E Lebarbier S Robin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
AgroParisTech Exemples d'application du modele lineaire E. Lebarbier, S. Robin

• table des matieres


• modele


• tests sur les parametres


• designent des variables aleatoires


• estimation de parametres


• regression lineaire multiple


• analyse de la variance


• comparaison des champagnes

Sujets

• Statistiques
• Sommaire
• Modèle
• Régression linéaire multiple
• Analyse de la variance

Informations

• Publié par: sucun
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

AgroParisTech
Exemples d’application
du mod`ele lin´eaire
E. Lebarbier, S. RobinTable des mati`eres
1 Introduction 4
1.1 Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 R´egression lin´eaire simple 7
2.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Objectif et dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Description des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 R´egression lin´eaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Validation du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Retour chez les brochets : analyse des r´esidus . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Table d’analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.5 Ajustement du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.6 Estimation des param`etres et tests sur les param`etres . . . . . . . . 21
2.3 Mod`ele ANOVA et test de lin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Test de l’effet du facteur Age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Test de la lin´earit´e des moyennes par ˆage . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 R´egression lin´eaire multiple 29
3.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Objectif et dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Description des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Mod`ele de r´egression lin´eaire multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 R´egression lin´eaire multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 R´egression lin´eaire multiple sur la variable NbNids . . . . . . . . . . 34
3.3.2 R´egression lin´eaire multiple sur la variable log NbNids . . . . . . . 35
3.3.3 Estimation des param`etres et tests sur les param`etres . . . . . . . . 37
3.3.4 S´election de variables explicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
14 Analyse de la variance `a un facteur 44
4.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.1 Objectif et dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Description des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Analyse de la variance `a un facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Test de l’effet du statut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Estimation des param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.4 Comparaison des groupes de statuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.5 Analyse des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Analyse de la variance `a deux facteurs : cas ´equilibr´e 60
5.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.1 Objectif et dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.2 Description des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Analyse de la variance `a 2 facteurs avec interaction . . . . . . . . . . . . . 63
´5.2.1 Ecriture du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.3 Estimation des param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.4 Analyse des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
´5.3 Etudes de sous mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Analyse de la variance `a 2 facteurs sans interaction . . . . . . . . . 76
5.3.2 Danger d’une analyse s´epar´ee des deux facteurs . . . . . . . . . . . 79
5.4 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Analyse de la variance `a deux facteurs : plan en blocs incomplets 84
6.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.3 Donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Analyse de la variance `a 2 facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Danger des analyses de variance s´epar´ees . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Analyse de la variance `a deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Tests des effets et comparaison des champagnes . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.2 D´ecomposition des sommes de carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.3 Comparaisons des champagnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Analyse de la covariance 101
7.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1.1 Objectif et dispositif exp´erimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
27.1.2 Description des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Vers l’analyse de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 Analyse de la Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.1 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.2 Analyse de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Tests des diff´erents effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4.2 Sommes de carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4.3 Enchaˆınement des tests des diff´erents effets. . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 Comparaison des traitements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.7 Programme SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3Chapitre 1
Introduction
1.1 Avertissement
Ce polycopi´e pr´esente des exemples d’applications du mod`ele lin´eaire. Les diff´erents
chapitres reprennent les mod`eles les plus classiques appliqu´es `a des donn´ees r´eelles :
Chapitre 2 : R´egression lin´eaire simple,
Chapitre 3 : R´egression lin´eaire multiple,
Chapitre 4 : Analyse de la variance `a un facteur,
Chapitre 5 : Analyse de la variance `a deux facteurs ´equilibr´es,
Chapitre 6 : Analyse de la variance `a deux facteurs d´es´equilibr´es,
Chapitre 7 : Analyse de la covariance,
Ce polycopi´e ne pr´esente pas un cours de statistique sur le mod`ele lin´eaire: il s’appuie
sur des notions abord´ees dans le cours de statistiques de 1`ere ann´ee de l’INA PG et
compl`ete la pr´esentation th´eorique du mod`ele lin´eaire faite dans le cours de 2`eme ann´ee.
Au long de ce document, le lecteur sera fr´equemment renvoy´e
– au livre de 1`ere ann´ee de Daudin et al. (1999)
– et au polycopi´e de 2`eme ann´ee de Duby (2000).
Le dit lecteur est donc fermement invit´e par les auteurs `a lire (relire?) ces deux ouvrages
avec attention.
1.2 Notations
Typographie
– Les lettres majuscule designent des variables al´eatoires (Y).
– Les caract`eres gras d´esignent des vecteurs (θ) ou des matrices (X).
– Les lettres grecques repr´esentent des param`etres d’un mod`ele (μ,σ,θ).
Certains param`etres sont cependant repr´esent´es par des caract`eres latins (comme la
constante a et la pente b en r´egression) conform´ement `a l’usage.
4De plus, on notera
0 le vecteur nul dimensions n×1 (sauf pr´ecision),
I la matrice identit´e de dimensions n×n (sauf pr´ecision).
Sommes
Le symbole + `a l’indice signifie que la variable est somm´ee sur l’indice qu’il remplace.
Ainsi, dans une mod`ele d’analyse de la variance `a deux facteurs (cf chapitre 5), si nij
d´esigne le nombre de r´ep´etitions dans le niveau i du premier facteur et le niveau j du
second facteur,
JX
n = ni+ ij
j=1
d´esigne le nombre total d’observations dans le niveau i du premier facteur;
IX
n = n+j ij
i=1
d´esigne le nombre total d’observations dans le niveau j du second facteur;<