Compositio Math

Gérald Tenenbaum

Description

Compositio Math. 144 (2008) 339–376. Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 3 Gerald Tenenbaum & Jie Wu Abstract. We consider logarithmic averages, over friable integers, of non-negative multiplicative functions. Under logarithmic, one-sided or two-sided hypotheses, we obtain sharp estimates that improve upon known results in the literature regarding both the quality of the error term and the range of validity. The one- sided hypotheses correspond to classical sieve assumptions. They are applied to provide an e?ective form of the Johnsen–Selberg prime power sieve. AMS Subject classification. 11N25, 11N35, 11N36, 11N56, 11C08. Keywords. Friable integers, Selberg's sieve, logarithmic averages of multiplicative functions. Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• equation di?erentielle aux di?erences


• application des resultats d'hypotheses unilaterales au crible


• hypothese d'estimation bilaterale en moyenne des memes quantites


• entier naturel


• solutions d'equations di?erentielles aux di?erences

Sujets

• Tannenbaum
• Entier naturel

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Extrait

Compositio

1.

Math.144(2008) 339–376.

Moyennes de certaines

fonctions

multiplicatives sur les entiers friables, 3

Gerald Tenenbaum & Jie Wu ´

Abstract.We consider logarithmic averages, over friable integers, of non-negative multiplicative functions. Under logarithmic, one-sided or two-sided hypotheses, we obtain sharp estimates that improve upon known results in the literature regarding both the quality of the error term and the range of validity. The one- sided hypotheses correspond to classical sieve assumptions. They are applied to provide an effective form of the Johnsen–Selberg prime power sieve.

AMS Subject classification.11N25, 11N35, 11N36, 11N56, 11C08.

Keywords.Friable integers, Selberg’s sieve, logarithmic averages of multiplicative functions.

Sommaire

1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2Historique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1Solutionsd’e´quationsdiff´erentiellesauxdiff´erences. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2.2Re´sultatsante´rieurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 3Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 ´ 3.1 Objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 3.2 Enonc´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 3.3 Description sommaire d’une extension. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12 4Application au crible `a puissances de Johnsen–Selberg. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13 5Estimations relatives aux nombresf(p). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 19 6Majoration pr´eliminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ´ 7Equations fonctionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 7.1 Forme initiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Exploitation de l’equation adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 27 ´ 8Estimations initiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 9me´Dtsnotiraduon´eTh`eor13.me. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10oidnrttaomsnDe´e3em.2h´uTr`eo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 11De´omsn.3e3emdnoitart`roe´hTu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 ´ 11.1 Etude d’un cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11.2Extensionaucasg´ene´ral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Introduction

Cetravailestletroisi`emevoletd’unes´erieconsacre´e`al’´etudedesvaleurs moyennes de certaines fonctions arithm´etiques sur les entiers friables. Danslapremie`repartie[19],nousavonsessentiellementexamin´elecasde fonctions multiplicativesf(n) pour lesquelles les nombresf(p,lordentsquee`ssop)p d´ecritlasuitedesnombrespremiers,unevaleurmoyennestrictementpositive.Dans laseconde[8],e´criteencollaborationavecGuillaumeHanrot,nousavonsexplor´e les cons´equences de renseignements concernant directement la s´erie de Dirichlet

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associe´e`afitnoofcntiedorud’unpchedtproemenesdtaˆeszylanuqitsoppaee´su, Dedekind — ce qui a permis de relˆacher dans une certaine mesure l’hypoth`ese de multiplicativit´e. Nousnousproposons`apresentdeconside´rerdesmoyennesdetypelogarithmique, ´ a prioripohyessdousseel´sese`htusplserepte,ge´r`ilusceptiblartantsucenortoˆse’deˆrt plus faibles concernant les nombresf(p). Les moyennes de ce type sont importantes pour les applications, notamment dans les m´ethodes de crible : voir par exemple [7] et [4]. De´signonsparP(n) le plus grand facteur premier d’un entier naturel positifn, avec la conventionP(1) = 1, et parN y :={n∈N ∗ :P(n)y}l’ensemble des entiersy-friables. Pour tousx1,y1, nous posons S(x, y) :=N y ∩[1, x], S ∗ (x, y) :=N y ∩]x,∞[. Soitfune fonction multiplicative. La s´erie de Dirichlet def1 N y ec’´t,rinsdansos domaine de convergence, =  n f(n s = )  f( ν p s ν ) · (1·1)F(s, y) : n∈N y py ν  0 p Nous supposons syst´ematiquement dans la suite quefest positive ou nulle et queF(s, y) converge ens= 1 — et donc sur toute la droite verticalee s= 1. Larare´factiona`l’infinidesentiersy-friables laisse alors augurer que la fonction sommatoirepond´er´ee (1·2)ψ f (x, y) :=  f(n n ) n∈S(x,y) converge rapidement versF(1, y). Nous verrons que c’est effectivement le cas sous deshypoth`esesassezg´en´erales.Ilestalorspluspertinent(etbienentenduplus de´licat)d’´evaluerletermer´esiduel ) (1·3)ψ f ∗ (x, y) :=F(1, y)−ψ f (x, y) =  f(n · n n∈S∗(x,y)

Notonsu:= (logx)/logyltatsprincipauxc.oNrse´us`at,arnetsisnopenu’d,t ´etablir,sousunehypoth`esedemajorationunilat´eraleenmoyennedesnombres f(p)(logp)/pyteplatie´udunein´eg, (1·4)ψ ∗ f (x, y)F(1, y)λ κ (u)u Cu/logy dans un tr`es vaste domaine en (x, yet, d’autre part, `a montrer, sous une hypoth`ese), d’estimation bilat´erale en moyenne des mˆemes quantit´es, une formule asymptotique du type (1·5)ψ ∗ f (x, y) =F(1, y)λ κ (u)  1 +O(R) 

Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 3

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ou`Rest un terme d’erreur essentiellement comparable `au(logu)/logy. Ici,λ κ de´signeunefonction`ad´ecroissancetre`srapide,d´efiniecommelasolutiond’une e´quationdiff´erentielleauxdiff´erences.Nousrenvoyonslelecteuraux´enonce´s respectifsdesTh´eor`emes3.1et3.2pouruneformulationpr´ecise.Bornons-nousici `adeuxremarques:d’unepart,(1·4) est valable dans les hypoth`eses classiques du crible, d’autre part, l’estimation (1·tioplimaedt´1e()5e´ti’latlb·4) dans l’intersection des domaines de validit´e. Commeindique´plushaut,lecomportementasymptotiquedelasommepond´er´ee ψ ∗ f (x, yd´onnpnoe´eerdiuleceuemmosaleusr´replierqegul)seanutptra

Ψ f (x, y) :=  f(n). n∈S(x,y)

Unaspectremarquabledeceph´enomeneconcerne,ainsiqu’ila´et´esouligne´dans[8], ` le terme d’erreur en 1/(logy) κ dans la formule

Ψ f (x, y) =C κ (f)x(logy) κ−1  1 +O  1 l(goy) κ lo + ol(gu+ gy 1)  ,

etablie dans [19], pour un domaine ad´equat en (x, y). (1) Lorsquef(p) est en ´ moyenne proche deκ´tenfaitsruqeriqeeuolet,ceudie’nlemrese´rx/y s necessa est relativement petit et, partant, comme nous le verrons plus loin, ne contribue pas, lorsque< terme1, ` d’erreur sp´ecifique dans la formule asymptotique κa un correspondante pourψ ∗ f (x, y). La suite de cet article est organis´ee comme suit. Le paragraphe 2 contient lespre´requis,relatifsauxsolutionsd’´equationsdiff´erentiellesauxdiff´erences, ne´cessairesa`l’e´nonce´denosre´sultats,ainsiqu’unebr`evepr´esentationdesestima- tions deψ f ∗ (x, yst3eheapgrtna)ri´ereeuntmespdinobieldsnalslatit´erature.Lepara de´volua`laformulationpr´ecisedenos´enonce´sainsiqu’a`ladescriptiond’uneexten- sionpossible.Nousyd´ecrivonse´galementl’incidencesurles´evaluationsdeψ ∗ f (x, y) de la connaissance d’hypoth`eses plus fortes, mais standard, relatives aux moyennes nonponde´r´eesdesnombresf(p) logp. Le paragraphe 4 concerne l’application des re´sultatsd’hypoth`esesunilat´eralesaucrible`apuissancesdeGallagher–Selberg. Nousdonnonsun´enonc´eg´ene´raletd´etaillonsunexemplepratiquerepr´esentatif. Lesparagraphessuivantssontconsacr´esauxde´monstrations.Enparticulier,les ´equationsfonctionnelles,quiformentlecœurdelam´ethode,etleurtraitementvia l’e´quationditeadjointeauprobl`eme,sontpr´esente´sauparagraphe7.

1. La constanteC κ (f(5faroumelfiein`elad´ntme´eisecr´tpse)·9)infra.

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2. Historique 2 ·  d’´equations diff´erentielles aux diff´erences1. Solutions L’e´nonc´edesre´sultatsdelabibliographien´ecessitequelquesbrefsrappelsrelatifs `acertainesfonctionsdelath´eorieducribled´efiniescommesolutionsd’´equations differentielles aux diff´erences. ´ Nous d´esignons par κ la solution continue du syst`eme (2·1)   κ (u) u = +) u ( κ 1 −1 − / κ Γ ) (  κ κ ( ) u) +κ κ (u−si i = 0 01) s u> <u 1, 1, u  κ ( o`uΓde´signelafonctiond’Euler.Ainsi, κ est, pour toutκ >0, la puissance de convolution fractionnaire de la fonction de Dickman:= 1 . Pour chaqueκ, la fonction κ ascnorsi´dcee´edeidederapre´heti´prroapeledit. On a par exemple  κ (u) = (ulogu) −u e O κ (u) (u→ ∞). Plusprecise´ment,d´esignonsparξ(usolution r´eelle non nulle de e) l’unique ξ = 1+uξ ´ siu >0,u= 1 et posonsξ(1) =ξ(0) = 0. D´efinissons alors ξ κ (u) := max{1, ξ(u/κ)}, I(s) := s e (2·2)  0 v v − d 1 v, σ j (u) :=κI (j) (ξ κ (u)), de sorte que, d’apr`es le lemme III.5.8.1 de [17] et le lemme 4.5 de [14], (2·3) ξ κ (u) = lo  1 gu + + O lo  g 2 lo u g + 1 u  O   log glo 2 u u  (u→ ∞), σ j (u) =u o`u,icietdanslasuite,log k d´esingleakontincfoladeeer´lI.emhtiragole`emtie´i- resultealorsduth´eore`me1de[14]ouduplusg´ene´ralth´eor`eme2de[9]quel’ona ´ (2·4) κ (u) =  1 +O  1 u  e γκ−  u 2 ξ κ π ( σ u) 2 ( + u σ ) 0 (u) (u→ ∞), ou`γest la constante d’Euler. Nous posons encore ∞ (2·5)λ κ (u) := e −γκ  u  κ (v) dv, j κ (u) = 1−λ κ (u) (u0), de sorte queλ κ (0) =j κ (∞snqi.]iAel6[expmparevoir)=1—et´no´eeta´ilu’ dans [8] — formule (4.12) —, nous avons (2·6)λ κ (u) =  1 +O  1 u  e −γ ξ κ κ (  u κ ) (u ( ) u >0). Nousobservonsimm´ediatement,a`finsdere´f´erenceulte´rieure,quecelaimplique, graˆceparexempleauxestimationsde[14], (2·7)λ κ (u−v)λ κ (u)e vξ κ (u) (u1,0vu− 1 2 ).