠()2k + 1 π ⁄ 2,
π⎛⎞associe M ′ de coordonnées polaires ρθtan , – θ .---⎝⎠2
II.B.1) Montrer que cette définition de ϕ()M est cohérente, c’est-à-dire qu’elle
ne dépend pas du choix de ()ρθ, parmi les coordonnées polaires possibles du
point M . Montrer que ϕ()M appartient à toutes les coniques de E . En déduire10
une construction géométrique de ϕ()M à l’aide d’un cercle et d’une droite.0
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II.B.2) Pour MP∈ ′ , quand a-t-on ϕ()M ∈ P ′ ? Que dire alors de ϕϕo ()M ?
II.B.3) On appelle γ la courbe d’équation polaire
π π
θ ∈ ] – ; [ a ρ = 2asin θ , où a > 0 est donné.--- ---
2 2
Reconnaître γ ; déterminer une représentation polaire de la courbe γ' = ϕγ() ;
étudier et tracer cette courbe, avec justifications.
II.C - Dans cette question, M()x , y est un point de P ′ tel que x ≠ y et on lui0 0 0 0 0
associe M′ϕ= ()M comme ci-dessus.0 0
II.C.1)
a) Montrer que, quel que soit le couple λ, µ de réels non tous nuls, il existe un
unique réel ν, que l’on calculera, tel que la conique ()C d’équationλ, µ
2 2
λ()X + Y++2µXY νX =0 appartienne à E .1
b) Lorsque λ ≠ µ , montrer que ()C a un centre Ω dont on détermineraλ, µ λ, µ
les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d’effectuer une translation arbi-
traire de l’origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine devienne
centre de symétrie de la conique ()C .]λ, µ
II.C.2) Le point M restant fixé, montrer que tous les points Ω (où λ ≠ µ )0 λ, µ
appartiennent à la conique Γ d’équation
2 2
x + y2 2 0 0X–0Y – X + y Y = .------------------ 02x0
En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes.
II.C.3) Déterminer les intersections de Γ avec les droites Ox , Oy , OM , OM ′0 0
et M M ′ . On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de0 0
Γ joue un rôle particulier que l’on mettra en évidence.
II.C.4) Faire une figure d’ensemble.
II.C.5) Étudier et représenter ()C et ()C . On réalisera la figure en pre-11, 11, –
nant x = 2 , y = 1 . Que remarque-t-on quant à leurs axes ?0 0
On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens
2
canoniques IRet CI. On désignera par i le complexe de module 1 et d’argument π ⁄ 2 .
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Partie III -
On admet que le déterminant de Vandermonde
2 3
1 z z z1 1 1
2 3
1 z z z2 2 2Vz(),,,z z z =1 2 3 4
2 3
1 z z z3 3 3
2 3
1 z z z4 4 4
en les complexes z , z , z , z est nul si, et seulement si, deux au moins des z1 2 3 4 i
sont égaux.
Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la pre-
mière, mais par une méthode sensiblement différente.
2III.A - On s’intéresse à l’ensemble E des parties de IR ayant une équation de2
2 2la forme Azz+B()z + z +++Cz Cz D =0 où les réels ABD, , et le complexe C
ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points M , M , M non1 2 3
alignés donnés, d’affixes respectifs , z ,z .z1 2 3
III.A.1) Vérifier que les éléments E sont bien des coniques et donner une pro-2
priété commune de leurs axes.
III.A.2) Pour z donné dans CI , on définit les matrices4
⎛⎞2 2
⎜⎟z z z + z z z 11 1 1 1 1 1 ⎛⎞z z 12 2 1 1 ⎜⎟z z z + z z z 12 2 2 2 2 2˜ M = et M = z z 12 2 2 2z z z + z z z 13 3 3 3 3 3 z z 1 ⎝⎠3 3
2 2
z z z + z z z 1⎝⎠4 4 4 4 4 4
˜a) Établir que la matrice M est inversible. Quelle conclusion peut-on en tirer
quant au rang de M ?
b) On définit le IR -espace vectoriel E = IR × IR ×CII ×R . En donner la dimension.
Montrer que
⎧⎫22
SA=(),,BC,D∈Ei, ∀ ∈{}123,, , Az z+Bz()+ z +++Cz Cz D = 0⎨⎬i i i i i i
⎩⎭
est un sous-espace vectoriel de E et en donner la dimension.
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c) Montrer que le point M d’affixe z appartient à toutes les coniques éléments4 4
de E si, et seulement si, le rang de M est égal à 3 . [Pour la condition néces-2
saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.]
III.B - On suppose dans cette question que les complexes z , z , z sont égaux1 2 3
respectivement à aexp()i θ , aexp()i θ et aexp()i θ , où a > 0 et θ , θ , θ sont des1 2 3 1 2 3
réels.
III.B.1) Montrer qu’il existe un unique cercle dans E et que si le point M2 4
d’affixe z appartient à toutes les coniques éléments de E , alors z est de la24 4
forme .aexp()i θ4
III.B.2) Soit le déterminant
2 4 4 3
z z + a z z1 1 1 1
2 4 4 3
z z + a z z2 2 2 2 D =
2 4 4 3
z z + a z z3 3 3 3
2 4 4 3
z z + a z z4 4 4 4
4Montrer que D est de la forme ()z z z z – a V , où V s’exprime très sim-1 2 3 4
plement à l’aide de Vz,,,z z z .1 2 3 4
III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente à la nul-
lité de D .
III.B.4)
a) En déduire l’ensemble des points communs aux coniques de E . Discuter2
soigneusement le nombre d’éléments de cet ensemble.
b) Lorsque ce nombre est égal à 4 , que peut-on dire des directions des bissectri-
ces du couple de droites ()M M , M M ?1 2 3 4
III.C -
III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l’on ne fait plus l’hypo-
thèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.]
III.C.2) Soit trois points ABC, , non alignés dans P et ()∆ une droite. Par A ,
resp ⋅ B , resp ⋅ C , on mène la parallèle à la symétrique de la droite BC , resp ⋅ CA ,
resp ⋅ AB, par rapport à ()∆ . Montrer que ces trois droites concourent. [On
pourra commencer par le cas où ()∆ est l’axe Ox ; dans ce cas, il suffit d’utiliser
les résultats de la partie III.]
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Partie IV -
On considère dans cette partie des équations de la forme
22
Az++Az Bz+Bz + C =0 (1)
où A ≠ 0 et BC sont deux complexes et un réel.
IV.A -
IV.A.1) Soit θ un réel et Φ l’application de CI dans CI qui à zz associe exp()i θ .
Montrer que, si ()Γ ⊂ P a une équation de la forme (1), alors on peut choisir θ
pour que ΦΓ() ait une équation de la forme
2A ′ 2
------()z + z ++B ′zB ′z + C ′ =0
2
∗+où l’on ait de plus A ′ ∈ IR .
IV.A.2) En déduire la nature