PCSIB TD7 Mouvement force centrale

Description

PCSIB TD7 Mouvement à force centrale 2011-2012 Eléments de correction du TD7 2 Equation de la trajectoire à partir des formules de Binet Considérons un point matériel M , de vitessse ~v et d'accélération ~a en mouvement dans un référentiel galilén. M soumis à une force centrale de centre O ~f = f(r) ~ur avec r = OM et ~ur = ??? OM r . 1. On a ~v = vr ~ur + v? ~u?, avec vr = r˙ et v? = r?˙ = 1u ?˙. Or C = r2?˙ = ?˙u2 , donc ?˙ = Cu2 et v? = Cu De plus, vr = r˙ = dr dt = dr d? d? dt = dr d? Cu2 = d 1u d? Cu2 = ? 1 u2 du d? Cu2 soit vr = ?C dud? Finalement, ~v = ?C dud? ~ur + Cu ~u? donc ~v = C(?dud? ~ur + u ~u?) On a ~a = d~v dt = (r ? r?˙2) ~ur + (2r˙?˙ + r?) ~u? = ar ~ur + a? ~u? Donc a? = 1r (2rr˙?˙ + r 2?) = 1r d dt(r 2?˙).

• expression précédente de em


• d?2


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• force centrale


• diminution globale de l'énergie


• d?


• ?c d2u


• ?c dud?

Sujets

• Force centrale

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Extrait

PCSIB

TD7 Mouvement À force centrale

ElÉments de correction du TD7

2011-2012

2 Equation de la trajectoire À partir des formules de Binet ConsidÉrons un point matÉrielM, de vitessse~vet d’accÉlÉration~aen mouvement dans un rÉfÉrentiel galilÉn. −−→ OM ~ Msoumis À une force centrale de centre Of=f(r)u~ r avecr=OMetu~ r =. r 1. Onav~=v r u~ r +v θ u~ θ , avec v r =r˙ ˙ ˙ 1 etv θ =rθ=θ. u ˙ 2 θ ˙ OrC=r θ= 2 , donc u ˙ 2 θ=Cuetv θ =Cu De plus, v r =r˙ dr = dt dr dθ = dθ dt dr 2 =Cu dθ 1 d u 2 =Cu dθ 1du 2 =−Cu 2 u dθ soit du v r =−C dθ du Finalement,v~=−C~u r +Cu u~ θ donc dθ du v~=C(−u~ r +uu~ θ ) dθ On a d~v ~a= dt 2 ˙ ˙¨ = (r¨−rθ)u~ r + (2r˙θ+rθ)u~ θ =a r u~ r +a θ u~ θ ˙ ¨˙ ˙˙ 1 21d 2 2 d 2 Donca θ = (2rr˙θ+r θ) =(r θ). Commer θ=C,(r θ) = 0donca θ = 0(ce que l’on r rdt dt retrouve avec le PFD : il n’y a pas de composantes de forces selonu~ θ ). Dans un mouvement À force centrale, l’accÉlÉration est purement radiale :