Correction de la feuille V

Description

Correction de la feuille V On designe par K le corps R ou C et par |?| le module de ? ? K. Attention, on donne ici des indications et on n'explicite pas tous les calculs demandes, qui sont absolument a faire cependant. Exercice 1. (Produit scalaire standard sur Kn) — 1-a. Rappelons qu'une norme n est issue d'un produit scalaire ssi cette norme verifie l'identite du parallelogramme : ?a, b ? E, n2(a + b) + n2(a? b) = 2(n2(a) + n2(b)). - Pour n = 1, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ sont bien issues d'un produit scalaire, puisque ?x? 1 = ?x? ∞ = |x| et que |x| = √ (x|x), ou (x|y) = xy. - Pour n ≥ 2, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ ne sont pas issues d'un produit scalaire. En e?et, posons par exemple a = (1, 1, 0, · · · , 0) et b = (1, 0, · · · , 0). On a alors ?a + b? ∞ = 2, ?a ? b? ∞ = 1, ?a? ∞ = 1, ?b? ∞ = 1.

• somme partielle


• ?a ? πf


• equivalents complexes des matrices symetriques


• x3 ?


• matrice de passage


• nu? ≤


• rang

Sujets

• Série (mathématiques)
• Matrice de passage
• exercice
• cours
• exercices

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

Correction de la feuille V

Onde´signeparKle corpsRouCet par|α|le module deα∈Kon donne ici des. Attention, indicationsetonn’explicitepastouslescalculsdemande´s,quisontabsolument`afairecependant.

n Exercice 1.(Produit scalaire standard surK) —1a.Rappelons qu’une normenest issue d’unproduitscalairessicettenormev´erifiel’identit´eduparalle´logramme:

2 22 2 ∀a, b∈E, n(a+b) +n(a−b) = 2(n(a) +n(b)).

- Pourn= 1, les deux normes  1 et  ∞ sont bien issues d’un produit scalaire, puisque x 1 =x ∞ =|x|et que|x|= (x|xu`o,)(x|y) =xy. - Pourn≥2, les deux normes  1 et  ∞ ne sont pas issues d’un produit scalaire.En effet, posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (1,0,∙ ∙ ∙,a alors0). Ona+b ∞ = 2,a−b ∞ = 1,a ∞ = 1, b ∞ = 1.Pour  1 , posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (2,0,∙ ∙ ∙,0). 1b.SoitB= (a 1 , a 2 , a 3 ,)`oua 1 = (1, i,−i), a 2 = (1,0, i), a 3 = (0,1,1−imontrer que). PourBest 3 une base deCensslonoseocnoltriceamatlescdontlreluclaledgnaretceunp,odoor´enndeessa i dans la base canonique et montre que celui-ci est 3. 3 Trouverunebaseorthonorme´eNdeC, telle que la matrice de passage deNa`Bsoit triangulaire, revient`adirequelabaseN= (n 1 , n 2 , n 3 ) est telle quevect(n 1 ) =vect(a 1 ),vect(n 1 , n 2 ) =vect(a 1 , a 2 ). Leproc´ed´ed’orthonormalisationdeGram-SchmidtvadonnerlabaseN. a 1 2 22 - On aa 1 += 11ii+ (−i)(−i) =|1|+|i|+| −i|posons= 3,n 1 = . 3 1   - Soitn=a−(a|n)n= (1,−2i,5i). On a/10∙. 2 22 1 1 n= 10/:3. On posen 2 = 3n 2 2 3   |n)netn - Enfin on pose :n=a 3 −(a 3 |n 1 )n 1 −(a 3 3 2 2 n 3 = 3 ∙n. 3 4 1c.SoitF={(x, y, z, t)∈R;x+y−t= 0}trouver une bon de. PourF, on trouve une base de Fotemrlaohono’tr´ddeoc´eleprlisenutiidhmoutpndredu´etasidnoiarGecS-mriueenob.n  Exercice 2.(Produit scalaire surK n [X]) —SoitE=K 3 [Xr´eedegpaesl’]psloecedemdsnyoˆ≤3, `acoefficientsre´elsoucomplexes,maisa`variablere´elle(pourinte´grerdesfonctionsr´eelles!),munidu  produit scalaire (P|Q) =P Qnote. On la norme issue de ce produit scalaire. [0,1]  3 23 4 2a.IciK=Ra (1. On+X|1−X+X1) =−X+X−X= 1−1/3 + 1/4−1/5 et [0,1]  2 2 2 4 1 +X= 1+ 2X+X= 1 + 2/3 + 1/eed´ermnUonh5o.arsteeboEest par exemple obtenue [0,1] 2 3 `apartirdelabase(1, X, X, Xp)Schmidt.ndeGram-silaoitaohtrmrond´´e’oedlearocpr   2b.On suppose iciK=C. SoitF={P(X)∈E;P(0) =P(0), P(0) =−iP(0)}. Une i 2 3 base deFest par exemple (P(X+) = 1X−X ,X.O)ndnedu´etinubesadeeFeproc´ed´eaplr 2    3 33 6 3 3 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.On a :X=X X=X X=X= [0,1] [0,1] [0,1] 3  1/7, on poseA(X7) =∙XetB(X) =P(X)−(P|A)A(X), puisB=B /B. Lafamille (A, B) est alors une bon deFonogdeale´tehtroeL.jorpQ(X) = 1−iXsurFestR= (Q|A)A+ (Q|B)Bet la distance deQ(Xa`)FestQ−R. ⊥ CommeFest de dimension finie, on sait que :F⊕F=E, et que si (A, B,G) est une bon deE, ⊥ ⊥ Gest une bon deFouecfl(cbenU.)srpusudesamentpl´eorthairelagonoFdeFneeotdsconde´nen compl´etant(A, B) parGen une bon deEO.cnmo(drobaurcelad’pl`etepoA, B) en une base deE, par ⊥ ` exemple :(1, X, A, B) est une base deE. Ace stade, (1, X) n’est pas une base deF. Onapplique alors l’algorithmedeGram-Schmidt`a1etX, pour obtenir une baseGtelle que (A, B,G) soit une bon deE. ⊥ Remarque.On peut aussi remarquer queP∈Fssi pour toute base (v 1 ,∙ ∙ ∙, v n ) deF, (P|v 1 ) =∙ ∙ ∙= (P|v n ne’usdntCe).sebaennodicels´me´eest´leurogohilanlrefitro’tdev´eri=0(ilsuffi)