Bac 2018 : corrigé de l'épreuve de mathématiques en S (spécialité)

Description

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité Exercice 1 1. 1 −La largeur est 2 et la hauteur = ( + − 2). 2 Le problème est donc équivalent à : 1 −2 = ( + − 2) 2 −4 = + − 2 −+ − 4 − 2 = 0 2. a. − −( ) = − 4 + − 2 = ( − 4) + − 2 b. lim = +∞ lim ( − 4) = +∞ →+∞ →+∞ −lim = 0 →+∞ lim ( ) = +∞ →+∞ 3. a. ′ −( ) = − − 4 b. −− − 4 = 0 Comme > 0, équivalent à : −( − − 4) = 0 2( ) − 4 − 1 = 0 c. 2 − 4 − 1 = 0 1/6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité 4 ± √20 Δ = 20 = = 2 ± √5 2 Comme = > 0 et 2 − √5 . +1 3. Les couples sont donc tous distincts et l’équation admet une infinité de solutions. Partie B 1. 8 et 9 2. 2Un diviseur premier de divise soit soit . On a donc qui divise . 3. 2 2 2 2Un diviseur premier de est un diviseur de . On a donc qui divise et est puissant. 2 2 2 3− 1 = 8 = 2 2D’après la question précédente, − 1 est aussi puissant. 4. 2 2Tous les couples ( − 1; ) sont des couples d’entiers naturels consécutifs puissants et il y en a une infinité. 3 1 993( ) = ( ) = ( ) 3 0 35 2 2Donc 99 − 1 = 9800 et 99 = 9801 sont puissants.

Informations

• Publié par: jeanmarcdj
• Publié le: 22 juin 2018
• Nombre de lectures: 16 387
• Langue: Français

Extrait

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Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en
enseignement de spécialité
Exercice 1
1.
1 −La largeur est 2 et la hauteur = ( + − 2).
2
Le problème est donc équivalent à :
1
−2 = ( + − 2)
2
−4 = + − 2
−+ − 4 − 2 = 0
2.
a.
− −( ) = − 4 + − 2 = ( − 4) + − 2
b.
lim = +∞ lim ( − 4) = +∞
→+∞ →+∞
−lim = 0
→+∞
lim ( ) = +∞
→+∞
3.
a.
′ −( ) = − − 4
b.
−− − 4 = 0
Comme > 0, équivalent à :
−( − − 4) = 0
2( ) − 4 − 1 = 0
c.
2 − 4 − 1 = 0
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Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité
4 ± √20 Δ = 20 = = 2 ± √5
2
Comme = > 0 et 2 − √5 < 0, la seule solution est :
√= = 2 + 5
= ln(2 + √5)
4.
a.
0 √ +∞ ln(2 + 5)
′( ) 0 − +
0 +∞
( ) ↘ ↗
≅ −3,3

b.
( )D’après le tableau, < 0 sur ]0;ln(2 + √5)]. Donc pas de solution sur
cet intervalle.
Sur ]ln(2 + 5);+∞[, fonction continue et strictement croissante, 0 ∈√
( )] (ln(2 + √5)); lim [, donc, d’après le corollaire du TVI, l’équation
→+∞
admet une unique solution.
5.
a.
−
2 3 1
2,5 2 2,5 0,5
2,25 2,25 2,5 0,25
2,375 2,375 2,5 0,125
2,4375 2,4375 2,5 0,0625

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Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité
A la fin de l’exécution, elles contiennent respectivement les valeurs
2,4375 et 2,5.
b.
Ces valeurs forment un encadrement de .
6.
= = 39 2 = 78
39
La hauteur est comprise entre 78 × 2,4375 = 190,125 m et 78 × 2,5 = 195 m.
Remarque : 192 m d’après Wikipédia.
Exercice 2
Partie A
1.
a.
( ) = 0,2
b.

2.
( ∩ ) = 0,4 × 0,08 = 0,032
3.
( ) = 0,2 = 0,032+ 0,6 × ( ) ̅
0,2 − 0,032
( ) = = 0,28 ̅
0,6
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Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité
Partie B
1.
Loi binomiale de paramètres et = 0,4.
2.
a.
D’après la calculatrice : ( = 15) ≅ 0,123.
b.
( ) ( )≥ 20 = 1 − ≤ 19 ≅ 0,130
3.
5 5
( ) ( )1450 ≤ ≤ 1550 = −50 ≤ − 1500 ≤ 50 = (− ≤ ≤ )
3 3
D’après la calculatrice : ≅ 0,904.
Remarque : 0,908 avec un calcul direct.
Exercice 3
Partie A
1.
a.
( ) ( )La hauteur issue de est et celle issue de est �� .
b.
( ) ( )Non, puisque et �� ne le sont pas.
2.
a.
(0;0;0) (1;1;0) (0;1;1)
Les coordonnées des trois points sont bien solutions de l’équation
proposée.
b.
Le vecteur de coordonnées (1;−1;1) est donc normal à ( ).
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )0;1;0 1;0;1 1;−1;1
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��
��
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��
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���
��
��
��
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��
Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité
( ) ( ) est donc orthogonale à et est ainsi la hauteur issue de .
c.
( ) ( ) ( ), �� et �� .
Les quatre hauteurs sont concourantes puisque ce sont les grandes
diagonales du cube.
Partie B
1.
a.
( ) orthogonale à toutes les droites de ( ), en particulier ( ).
b.
( ) ( ) orthogonale à deux droites non parallèles de , donc
orthogonale à ce plan.
2.
( ) ( ) ( ) orthogonale à toutes les droites de , en particulier .
Partie C
7 3
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ �� = ( ) �� = ( ) �� .�� = 21− 18 + 15 = 18 −6 3
3 5
Donc (�� ) et (�� ) ne sont pas orthogonales et le tétraèdre n’est pas orthocentrique.
Exercice 4
Partie A
1.
= 1 et = 0
2.
a.
( ) ( )• Initialisation : ; = 1;0 est solution de l’équation. 0 0
( )• Hérédité : on suppose que ; est solution de l’équation.
Alors,
5/6
��
��
��
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Baccalauréat S – Métropole - Juin 2018 – Mathématiques en enseignement de spécialité
= 3 + 8+1{
= + 3+1
2 2 2 2− 8 = (3 + 8 ) − 8( + 3 )+1 +1
2 2 2 2= 9 + 48 + 64 − (8 + 48 + 72 )
2 2= − 8 = 1
b.
( )On peut démontrer par récurrence que est à valeur positive.
On a alors ≥ 3 > . +1
3.
Les couples sont donc tous distincts et l’équation admet une infinité de solutions.
Partie B
1.
8 et 9
2.
2Un diviseur premier de divise soit soit . On a donc qui divise .
3.
2 2 2 2Un diviseur premier de est un diviseur de . On a donc qui divise et
est puissant.
2 2 2 3− 1 = 8 = 2
2D’après la question précédente, − 1 est aussi puissant.
4.
2 2Tous les couples ( − 1; ) sont des couples d’entiers naturels consécutifs
puissants et il y en a une infinité.
3 1 993( ) = ( ) = ( )
3 0 35
2 2Donc 99 − 1 = 9800 et 99 = 9801 sont puissants.
6/6