Chapitre Calcul algébrique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 1 Calcul algébrique Tout ce qui est vu dans ce chapitre a déjà été vu au cours des années précédentes. Ce ne sont que des rappels. I Calcul fractionnaire 1) Quels que soient a, b et c avec b et c non nuls, ab= a?c b?c= a :c b :c . Exemple : 23= 2?6 3?6= 12 18 2170= 21:7 70:7= 3?7 10?7= 3 10 Exercice 1 : Simplifier les fractions suivantes : 2436 , 28 35 et 30 36 . 2) Quels que soient a, b et c avec c non nul, ac? b c= a?b c et a c – b c= a – b c . Remarque : Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut absolument vérifier au préalable que les deux fractions ont le même dénominateur. Astuce : Un nombre a peut être considéré comme une fraction a1 . On peut alors calculer et simplifier une fraction du type 34?2= 3 4? 2 1= 3 4? 8 4= 11 4 . Exemple : 25? 7 5= 2?7 5 = 9 5 4 7? 1 3= 4?3 7?3? 1?7 3?7= 12 21 – 7 21= 12– 7 21 = 5 21 Exercice 2 : Effectuer les calculs suivants : 35 – 7 5 , 5 12? 5 4 , 7 3 –

• double distributivité de la multiplication sur l'addition


• symbole de la racine carrée


• ?a?b??c?d ?


• pgcd


• ppcm

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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 1 Calcul algébrique

Tout ce qui est vu dans ce chapitre a déjà été vu au cours des années précédentes. Ce ne sont que des rappels.

I Calcul fractionnaire

1) Quels que soient a, b et c avec b et c non nuls,

2 2×6 12 = = Exemple : 3 3×6 18 21 21:7 3×7 3 = = = 70 70:7 10×7 10

a a×c a:c = = . b b×c b:c

24 28 30 Exercice 1 :Simplifier les fractions suivantes : ., et 36 35 36

2) Quels que soient a, b et c avec c non nul,

a b ab a b a – b  = = et – . c c c c c c

Remarque : Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut absolument vérifier au préalable que les deux fractions ont le même dénominateur. a Astuce : Un nombreaêtre considéré comme une fraction  peut . On peut alors calculer et 1 3 3 2 3 8 11  = simplifier u ype 2=  = . ne fraction du t 4 4 1 4 4 4

Exemple :

2 7 27 9  = = 5 5 5 5 4 1 4×3 1×7 12 7 12–7 5 − = − =–= = 7 3 7×3 3×21 217 21 21

 Exercice 2 :Effectuer les calculs suivants :

3 7 5 5 4 117 6   – , , – et . 5 5 9 23 5 12 4

3) Quels que soient a, b, c et d avec c et d non nuls,

a b a×b × = . c d c×d

3 6 3×6 18 × = = Exemple : 7 5 7×5 35 5 6 7 5 11 13 × × × Exercice 3 :Calculer , et . 13 7 3 6 13 11

4)

a c a d Quels que soient a, b, c et d avec b, c et d non nuls, = × . b c b d Remarque : On dit aussi « diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse ». L'inverse de a b1 étant . Le nombre 0 n'a pas d'inverse. L'inverse de a est . Il ne faut pas confondre b a a inverse et opposé, l'opposé de a étant – a . 7 3 7 6 7×6 42 14×3 14 = × = = = = Exemple : 5 3 5 3×55 15 ×3 5 6 4 12 7 11 Exercice 4 :Calculer : et . 5 3 3 13 2 3 3 4 5 3 7 4 3 2  × − ×  Exercice 5 :Calculer et – . 7 3 2 7 10 5 4 2 4 5 A8 17 3 =  SimplifierAetBpuis calculer A×B et avec A=  et B –1 . B5 2 3 2

II Calcul avec exposants

−1 1 0 1 2 = 1) Conventions : Quel que soit a, a=1 , a=a , a=a×a et a . a –1 1 0 = Exemple : 0= 1 et 3 . 3 a Attention : 0 , où a est un nombre strictement négatif, n'existe pas. Par exemple, pas !!! b c bc 2) Quels que soient a, b et c, a×a=a . 2−1 2−113 7 37 10 Exemple : 3×3=3=3= 3 ou 4×4=4=4 . b a b – c −b 1 3) Quels que soient a, b et c avec a non nul, =a a= c et sa conséquence b . a a

Exemple :

6 3 6–2 4 =3=3 2 3 −4 1 7= 4 7

 Exercice 6 :Simplifier ces écritures :

4−2 3 6×6×6 A= −2 5 6×6

et

–3 7 2 9×9×9 B= 6–4 9×9

.

−5 0

 n'existe

4)

Quels que soient a, b et c avec b non nul,

Exemple :

4 4 3 3   = 4 7 7 −7 7 7 2 3 3   =  = 7 3 2 2

c c a a   = c b b

b c b×c 5) Quels que soient a, b et c,a =a. 2 4 2×4 8 Exemple :3 =3=3 3−1 4 7 10×10 ×10 Exercice 7 :Simplifier : C= 2 3−7 2 10 ×10×10 1 Remarque : Quel que soit a positif, . 2   a=a

III Calcul avec les radicaux

On appelle radical le symbole de la racine carrée

 a

et

et

c c c a×b =a×b

4−3 2 12×12×12 D= −4 2 4 12×12

, oùaest positif.

1) Quels que soient a et b avec a et b positifs,  a×b=  a×  b . Exemple :  12=  4×3=  4×  3=2×  3 Exercice 8 :Décomposer  28 ,  18 ,  36 ,  96 . a  a 2) Quels que soient a et b avec a positif et b strictement positif, =  b  b 4  4 2 Exemple : = = . 3  9  9 Attention :  ab≠  a  b !!! 2 3) Quel que soit le nombre a positif,   a =  a×  a=a . 2  a=a si est positif et– asiaest négatif. 2 2 2 Exemple :  4=  2= 2 mais  −2 =−−2= 2 et  3=3 . Exercice 9 :Écrire sous la forme a  b la plus simple possible : A=3  112–3  275  28 B=4–  523  5

.

.

.

IV Nombre premier et décomposition en facteurs premiers - PGCD et PPCM

Dans cette partie, tous les nombres considérés sont des nombres entiers positifs, qu'on appelle aussi les

« Entiers naturels », dont l'ensemble est noté ℕ .

1) Nombre premier

Définition 1 : Dire que le nombre a est divisible par b signifie que le résultat de la division de a par b est un entier.

Remarque : Tout nombre est divisible par 1 et 0 est divisible par tous les nombres.

Exemple : 8 est divisible par 4 car 8 : 4 = 2. Par contre, 9 n'est pas divisible par 4 car 9 : 4 = 2,25.

Définition 2 : Dire que le nombre a est multiple de b signifie que a est divisible par b.

Remarque : Tout nombre est multiple de 1 et 0 est multiple de tous les nombres.

Exemple : 18 est multiple de 6 car

18=3×6

. 19 n'est pas multiple de 6 car 19:6≈3, 17 .

Définition 3 : Un nombre est premier si et seulement s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Remarque : Le cas du nombre 1 qui est divisible par lui-même qui se trouve être 1 aussi est très discuté. Il est préférable pour la suite de considérer que 1 n'est pas un nombre premier.

Exemple : 12 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 2, 3, 4 et 6. 13 est un nombre premier, il n'est divisible que par 1 et par 13.

2) Décomposition en facteurs premiers

Définition : b est un diviseur de a signifie que a est divisible par b ou que a est un multiple de b.

Exemples : Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Méthode : Pour réaliser la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, il faut le diviser autant de fois que possible par les nombres premiers dans l'ordre croissant. Cette opération peut être réalisée dans un tableau comme celui-ci : On cherche à trouver tous les diviseurs de 10920. 10920Explication : 5460 2 10920 : 2 = 5460 2730 2 5460 : 2 = 2730 1365 2 2730 : 2 = 1365 455 3 1365 : 3 = 455 91 5 455 : 5 = 91 13 7 91 : 7 = 13 1 13 13 : 13 = 1 On a donc la liste de tous les diviseurs premiers de 10920 : 2, 3 5, 7 et 13. 10920 peut s'écrire 3 10920=2×3×5×7× 13 .

Rappel : 1) Un nombre divisible par 2 (pair) a son chiffre des unités égal à 0, 2, 4, 6 ou 8.

2) Un nombre divisible par 3 a la somme de ses chiffres divisible par 3.

Exemple : 138. La somme de ses chiffres est 1 + 3 + 8 = 12 qui est divisible par 3, donc 138 l'est aussi.

3) Un nombre divisible par 5 a son chiffre des unités égal à 0 ou 5.

Exemple : 135 ou 160 sont divisibles par 5.

Exercice 10 : Décomposer en facteurs premiers et écrire sous la forme d'un produit de facteurs premiers les nombres 2475, 180, 11550 et 3003.

3)PGCD et PPCM

Définition 1 : Soient a et b deux nombres entiers naturels. Le PGCD de a et b, noté PGCD(a,b), est le plus grand commun diviseur de a et b, c'est à dire le plus grand nombre qui divise à la fois a et b.

3 Exemple : a=56  et b= On peut écrire 98 . a=2×28=2×2×14=2×2×2×7=2×7  et 2 b=2×49=2×7×7=2×7 . Le plus grand commun diviseur dea etbdonc est 2×7=14 . On a PGCD56, 98=14 .

Exercice 11 :Trouver

PGCD21,36

,

PGCD121, 33

,

PGCD2145,845

et

PGCD77, 54

.

Remarque : Dans une fraction, le PGCD du numérateur et du dénominateur permet de simplifier au maximum cette fraction.

10780 Exemple : Soit A= 730 et 730=2×365=2×5×73 fraction irréductible.

2 2 2 2 . 10780 =2×5390=2×2×2695=2×5×539=2×5×7×77=2×5×7×11 10780 1078 = = donc PGCD10780, 730=2×5=10 donc A qui est une 730 73

Exercice 12 :Simplifier au maximum

350 B= 150

,

1170 C= 990

et

510 D= 935

.

Définition 2 : Soient a et b deux nombres entiers naturels. Les nombres a et b sont dits « premiers entre eux » lorsque PGCD(a, b) = 1.

Exemple :

PGCD14, 15=1

car

14=7×2

et

15=3×5

, donc 14 et 15 sont premiers entre eux.

Définition 3 : Soient a et b deux nombres entiers naturels. Le PPCM de a et b, noté PPCM(a, b), est le plus petit commun multiple de a et b, c'est à dire le plus petit nombre entier multiple à la fois de a et de b.

Exemple : a=12  et b=90 2 2 PPCM12,90=2×3×5=180 .

.

2 a=2×2×3=2×3

et

2 b=2×3×3×5=2×3×5

donc

Remarque : Le PPCM de deux dénominateurs est donc le plus petit dénominateur commun aux deux fractions considérées. Il permet d'additionner ou soustraire des fractions avec le plus petit dénominateur possible.

V Factorisation et développement

Rappel : abcd=a×ca×db×cb×d sur l'addition.

est appelée la double distributivité de la multiplication

Définition 1 : Développer signifie transformer un produit en somme ou différence.

Exemple :

2– x3y=2×32×y –3×xx×y=62y –3xx y

Exercice 13 :Développer et réduire les expressions suivantes : A=5x –1−2x –2−3x1 B=−x –332x –1−22x –3 C=x3−2x1−3xx –2 2 D=xx –1x –4−xx –3 2 2 E=−xx2–3x –34x –7

.

Indice :Pour développer un produit de trois facteurs, on multiplie les deux premiers, puis le résultat obtenu par le troisième.

Définition 2 : Factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit.

Exemple :

x1x –32x1=x1[x –32]=x1x –1

Exercice 14 :Factoriser les expressions suivantes : A=2x –3−5x12x –3 B=32x –7–x12x –7 2 C=x –3xx3x –3

Identités remarquables : 2 2 2 1)a2a bb=ab 2 2 2 2) a−2a bb=a−b 2 2 3)ba – =a – bab

Exemple : 2 2 2 2 x –4x4=x –2×x×22=x−2 2 2 2 2 4x12x9=2x 2×2x×33=2x3 2 2 2 9x –16=3x–4=3x –43x4 2 2 2x –7–x3 =[ 2x –7−x3] [2x –7x3]=2x –7– x –32x –7x3=x –103x –4

Exercice 15 :Factoriser les expressions suivantes 2 2 A=16x –2523x 2 2 B=3x –1–2x6 2 C=4x36x81–2x93x –5 2 D=5–2xx –1−x –1 2 2 E=x –4 −−x –3

VI Résolution d'équation

Définition : Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.

Méthode : 2x –3=0 2x=03 3 x= 2 3 S={ } 2

On cherche à écrire x=... On ajoute 3 à toute l'équation.

On divise toute l'équation par 2. 3 La seule solution est donc . 2

Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ces facteurs est nul.

Exemple : 2x –13x7=0 2x –1=0 ou 3x7=0 2x=1 ou 3x=−7 1 7 = =− x ou x 2 3 7 1 S={−;} 3 2

Remarque : Pour résoudre une équation, il faut donc écrire l'équation sous forme d'une expression égale à 0 et factoriser au maximum.

Exercice 16 :Résoudre les équations suivantes : 7x3=0 7–12x=0 3x –4=0 35x=0 2 6=2x x=x –9 6

2 4x –16=0 2 9x30x=−25 2x –13x2=2x –17x –5