Résumé de Math Sup : Matrices

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• Publié par: abubidur
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Résumé de Math Sup : Matrices

I  Opérations dansM n,p (K) Une matrice ànlignes etpcolonnes (netpentiers naturels non nuls) est une application deJ1, nK×J1, pKdansKqui à un couple d’indices(i, j)associe un élément deKnotéa i,j . Une matrice se noteA= (a i,j ) 16i6n, 16j6p . 1) Structure deKespace vectoriel deM n,p (K). Addition de deux matrices.(a i,j ) 16i6n, 16j6p + (b i,j ) 16i6n, 16j6p = (a i,j +b i,j ) 16i6n, 16j6p . Multiplication par un scalaire.λ(a i,j ) 16i6n, 16j6p = (λa i,j ) 16i6n, 16j6p . Muni de ces deux lois,M n,p (K)est unKespace vectoriel de dimensionnpet en particulierM n (K)est unKespace 2 vectoriel de dimensionn. La base canonique deM n,p (K)est la famille des matrices élémentaires(E i,j ) 16i6n, 16j6p oùE i,j est la matrice dont le coefficient lignek, colonnelvaut1si(k, l) = (i, j)et0sinon. Une écriture abrégée de son terme général estδ k,i δ l,j . 2) Produit de deux matrices. SoientA= (a i,j ) 16i6n, 16j6p ∈M n,p (K)etB= (b i,j ) 16i6p, 16j6q ∈M p,q (K). Le produitABest la matrice de format (n, q)dont le terme général lignei, colonnej,(i, j)∈J1, nK×J1, qK, est p X c i,j =a i,k b k,j . k=1 Dans le cas des matrices non carrées, ce produit n’est pas une loi interne. Il est «associatif »,non «commutatif »en général et « distributif sur l’addition ». Théorème.(M n (K),+,×)est un anneau, non commutatif pourn>2. L’ensemble des matrices inversibles pour×est notéGL n (K).(GL n (K),×)est un groupe, non commutatif pourn>2. Dangers principaux : •On peut avoirAB=0sans que niA, niBne soient nuls :AB6⇒A=0ouB=0. •Plus généralement, l’égalitéAB=ACn’entraîne pas en généralB=Cmais siAest carrée et inversible, Aest simplifiable. •AB=06⇒BA=0. 2 22 22 •Les identités(A+B) =A+2AB+Bet plus généralement le binôme deNewton, et aussiA−B= (A−B)(A+B) ne sont vraies que siAetBcommutent. •La somme de 2 matrices inversibles n’est en général pas inversible. Théorème.SoitA∈M n (K). Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1)Aest inversible2) detA6=03)Aest inversible à gauche 4)Aest inversible à droite5)A6)est simplifiable à gaucheAest simplifiable à droite 7) rgA=n8) KerA={0}9) ImA=M n,1 (K) 10) Pour tout vecteur colonneB, le systèmeAX=Badmet une unique solution oùXest un vecteur colonne inconnu. (KerAest l’ensemble des vecteurs colonnesXtels queAX=0et ImAest l’ensemble des vecteurs colonnes de la formeAX oùXest un vecteur colonne quelconque.) Remarque.AB=06⇒BA=0maisAB=I n ⇒BA=I n . Produit de deux matrices élémentaires. SoientE i,j une matrice élémentaire de format(n, p)etE k,l de format(p, q)alors E i,j ×E k,l =δ j,k E i,l . Demonstration.Le coeffient ligneu, colonnevde ce produit vaut p p X X δ u,i δ w,j δ w,k δ v,l =δ u,i δ v,l δ w,j δ w,k =δ j,k δ u,i δ v,l w=1 w=1 qui est le coefficient ligneu, colonnevde la matriceδ j,k E i,l . t 3) Transposition.SoitA= (a i,j ) 16i,j6n une matrice de format(n, p). La transposée deAnotéeAest la matrice de format(p, n)dont le coefficient lignei, colonnej, vauta j,i . t tt tt tt Théorème.(A) =A,(A+B) =A+B,(λA) =λ A. La transpositon est un isomorphisme de l’espace vectoriel (M n,p (K),+, .)sur l’espace vectoriel(M p,n (K),+, .).

 c JeanLouis Tous droits réservés.Rouget, 2009.

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