Annales Spécialité Maths Bac S 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

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Annales Spécialité Maths Bac S 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

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BaccalauréatS 1. AmériqueduNordjuin2005 Lafigurejointeenannexeseracomplétéeaucoursdel’exerciceetremise aveclacopie.Onylaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
Dansleplanorienté,ondonneletriangleABCtelqueAB=2,AC=1+ 5 et
 π −→ −→ AB, AC = . 2 1. a. Démonstrationdecours :démontrerqu’ilexisteuneseulesi- militudedirecteStransformantBenAetAenC. b. Déterminerlerapportetunemesuredel’angledeS. 2. OnappelleΩlecentredeS.MontrerqueΩappartientaucerclede diamètre[AB]etàladroite(BC).ConstruirelepointΩ. 3. OnnoteDl’imagedupointCparlasimilitudeS. a. Démontrer l’alignementdes pointsA,ΩetDainsiquelepa- rallélismedesdroites(CD)et(AB).ConstruirelepointD.
b. MontrerqueCD =3+ 5. 4. SoitEleprojetéorthogonaldupointBsurladroite(CD). a. Expliquerlaconstructiondel’imageFdupointEparS etpla- cerFsurlafigure. b. QuelleestlanatureduquadrilatèreBFDE? Annexe:exercicedespécialité 5 4 C 3 2 1 0 AB -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Exercicesdespécialité 4BaccalauréatS 2. Antilles–Guyanejuin2005 1. a. Déterminersuivantlesvaleursdel’entiernaturelnonnuln le nrestedansladivisioneuclidiennepar9de7 . 2005b. Démontreralorsque(2005) ≡7(9). n2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nuln : (10) ≡ 1(9). b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on ap- pelleS lasommedeseschiffres. Démontrerlarelationsuivante:N ≡S (9). c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisiblepar9. 20053. Onsupposeque A=(2005) ;ondésignepar: – B lasommedeschiffresde A; – C ladeschiffresdeB ; – D lasommedeschiffresdeC. a. Démontrerlarelationsuivante: A≡D (9). b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en nu- mérationdécimaleavecauplus8020chiffres.Endéduireque B
72180. c. DémontrerqueC
45. d. En étudiantla listedes entiersinférieursà 45,déterminerun majorantdeD pluspetitque15. e. DémontrerqueD =7. Exercicesdespécialité 5BaccalauréatS 3. Asiejuin2005 Lebutdecetexerciceestd’étudierlessimilitudesdirectesquitransforment l’ensemble S des sommets d’un carréC donné en l’ensemble S des1 1 2 sommetsd’uncarréC donné.2
 →− →− LeplancomplexeestrapporteàunrepèreorthonormaldirectR= O, u , v , unitégraphiique2cm. OnconsidèrelespointsA,B,C,D,E,F,G,Hd’affixesrespectives i i i i − ,1− ,1+ , ,1−i, 3−i, 3+i, 1+i. 2 2 2 2 C estlecarrédesommetsA,B,C,DetdecentreO,C est le carré de1 1 2 sommetE,FG,HdecentreO.S est donc l’ensemble{A, B, C, D} et S2 1 2 l’ensemble{E,F,G,H}. 1. Placer tous les points dans le repèreR, construireles carrésC et1 C .2 2. Soith l’homothétiedecentreΩd’affixe−1etderapport2.Donner l’écriturecomplexedeh etprouverqueh transformeS enS .1 2 3. Soit s une similitude directe qui transforme S en S et soit g la1 2 −1transformation g =h ◦s. a. Quelestlerapportdelasimilitudes? b. Prouverqueg estuneisométriequilaisseS globalementin-1 variant. c. Démontrerqueg(O )=O .1 1 d. Endéduirequeg estl’unedestransformationssuivantes:l’iden- π tité, la rotationr de centre O et d’angle ,larotationr de1 1 2 2 centre O et d’angleπ,larotationr de centre O et d’angle1 3 1 π − . 2 e. EndéduirelesquatresimilitudesdirectesquitransformentS1 enS .2 4. Étudedescentresdecessimilitudes. a. Déterminerlesécriturescomplexesdeh◦r , h◦r , h◦r .1 2 3 b. EndéduirelescentresΩ ,Ω ,Ω decessimilitudesetlespla-1 2 3 cersurledessin. Exercicesdespécialité 6BaccalauréatS 4. Centresétrangersjuin2005 PartieA SoitN unentiernaturel,impairnonpremier. 2 2OnsupposequeN =a −b oùa etb sontdeuxentiersnaturels. 1. Montrerque a etb n’ontpaslamêmeparité. 2. Montrer que N peuts’écrirecommeproduitdedeuxentiersnatu- relsp etq. 3. Quelleestlaparitédep etdeq? PartieB Onadmetque250507n’estpaspremier. Onseproposedechercherdescouplesd’entiersnaturels(a ; b)vérifiant larelation 2 2(E) : a −250507=b . 1. SoitX unentiernaturel. a. Donnerdansuntableau,lesrestespossiblesde X modulo9; 2puisceuxdeX modulo9. 2 2b. Sachantque a −250507=b ,déterminerlesrestespossibles 2modulo9dea −250507;endéduirelesrestespossiblesmo- 2dule9dea . c. Montrerquelesrestespossiblesmodulo9dea sont1et8. 2. Justifierquesilecouple(a ; b)vérifielarelation(E),alorsa501. Montrerqu’iln’existepasdesolutiondutype(501; b). 3. Onsupposequelecouple(a ; b)vérifielarelation(E). a. Démontrerquea estcongruà503ouà505modulo9. b. Déterminerlepluspetitentiernaturelktelquelecouple(505+ 9k ; b)soitsolutionde(E),puisdonnerlecouplesolutioncor- respondant. PartieC 1. Déduiredespartiesprécédentesuneécriturede250507enunpro- duitdeuxfacteurs. 2. Lesdeuxfacteurssont-ilspremiersentreeux? 3. Cetteécritureest-elleunique? Exercicesdespécialité 7BaccalauréatS 5. Francejuin2005 Lebutdel’exerciceestd’étudierquelquespropriétésdelafiguredonnée enannexe.Cetteannexeseraàrendreaveclacopie.
 →− →− Onmunitlepland’unrepèreorthonormaldirect O, u , v .Lequadrila- tèreMNPQestunquadrilatèrenoncroiséetdesensdirect.Lestriangles MRN,NSP,PTQetQUMsontdestrianglesrectanglesisocèles,extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étantrespectivementlespointsR,S,TetU). PartieA Ondésigneparm, n, p et q,lesaffixes respectivesdespointsM,N, P et Q. 1. Soit f lasimilitudedirectedecentreMquitransformeNenR. a. Déterminerlerapportetl’angledelasimilitude f. 1+i b. Ondésigneparr l’affixedupointR.Démontrerquer = m+ 2 1−i n, oùi désignelenombrecomplexede module1et d’ar- 2 π gument (on pourra éventuellement utiliser l’écriture com- 2 plexedelasimilitude f). 1+i On admettra que l’on a également les résultats s = n+ 2 1−i 1+i 1−i 1+i 1−i p, t = p+ q etu = q+ m,oùs, tetu dé- 2 2 2 2 2 signentlesaffixesrespectivesdespointsS,TetU. 2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le mêmeisobarycentre. 3. a. Démontrerl’égalitéu−s=i(t−r). b. Quepeut-onendéduirepourleslongueursdessegments[RT] et [SU], d’une part, et pour les droites (RT) et (SU), d’autre part? PartieB Cettepartieseratraitéesansutilisationdesnombrescomplexes. 1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A,qu’il existeuneuniquerotationg quitransformeRenSetTenU. 2. Décrire comment construire géométriquement le pointΩ,centre delarotationg.Réalisercetteconstructionsurlafiguredel’annexe. Exercicesdespécialité 8BaccalauréatS 6. LaRéunionjuin2005 Danscetexercice,onpourrautiliserlerésultatsuivant: « Étant donnésdeux entiersnaturelsa etb nonnuls,si PGCD(a ; b)=1 2 2alorsPGCD(a ; b )=1». n  3Unesuite S estdéfiniepourn>0parS = p .Onseproposedecal-( )n n p=1 culer,pourtoutentiernaturelnonnuln,leplusgrandcommundiviseur deS etS .n n+1  2 n(n+1) = .1. Démontrerque,pourtoutn>0,ona:Sn 2 2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n=2k.   2 2 2a. DémontrerquePGCD(S ;S )=(2k+1) PGCD k ;(k+1) .2k 2k+1 b. CalculerPGCD(k ; k+1). c. CalculerPGCD(S ;S ).2k 2k+1 3. Étudeducas oùn estimpair.Soitk l’entiernaturelnonnultelque n=2k+1. a. Démontrerquelesentiers2k+1et2k+3sontpremiersentre eux. b. CalculerPGCD(S ;S ).2k+1 2k+2 4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur den,quel’ondéterminera,pourlaquelleS etS sontpremiersn n+1 entreeux. Exercicesdespécialité 9BaccalauréatS 7. Libanjuin2005 1. Onconsidèrel’équation(E): 109x−226y =1 oùx et y sontdesentiersrelatifs. a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pourl’équation(E)? b. Montrerquel’ensembledesolutionsde(E)estl’ensembledes couplesdelaforme(141+226k,68+109k),oùk appartientà Z. Endéduirequ’ilexisteununiqueentiernaturelnonnuld in- férieurouégalà226etununiqueentiernaturelnonnule tels que109d =1+226e.(Onpréciseralesvaleursdesentiersd et e.) 2. Démontrerque227estunnombrepremier. 3. OnnoteAl’ensembledes227entiersnaturelsa telsquea
226. On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manièresuivante: àtoutentierdeA,f associe le reste de la division euclidienne de 109a par227. àtoutentierdeA,g associe le reste de la division euclidienne de 141a par227. a. Vérifierqueg[f(0)]=0. On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fer- mat: Si p estunnombrepremiereta unentiernondivisiblepar p−1p alorsa ≡1 modulop. 226b. Montrerque,quelquesoitl’entiernonnuladeA,a ≡1 [modulo227]. c. Enutilisant1.b.,endéduireque,quelquesoitl’entiernonnul a deA.g[f(a)]=a. Quepeut-ondirede f[(g(a)]=a? Exercicesdespécialité 10BaccalauréatS 8. Polynésiejuin2005 Onconsidèrelasuite(u )d’entiersnaturelsdéfinieparn  u = 140 u = 5u −6 pourtoutentiernaturelnn+1 n 1. Calculeru , u , u etu .1 2 3 4 Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffresdeu ?n 2. Montrerque,pourtoutentiernatureln, u ≡u (modulo4).n+2 n Endéduirequepourtoutentiernaturelk, u ≡2(modulo4)et2k u ≡0(modulo4).2k+1 a. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln, n+22u =5 +3.n b. Endéduireque,pourtoutentiernatureln,2u ≡28 (modulo100).n 3. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écrituredécimale de un suivantlesvaleursden. 4. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (u )n estconstant.Précisersavaleur. Exercicesdespécialité 11BaccalauréatS 9. Pondichéryjuin2005
 →− →− Leplancomplexeestrapportéaunrepèreorthonormaldirect O, u , v . Onconsidère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre  d’affixez telque:lepointM 3+4i 1−2i z = z+ . 5 5  1. Onnotex et x , y et y lespartiesréelleset les partiesimaginaires dez etz .  3x+4y+1    x = 5Démontrerque:  4x−3y−2    y = 5 2. a. Déterminerl’ensembledespointsinvariantspar f. b. Quelleestlanaturedel’application f ? 3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z soit réel. 4. OnchercheàdéterminerlespointsdeDdontlescoordonnéessont entières. 2a. Donnerunesolutionparticulière(x , y )appartenantaZ de0 0 l’équation4x−3y =2. 2b. Determinerl’ensembledessolutionsappartenantàZ del’équa- tion4x−3y =2. 5. OnconsidèrelespointsM d’affixe z =x+iy telsquex =1ety ∈Z.  LepointM = f(M)apouraffixez .  Déterminerlesentiers y telsqueRe(z)etlm(z)soiententiers(on pourrautiliserlescongruencesmodulo5). Exercicesdespécialité 12BaccalauréatS 10. Nouvelle–Calédonienovembre2004 Danscetexercice,a etb désignentdesentiersstrictementpositifs. 1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1alorslesnombresa etb sont