PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE

Alain Robichon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE. page 1/6 ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE. I. L'équation de propagation dans le vide sans charges ni courants. 1°) Mise en équations. Dans le vide en l'absence de charges et de courants, les équations de Maxwell s'écrivent : 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) div E div B B Erot E rot B t t On établit (en utilisant ( ( )) ( ( )) ( )rot rot X grad div X X) que les champs E ? et B ? satisfont à l'équation de propagation ou équation de D'Alembert vectorielle: 2 2 0 0 0 02 2( ) 0 ( ) 0E BE et Bt t . En choisissant la condition de jauge de Lorentz ( 0 0( ) 0Vdiv A t ), on montre que les potentiels scalaire V et vecteur A ? vérifient eux aussi l'équation de D'Alembert vectorielle. ? Dimension et interprétation du produit ?0µ0. Il découle de l'équation de propagation que la quantité 0 0 1 est homogène à une vitesse. Cette vitesse est notée c et représente la vitesse de propagation (ou célérité) du champ électroma- gnétique dans le vide. Retenons la relation 0 0 ? = 1c .

• rot rot


• plan perpendiculaire


• sens de rotation


• onde plane progressive


• polarisation


• propagation des oem dans le vide

Sujets

• Progressive
• Sens de rotation
• Polarisation

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Extrait

PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE.

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE.

I. L'équation de propagation dans le vide sans charges ni courants. 1°) Mise en équations.  Dansle vide en l'absence de charges et de courants, les équations de Maxwell s’écrivent:

   Onétablit (en utilisant) que les champsE etB satisfontà l'équation de propagation ouéquation de D'Alembert vectorielle:

En choisissant lacondition de jauge de Lorentz(

.

), on montre que les

 potentiels scalaireVet vecteurAvérifient eux aussi l'équation de D'Alembert vectorielle. Dimension et interprétation du produitµ . 0 0

 Ildécoule de l'équation de propagation que la quantité

esthomogène à une vitesse.

 Cettevitesse est notée c et représente lavitesse de propagation(oucélérité) du champ électroma- gnétique dans le vide. Retenons la relation. 2°) Les solutionsde l’équation des ondes. Rappels sur l’équation de d’Alembert à une dimension.  Considéronsla fonction scalaires(x,t)qui vérifiel'équation des ondes à une dimension:

, oùvest une constante positive. La solution générale de l'équation des ondes à une dimension s'écrit : , 2 oùfetgsont des fonctions au moins de classeCà priori arbitraires .

 Legroupement endans f signifie que la grandeurfse propage sans déformation, à lacéléritév le long deOx, dans la direction desxpositifs(siv > 0).  Lafonctionga la même signification au signe près devantla variable dex etreprésente par conséquent une propagation sans déformation dans la direction desxnégatifs.  Àun instanttdonné, la valeur defest constante dans tout planx =Cste. On dit que f (ou g) décrit uneonde plane progressive(O.P.P.) se propageant sui- vant Ox vers les x croissants (ou x décroissants). La quantitéreprésente laphasede l’onde à l’instant t.

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PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE. Cas d’un problème à symétriesphérique.  Lafonctionst) cherchée ne dépend que du temps et de la distancer = OM.  Lelaplacien s'écrit alors en coordonnées sphériques :.  Eneffectuant le changement de variable, on établit :. On reconnaît l’équation des ondes à une dimension étudiée précédemment. La solutiongénérale de l’équation de d’Alembert pour un problème à symétrie sphérique s’écrit .  Commeil a été déjà vu, les fonctionss ets sontarbitraires, déterminées par les conditions aux li- + - mites, représentant respectivement deux ondes sphériques divergente et convergente par rapport à l’origineO. c) Cas d’une propagation suivant une direction fixe.  Ondésigne parOuune direction spatiale fixe définie par le vecteur unitaire, de cosinus directeurs (,,): ,avec .  UnpointM.quelconque est repéré par son rayon vecteur  Onnote (uestl’abscisse de la projectionHdu pointMsur l’axeOu). On dit quef(x, y, z, t),solution de l’équation de d’Alembert à trois dimensions, dé- crit uneonde plane progressive(O.P.P.) se propageant suivant la directionOusi, à t donné, f(x,y,z,t)ne dépend que de u,avec. Les surfaces d’onde de l’onde plane sont lesplans perpendiculaires à Ou. Inversement, sif(x,y,z,t)représente une onde se propageant dans la directionOuet si, à t donné,f(x,y,z,t)n’a pas la même valeuren tout point d’un plan perpendiculaire àOu, c’est que l’onde ainsi décriten’est pas plane. L’équation de d’Alembert étant invariante par changement de base, on peut tout à fait choisir l’axeOx pour la directionOu. Ainsi :.

La solution ainsi cherchée sous forme d’ondeplane progressive est du type

.

 Notonsmaintenant simplementle vecteur unitaire dans la directionOu,sans chercher à particulari- ser l’axe desx. Uneonde plane progressive(O.P.P.) se propageant suivant la directionOu,solu-

tion de l’équation de d’Alembert à trois dimensions

, s’écrit sous

la forme générale. (unitaire dans la directionOu). Lessurfaces d’ondesde l’O.P.P.sont desplans perpendiculaires à la direction définie par le vecteur.

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PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE. d) Généralisation.  Nousadmettrons quetoute solutionde l’équation de d’Alembert est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagationOucouvrent tout l’espace. Une superposition donnée d’ondes planes progressives ne conduit pas forcément à une onde résultante, ni plane, ni progressive (contre exemple : les ondes stationnaires ou les ondes guidées). Structure de l'O.P.P.  Uneonde plane progressive, dans le sens défini par le vecteur unitaireest caractérisée par des vec-

teurs champ électrique et champ magnétique qui ne dépendent que de la variable Une O.P.P. se propageant dans le vide suivantvérifie :

 ou

.

.

 Enparticulier, on remarque que. Les ondes électromagnétiques planes progressives sont desondes transversales   (i.e.EetBsont perpendiculaires à la direction de propagation). 3°) Impédance du vide.

On montre à l’aide de l’analyse dimensionnelle que le rapport

gène à une impédance, appeléeimpédance d’onde.

est homo-

Pour une O.P.P. se propageant dans le vide, on établit que l’impédance d’onde (ou impédance du vide) s’écrit A.N..

II.L’onde plane progressiveharmonique (ou monochromatique). 1°) Définition et expression.  Unesolution particulière de l'équation de propagation est l'onde planedépendant sinusoïdalement du temps, appeléeOnde Plane Progressive Harmonique(ousinusoïdale, oumonochromatique), en abrégé O.P.P.H. (ou O.P.P.M.).Considérons une O.P.P.H. se propageant suivant l'axex'x, vers lesxpositifs.

Le champ électrique est de la forme :

 oùles amplitudesEetEainsi que les phaseset sontdes constantes. 0y 0z  Leterme endéfinitla phasede l’onde plane progressive harmonique.

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,

PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE. Une O.P.P.H. se propageant à lacélérité cestdans le sens du vecteur unitaire caractérisée par: - safréquence(temporelle)ou sapulsation(temporelle) . - salongueur d'onde ousonnombre d'onde .

sonvecteur d'onde . UneO.P.P.H.présente unedouble périodicité,temporellede périodeTetspa- tialede période. Les relations établies dans le § pré- cédent pour lesO.P.P.sont bien sûr valables pour lesO.P.P.H. quin'en sont qu'un cas particulier. Ainsi pour uneO.P.P.H.: = c.T   Les champsEetBsonttransverses.    Le trièdre, B)( k, Eestdirect. On peut écrire.   Les champsEetBvibrent en phase. Vitesse de phase.  Lespoints tels que la phaseestconstantedéfinissent à chaque instant t un planper-  pendiculaireà la direction de propagation définie par le vecteur d'ondek, et appeléplan équiphase ou plan d'onde. On en déduit que les plans équiphases se déplacent avec une vitesse appeléevitesse de phase., définie par: Dans le vide, on a; la vitesse de phase est doncconstante,indépen- dante.de la fréquence de l'onde et 2°) Notation complexe d'une O.P.P.H. Si on associe à toute composante réellef duchamp ou du potentiel la quantité com- plexe: ,les opérateurs différentiels se ramènent, en coordonnées cartésiennes, aux transformations algébriques suivantes: , ,,

Relation de dispersion.

Le modèle de l’O.P.P.H. dans le vide conduit à larelation de dispersionqui montre que: , le vide se comporte comme un milieu non dispersif et non absorbant (!). Ainsi, dans le vide, les vitesse de phase et de groupe sont identiques( = c).

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PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE. 3°) Polarisation d'une O.P.P.H.  Lapolarisation d'uneO.P.P.H. estdéfinie à partir de son vecteurE, comme la  nature de la courbe décrite par l'extrémité deEdans un plan d'onde.  Parconvention,le sens de rotation (gauche ou droite) est défini pour un observateur qui reçoit l'onde.  SoituneO.P.P.H.se propageant suivant l'axez'z, vers leszpositifs. Moyennant un choix convenable  de l’origine des dates, on peut toujours écrire le champEsous la forme :

.

  Dansle planz = 0, l'extrémité deEdécrit la courbe d'équations .  Enéliminant le temps entreEetE, on obtient la relation : x y

.

 Onreconnaît l'équation d'une ellipse, le sens de parcours dépendant du signe desin(). Ainsi, dans le cas le plus général, uneO.P.P.H.estpolarisée elliptiquement. Valeurs particulières du déphasage.   .CsteE =E /etEgarde une direction fixe au cours du temps. y x L'O.P.P.H.est dite polariséerectilignement.

: c'est .l'équation d'un cercle. L'O.P.P.H.est dite polariséecirculairement(on distingue la polarisation cir- culairegaucheet la polarisation circulairedroiteselon la valeur de) . Importance de la polarisation rectiligne. neO.P.P.H.de polarisationelliptique quelconquepeut toujours s’écrire comme la superposition de deuxO.P.P.H.polariséesrectilignementsuivantdeux directions orthogonales. L’O.P.P.H.Rforme ainsi la « brique » élémentaire de la théorie des ondes électromagnétiques. On a de même que touteO.P.P.H.R.s’écrit comme la superposition de deuxO.P.P.H.polarisées circulairement,droite(O.P.P.H.C) etgauche(O.P.P.H.C) demême amplitude. d g

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III. Étude énergétique des O.E.M. planes dans le vide. 1°) Aspect énergétique d'uneO.P.P.

PROPAGATION DES OEM DANS LE VIDE.

 L'énergieélectromagnétique volumique, définie par l’expression

s'écrit pour uneO.P.P.

(conséquence de

).

,

Le problème du calcul du vecteur de Poynting. Le vecteur de Poynting n'étantpas linéairevis-à-vis du champ électromagnétique,   il faut le déterminerà partir des expressions réellesdeEetB.  PouruneO.P.P.levecteur de Poyntingpeut s'exprimer en fonction du seul champ électrique (ou du seul champ magnétique) selon : ,ou avec l’énergie volumique: . 2°) Vitesse de propagation de l’énergiedans le vide. On établit que l’énergie d’uneO.P.P.dans le vide suivant la direction et le sens dé- fini parse propage à lacélérité c. Démonstration :  ConsidéronsuneO.P.P.se propageant dans le vide dans la direction de l’axeOz, suivant leszcrois- sants. On notevla vitesse de propagation de l’énergie associée à cette onde. e L’énergie qui traverse, entre les datestett + dt, une section de surfaceSperpendiculaire àOzs’écrit aussi en fonction du vecteur de Poynting :.  Cetteénergie a parcouru entre les datestett + dtla distancedz = v .dt. e Une tranche d’épaisseurdz, de surfaceSperpendiculaire àdzcontient l’énergie: .   Comptetenu de la relation entreuneet pourO.P.P.., on obtient 3°) Éclairement et intensité. Du point de vue de la réception : On définitl'éclairementE d'uneOPP comme l'énergie électromagnétique c moyenne qui traverse par unité de temps une surface unité perpendiculaire à la direc- tion de propagation. -2 L'éclairement s'exprime enW.mou enluxpour les ondes lumineuses. Du point de vue de l’émission: On appelleintensité énergétiqueIsource dans une direction donnée, le d'une flux rayonné par unité d’angle solide suivant cette direction( .Iest enW/sr et encandelapour une onde lumineuse). Par ailleurs, on définit en optiquel’intensité I d’une onde lumineuse, proportionnelle à l’éclairement par :.

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