Fiche 9 : Dénombrement

Description

Fiche Cours
Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S
Fiche 9 : Dénombrement
Plan de la fiche
I - Les listes
II - Arrangements
III - Permutations
IV - Combinaisons
V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement
I - Les listes
p-liste
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).
Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont
des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste
Un triplet (a,b,c)3-liste
Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.
P,P,F,F ≠ P,F,P,F( ) ( )
Ne pas confondre avec les ensembles : P,P,F,F = P,F car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas { } { }
plusieurs fois le même élément.
Dénombrement
pLe nombre de p-listes prises parmi n objets est n car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
4Dans l’exemple précédent, il y a 2 = 16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble {P,F }.
Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble {0,1, 2, ...

Sujets

• exercice
• cours
• exercices

Informations

• Publié par: Thean
• Nombre de lectures: 286
• Langue: Français

Extrait

Nº : 32009

Plan de la fiche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Fiche 9 : Dénombrement

I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement

I - Les listes

p -liste E est un ensemble fini de n éléments ( n entier, n ≥ 1 ) et p un entier (p ≥ 1) . Une p -liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).

Série S

Exemple On joue quatre fois à pile ou face,et on note à chaque lancer le résultat obtenu ( P pour pile et F pour face). Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F , par exemple (P, P, F, F) résultats sont: les des 4- listes de l’ensemble {P, F} . Couple, triplet Un couple (a,b) est une 2- liste Un triplet (a,b,c) est une 3- liste

Ordre Dans une liste,on tient compte de l’ordre. ( P, P, F, F ) ≠ ( P, F, P, F )

Ne pas confondre avec les ensembles: { P, P, F, F } = { P, F }  cardans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas plusieurs fois le même élément.

Dénombrement p Le nombre de p- listes prises parmi n objets est n car : • il y a n façons de choisir le premier élément ; • il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ; • il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ;et ainsi de suite…

Exemple 4 Dans l’exemple précédent,il y a 2=16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble { P, F } . Un code de téléphone portable est une 4- liste de chiffres pris dans l’ensemble { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }  caron tient compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.

4 Le nombre de codes est donc 10=10000 .

© Tous droits réservés Studyrama 2008

Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

1

Nº : 32009

II - Les arrangements

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

p- arrangement E est un ensemble fini comportant n éléments ( n entier, n ≥ 1 ) et p est un entier (p ≥ 1) .

Un p- arrangement d’éléments de E est une p- liste d’éléments de E qui sont deux à deux distincts.

Dénombrement Le nombre de p- arrangements de n objets est n× ( n−1 ) × ( n−2 ) ×..................× ( n−p+1 ) car : • il y a n façons de choisir le premier élément ; • il y a n – 1 façons de choisir le second élément (les répétitions ne sont pas autorisées) ; • il y a n – 2 et ainsi de suite…pas autorisées) :façons de choisir le troisième élément (les répétitions ne sont •… n – (p – 1) façons de choisir le p- ième élément (on en a tiré p – 1 auparavant). Ce nombre correspond à la touche nPr des calculatrices.

III - Permutations

Permutations de E E est un ensemble fini de n éléments ( n entier, n ≥ 1 ) Une permutation de E est un n- arrangement d’éléments de E . On peut aussi dire que c’est une n- liste d’éléments deux à deux distincts de E .

Exemple Les six permutations de E= { a, b, c } sont : ( a, b, c ) , ( a, c, b ) , ( b, a, c ) , ( b, c, a ) , ( c, a, b ) , ( c, b, a )

Série S

Attention aux notations : E est un ensemble, ses éléments sont énumérés entre deux accolades, les permutations de E sont des listes, ellessont notées entre deux parenthèses.

Dénombrement Le nombre de permutations de E est le nombre de n- arrangements de E , il est doncégal à : n× ( n−1 ) × ( n−2 ) ×...........× ( n−n+1 ) =n× ( n−1 ) × ( n−2 ) ×...........× ( 1 ) .

Factorielle Définition : n! est l’entier naturel défini par : 0! = 1 et ( n+1 ) != ( n ! ) × ( n+1 ) pour tout entier naturel n . Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120 …

On démontre par récurrence que n× ( n−1 ) × ( n−2 ) ×...........× ( 1 ) =n !.

Par conséquent le nombre de permutations d’un ensemble comportant n éléments est n! .

IV - Les combinaisons

p- combinaison denobjets Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments (0 ≤ p ≤ 1) . La distinction entre p- arrangements et p- on ne tient pas compte de l’ordre.combinaisons est que dans la seconde,

Dénombrement  n  Le nombre de p- combinaisons de n objets est noté .   p  

© Tous droits réservés Studyrama 2008

Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

2

Nº : 32009

Lire « p parmi n »

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Formules :  n  n × (n − 1) × (n − 2) × ........................ × (n − p + 1) =   p p!    n  n ! =   p p!×(n−p)!  

 n  Les nombress’appellent aussi les nombres binomiaux.   p   Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices.

► À SAVOIR Propriétés des nombres binomiaux Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n :  n  • estun entier ;   p    n   n   n   n  • = ; =1 ; =n        p n−p01       

Série S

Formule de Pascal :pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel p tel que 1 ≤ p ≤ n – 1 :  n   n−1   n−1  = +     p pp−1    

V - Le binôme de Newton

► À SAVOIR Formule de binôme de Newton n n nn n   n 0   n−1 1   n−2 2   0 n ( a+b ) =a b+a b+a b+...+a b      0 12 n      k=n n  n  n − k k On note : ( a+b ) =a b . ∑   k=0 k   Elle est souvent utilisée dans le cas a = x et b = 1 : n n n nn n   n   n−1   n−2   n−k   ( x+1 ) =   x   x   x ...   x ...   + + ++ ++ 0 12 k n       k=n n n   n−k On note ( x+1 ) =x . ∑   k = 0 k  

Nombre de parties d’un ensemble En posant x = 1 dans la formule précédente,il vient : n  n   n   n   n   n  n n−1 n−2 n−k 1+1=1+1+1+...+1+...+. ( )       0 12 k n       k=n  n   n   n   n   n   n  n Soit 2= + + +...+ +...+ =.       ∑   0 1 2k n k=0 k       

© Tous droits réservés Studyrama 2008

Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

3

Nº : 32009

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

n Ainsi 2 est la somme : • du nombre de parties de E à 0 élément (l’ensemble vide) ; • avec le nombre de parties de E à 1 élément (les singletons) ; • avec le nombre de parties de E à 2 éléments (les paires) ; • avec le nombre de parties à n éléments (la partie pleine). n En conclusion, 2 représente le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.

VI - Principe fondamental du dénombrement

Lorsqu’il s’agit de choisir p éléments parmi n doit se poser les deux questions suivantes :, on • Peut-on tirer deux fois le même élément ? • L’ordre dans lequel on choisit les éléments est-il important ? Ce tableau récapitule tous les cas que l’on peut rencontrer à l’examen et qui sont au programme.

Avec ordre Sans ordre

Avec répétition

liste hors programme

Sans répétition

arrangement combinaison

« Principes fondamentaux »,Méthode :fiche exercices n°9 « Dénombrement ». fiche exercices n°9 « Dénombrement ».Méthode :« Principe de l’événement contraire », Méthode :« Comprendre un énoncé »,fiche exercices n°9 « Dénombrement ».

© Tous droits réservés Studyrama 2008

Série S

Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

4