Mathématiques I 1999 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 1999
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 289
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

ExerciceI:Unproble`medeplacement. On se propose de comparer les deux placements suivants: –placerautauxd’int´erˆetrune somme 2Spendantt.seen´an –placerautauxd’int´erˆet2r. une somme 2Spendanttnnaes´e. 1.Expressionsdessommesobtenues`al’issuedetanne´seedlpca.tneme (a)Onplaceunesommede25francsautauxd’int´erˆetrneanantupendt-e-ondimeossplleumoseee´nqeD. `al’issuedel’anne´edeplacement? (b)D´eterminerlasommeS 1 (ttbneeuneo)taaud’uxa¸plntcat´tnieˆrerune somme de 25 francs durantt anne´es. (c) Onplace une somme deS´treeˆ2tni’dxuatuascnarfrpneadtnuneann´ee.Dequeloseldemmopsit-esn-o `al’issuedel’anne´edeplacement? (d)D´eterminerlasommeS 2 (trˆ´e2etxdaunt’ietbo)lanpeenuuttaan¸crune somme deSfrancs durantt ann´ees. (e)De´terminerenfonctionderomenllee´rerbtpinfie´delit´´egaarl’S 1 (t) =S 2 (t). 2.Etudedutempsd’e´galisationdessommesobtenuesenfonctionder. Onposepourtoutnombrere´elstrictementpositifr: ln 2 T(r) = ln (1 + 2r)−ln (1 +r) (a)D´eterminerlad´eriv´eeetlesensdevariationsur]0;+∞[ de la fonctionr→−7ln (1 + 2r)−ln (1 +r).

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(b)End´eduirelesensdevariationdeT(r) lorsquer+e0`adtıˆorc∞. (c)De´terminerleslimitesdeT(r) lorsquertend vers 0 et +∞tnedqeiuavel,en´tuT(r) lorsquertend vers 0.

ExerciceII:Probabilite´s. On rappelle que, six:rst´ndesreiresa,ole01tirc´teeemlbsrtercuonmnpomiegnnte +∞ X 1 n−1 nx= 2 (1−x) n=1 Uneexpe´rienceal´eatoireconsistea`lancerdeuxd´es´equilibre´ssimultane´ment,etl’onre´pe`teind´efinimentcette expe´rience. 1. Etudedu temps d’attente pour obtenir un double six. On noteT’onoo`ulntpobtierpmeruale`ireoderm´nu´exp’eellaecneireriotae´uaiqlentirtondeiaelbae´lvalaira foisundoublesix(c’esta`direou`lesdeuxd´esdonnentsimultan´ementunsix). (a)Quelleestlaprobabilit´eP(Tuolbu’dnruuq)1opnu`aobtesoitesixeeree´pxrpal`ime=enri?ce i`eme (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nourquecesoit`al)apnqeeup,uo´preeicnex,re`eisfoaprlmire lesdeuxde´same`nentsimultan´ementunsix(n>1) ? (c)De´terminerlasommedelase´riedetermege´n´eralpourP(T=n) pourn>1. (d)De´terminerl’espe´ranceE(Tre)ladebaelavirtaiolae´T. 2.Etudedutempsd’attentepourqu’aumoinsund´eaitamene´unsix. 0 On noteTat´ealceenri´expeitbono’lu`oerioi`erpremurlantpoeairaaelbvaleindiqual´eatoirredolee’tnelun´m foisunsix(c’esta`direo`ul’undesdeuxde´saumoinsdonneunsix). (a)Quelleestlaprobabilite´pourqu’aucunsixnesoitobtenua`lapremi`ereexp´erience,etquevaut 0 P(T?= 1) 0ie`me (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T=nala`tioseceurqou)pnisfo,erime`erp,uolrpaiencequeexp´er l’undesde´same`neunsix? 0 (c)De´terminerlasommedelas´eriedetermege´ne´ralP(T=n) pourn>1. 0 0 (d)D´eterminer(sousformedefractionirre´ductible)l’espe´ranceE(Tirtoeal´e)adblaivaealreT.

3.Etudedutempsd’attentepourquechacundesde´saitamen´eunsix. 00 On noteTireindiqeal´eato´mredoleautnelunravalbail`irerpme,sfeioire´pxe’e´laecneo`reoiatlaurpou, chacundesd´esaamene´aumoinsunsix(sionrepr´esenteparuncouple(x,ytnels)elr´esultatindiqua nume´rosxetyreimelteoces´ddn,eesiltsr´esulesamen´esparlepreerdredesatstirnepxe´ont,cesscetodans 00 (1,4), (6,5), (6,2), (2,4), (3,6), etc, alorsTmemol`ntst’ece`apalrimereuqauop,pr`ereue5raccrneldvala fois,chacunde´sde´saamene´aumoinsunsix).

(a)Quelleestlaprobabilite´pourqu’und´en’am`eneaucunsixaucoursdesesnpremiers jets? Pour qu’un de´ame`neaumoinsunsixaucoursdesesnpremiers jets? 00 (b)Quelleestlaprobabilit´eP(T6nniussnxinee´uaom´esaitamcund´esduqruahceop)essdurcoau npremiers jets (n>1) ? 00i`eme (c)Quelleestlaprobabilit´eP(T=neuepc)uoqra`alostinexiencp´eruop,euqeimerpalrisfore`e, chacundesd´esaitamen´eaumoinsunsix(n>1) ? 00 (d)De´terminerlasommedelas´eriedeterneg´ene´ralP(T=n) pourn>1 . 00 00 (e)D´eterminer(sousformedefractionirr´eductible)l’esp´erance-E(Tiaareabl)daveleae´lriotT.

0 00 4.Comparerlestroisesp´erancesE(T),E(T), etE(T).

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