Estimateurs au maximum de vraisemblance

Description

Chapitre 9 Estimateurs au maximum de vraisemblance Avec ce chapitre nous commenc¸ons l'etude de quelques outils centraux de la statistique. 9.1 Estimateur Definition : Soit n > 0 un entier. Nous appellerons n-echantillon d'une loi L toute suite X1, . . ., Xn de v.a. independantes de loi L. La statistique-pratique est un ensemble de techniques de traitement de donnees qui, face a la donnee de n nombres (ou plus generalement vecteurs) x1, . . ., xn produits par “echantillonage” - c'est-a-dire selon un protocole experimental propre au domaine considere (sociologie, controle de qualite, etc.) - choisit un n-echantillon au sens de la definition ci-dessus pour modele mathematique suggerant un traitement de ces donnees. Prenons l'exemple d'un referendum (ou d'un plebicite) ou les electeurs ne peuvent que repondre par “oui” ou “non” (les abstentions etant sans influence sur le resultat, ce qui exclut les cas ou il y a un quorum a atteindre). Choisissons n = 1000, et posons xi = 1 si la i-eme personne interrogee declare savoir ce qu'elle ira voter et vouloir voter “oui” (si elle declare ne pas savoir ou ne pas envisager de voter, on ecarte cette reponse de la presente analyse) et xi = 0 si elle declare vouloir voter “non”.

• exemples distribution uniforme


• methode du maximum de vraisemblance


• ?3 ∑n


• vraisemblance


• e?? ?


• loi continue


• estimateur


• densite

Sujets

• Vraisemblance
• Estimateur
• Densité
• maths

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 92
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 9

Estimateursaumaximumde vraisemblance

Aveccechapitrenouscommen¸consl’´etudedequelquesoutilscentrauxdelastatistique.

9.1 Estimateur

De´finition:Soitn >0 un entier. Nous appelleronsnoliu’enilntndlo-´haecLtoute suiteX 1 , .. .,X n dev.a.inde´pendantesdeloiL. Lastatistique-pratiqueestunensembledetechniquesdetraitementdedonn´eesqui,facea`ladonne´e denserbmongsulpuo()setrueral´en´tvecemenx 1 , . . .,x n ”-geesc’ilntnalo´“raahceudorpstipseleno-ta`d-ri unprotocoleexp´erimentalpropreaudomaineconside´r´e(sociologie,contrˆoledequalit´e,etc.)-choisitun nadelsdenioitfin´essed-icnomruopsuahtn´-ceansuliolteaintmeded`elemath´ematiqeuusgge´artnnurt cesdonne´es. Prenonsl’exempled’unre´fe´rendum(oud’unple´bicite)ou`lese´lecteursnepeuventquer´epondrepar “oui”ou“non”(lesabstentions´etantsansinfluencesurlere´sultat,cequiexclutlescasou`ilyaun quorum`aatteindre).Choisissonsn= 1000, et posonsx i = 1 si lai´gee´dcealerme`-epersonneinterro savoircequ’elleiravoteretvouloirvoter“oui”(siellede´clarenepassavoirounepasenvisagerdevoter, on´ecartecettere´ponsedelapr´esenteanalyse)etx i 0sielled=uoolriove´lcrave.r“ten”no Cettesituationsimpleestg´en´eralementmod´elise´eparun1000-e´chantillonX 1 , .. .,X 1000 d’une loi de BernoulliB(1, pstues”eitniselem),etonconsid`qere’leunipoenoienstvefaduurui“op≥0.5. Onestalorsconfronte´auproble`me“d’estimer”lavaleurdepnoceisidomelle`d.nsDaliil)i(Bernoud´er´eic laloidesgrandsnombresvienta`notresecours:elleassurequelim n→+∞ (X 1 +. . .+X n )/n=E(X 1 ) =p; on dit dans ce cas quepˆ := (X 1 +. . .+X n )/nest unestimateurerte`duparamp; en pratique, on choisit ∗ alorsp=p:= (x 1 +. . .+x 1000 )/1000. Nousnousint´eresseronsicia`laequrietm´rapauetsqiatits,iolalu`oL=L(θtˆetrecatenuepeuer)-r act´erise´parunparam`etreθ, qui est un nombre ou un vecteur. Ainsi, par exemple, siX i ❀B(1, p), alors θ=pest un nombre, mais siX i ❀N(µ, σ), alorsθ= (µ, σ) est un vecteur, tout comme dans le cas d’un d´epipe´o`ul’onpeutchoisirθ= (p 1 , . . . , p 5 ) (etp 6 = 1−(p 1 +. . .+p 5 )) etp k :=P θ ({X i =k}). ˆ ˆˆ D´efinition:On dit queθ: (x 1 , . . . , x n )7→θ n :=θ(x 1 , . . . , x n ) est unestimateurconvergeant versθsi ˆ et seulement si , en loi, on aθ= lim n→+∞ θ(X 1 , . . . , X n ) pour toute suite de v.a.X i d´inpeneadtnsed,e loiL(θ).

9.2 Vraisemblance 9.2.1Heuristiqueetde´finition Nousavonsvuquelaloidesgrandsnombresfournit“spontane´ment”unestimateurdel’espe´rance d’uneloi,maissil’onrechercheunem´ethodeunpeuge´ne´ralepourdevinerunestimateur,laudohed´mte maximum de vraissemblance.Eceoinvleciinprepic:caeffintveouesgi´etartsenutse ∗ ∗ Siune´chantillonageaproduitlasuitefiniex. .,, .xdeserembnocano’uqtedtisiohelismod´er 1n cette situation par unnnolahc´e-litnX 1 . .,, .X n edolineadtnseina.epd´v.deL(θ), et si le choix de la 43