Polytechnique X 2004 premiere composition de mathematiques classe prepa pc

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2004 FILIÈREPCCOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.PolynômesunitairesdenormeminimalePour tout entier d 0, on désigne par E l’espace vectoriel complexe des polynômesdà coefficients complexes de degré d et par U le sous-ensemble des polynômes unitairesddedegré d.Premièrepartie∗Soit n∈ N etsoient x ,...,x desnombrescomplexesdistincts.Onconsidèrelepolynôme1 nP(X)= (X− x ) ,k1knetl’ondésignepar P lepolynômedérivéde P.1.Pourtoutentier j, 1 j n,onposeP(X)P (X)= ·j(X− x )P (x )j ja)Montrerquecetteexpressiondéfinitunpolynôme P dedegré n− 1.jb)Calculer P (x ),pour1 k n,etmontrerque,pourtoutpolynôme F,lepolynômej knL = F(x )P prendlamêmevaleurque Fentouslespoints x ,...,x.F j j 1 nj=1nc)Montrerque P =1.jj=1d)Lespolynômes P, 1 j n,forment-ilsunebasede E ?j n−11n−1i2.Pour 1 j n,onposeP (X)= b X,oùb ∈ C.SoientV et Blesmatricesj i,j i,ji=0e ecomplexes n× ndontlesélémentsàla i ligne(1 i n)etàlaj colonne(1 j n)sontj−1(x ) et b ,respectivement.Montrerque V estinversible,etque V et Bsontinversesl’unei i−1,jdel’autre.n j1 (x )k3.a)Montrerque b = .Déterminerlavaleurde pour 0 j n− 1.n−1,j P (x ) P (x )j kk=1n n−1 (X− x )kb)Endéduireque estunpolynômeconstantquel’oncalculera.P (x )kk=1∗Danstoutelasuiteduproblème, d ∈ N estunentierfixé,et ...

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2004

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entierd0, on désigne parE d l’espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degrédet parU d le sous-ensemble des polynômes unitaires de degréd.

Première partie

∗ Soitn∈Net soientx 1 , x, . . . n des nombres complexes distincts. On considère le polynôme  P(X) =(X−x k ), 1kn

 et l’on désigne parPle polynôme dérivé deP.

1.Pour tout entierj,1jn, on pose P(X) P j (X) =∙  (X−x j )P(x j ) a)Montrer que cette expression définit un polynômeP j de degrén−1.

b)CalculerP j (x k ), pour1kn, et montrer que, pour tout polynômeF, le polynôme n  L F =F(x j )P j prend la même valeur queFen tous les pointsx 1 , x, . . . n . j=1

n  c)Montrer queP j = 1. j=1

d)Les polynômesP j ,1jn, forment-ils une base deE n−1 ?

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