C R Acad Sci Paris Ser I Topologie Topology Algébre homologique Homological Algebra

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370 Topologie/Topology (Algébre homologique/Homological Algebra) Une décomposition prismatique de l'opérade de Barratt–Eccles Clemens Berger, Benoit Fresse Laboratoire J.A. Dieudonné, Université de Nice, Parc Valrose, 06108 Nice cedex 02, France Reçu le 8 mai 2002 ; acceptée après révision le 1er juillet 2002 Note présentée par Jean-Pierre Serre. Résumé L'opérade de Barratt–Eccles est une opérade simpliciale formée par les constructions bar homogènes des groupes symétriques. On montre que ces ensembles simpliciaux se décomposent en réunions de prismes indexés par des surjections. On observe que les complexes cellulaires définis par cette structure prismatique s'identifient aux composantes de l'opérade des surjections (l'opérade introduite par J. McClure et J. Smith dans leur travaux sur la conjecture de Deligne). Pour citer cet article : C. Berger, B. Fresse, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370. ? 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS A prismatic decomposition of the Barratt–Eccles operad Abstract The Barratt–Eccles operad is a simplicial operad formed by the classical homogeneous bar construction of symmetric groups. We prove that these simplicial sets decompose as unions of prisms indexed by surjections. We observe that the cellular complexes given by this prismatic structure are nothing but the components of the surjection operad (the operad introduced by J.

• opérade des surjections


• construction bar homogène du groupe symétrique


• simplexe fondamental


• prismes ?u


• structure cellulaire


• tr ·tc


• morphisme


• quasi-isomorphisme d'opérades fn

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• Elsevier
• Dieudonné
• Berger
• Morphisme

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370

Topologie/Topology (Algébre homologique/Homological Algebra)

Une décomposition prismatique de l’opérade de Barratt–Eccles

Clemens Berger, Benoit Fresse Laboratoire J.A. Dieudonné, Université de Nice, Parc Valrose, 06108 Nice cedex 02, France er Reçu le 8 mai 2002 ; acceptée après révision le 1juillet 2002 Note présentée par JeanPierre Serre.

Résumé L’opérade de Barratt–Eccles est une opérade simpliciale formée par les constructions bar homogènes des groupes symétriques. On montre que ces ensembles simpliciaux se décomposent en réunions de prismes indexés par des surjections. On observe que les complexes cellulaires définis par cette structure prismatique s’identifient aux composantes de l’opérade des surjections (l’opérade introduite par J. McClure et J. Smith dans leur travaux sur la conjecture de Deligne).Berger, B. Fresse, C. R.: C.Pour citer cet article Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370.
2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

A prismatic decomposition of the Barratt–Eccles operad Abstract The Barratt–Eccles operad is a simplicial operad formed by the classical homogeneous bar construction of symmetric groups. We prove that these simplicial sets decompose as unions of prisms indexed by surjections. We observe that the cellular complexes given by this prismatic structure are nothing but the components of the surjection operad (the operad introduced by J. McClure and J. Smith in their work on the Deligne conjecture).To cite this article: C. Berger, B. Fresse, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370.
2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

The purpose of this Note is to discuss the relationship between theBarratt–Eccles operadand the surjection operad. We prove that the surjection operad arises from a prismatic decomposition of the Barratt– Eccles operad. This work sheds a new light on results of McClure and Smith (cf. [5,6]). 1. The Barratt–Eccles operad. –We follow the conventions of our former article (cf. [2]). We work in the category of differential gradedZmodules. The simplicial Barratt–Eccles operad is denoted byW. The letterEdenotes the normalized differential graded operad associated toW. The simplicial setW(r )is the homogeneous bar construction of the symmetric group r . Hence, anndimensional simplex inW(r )is an n+1tuple of permutations(w 0 , . . . , w n )∈W(r ) n . We haved i (w 0 , . . . , w n )=(w 0 , . . . , w  i , . . . , w n )and

Adresses email :[e-mail] (C. Berger); [e-mail] (B. Fresse).
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s j (w 0 , . . . , w n )=(w 0 , . . . , w j , w j , . . . , w n ). The differential graded moduleE(r )is the normalized chain complex ofW(r ). We refer to the literature for more details about the operad structure ofW(r )andE(r ). The surjection operad is denoted by the letterX. We recall that the moduleX(r ) d is generated by thenon degenerate surjectionsu: {1, . . . , r+d} → {1, . . . , r}. A surjection is nondegenerate ifu(i+1)=u(i), fori=1, . . . , r+d−1. Let us mention that the degree 0 component ofE(r )andX(r )is nothing but the regular representation of the symmetric group:E(r ) 0 =X(r ) 0 =Z[ r ]. 2. CellularEinfinity structures. –The Barratt–Eccles operad has a filtrationF 1 W⊂F 2 W⊂∙ ∙⊂ ∙ F n W∙ ∙ ⊂⊂ ∙F ∞ W=Wby simplicial operadsF n Wwhose topological realization is equivalent to the littlencubes operad(cf. [1]). We have a cellular structure which refines this filtration and which we call e indexed the cellularEinfinity structure of the Barratt–Eccles operad. The cellsF n ij ,w W(r )⊂W(r )ar by pairs consisting of a collection of nonnegative integersn ij ∈Nand of a permutationw∈ r . We have  explicitlyF n W(r )=F ,w W(r ). We have an induced cellular structure and an induced filtration n ij <n n ij on the differential graded operadE. The surjection operad is also equipped with a cellularEinfinity structure. The reader is refered to the article of McClure and Smith (cf. [6]).

T HEOREM . –There are chainmorphisms TR:E→Xand TC:X→Esuch that: (1)in degree0, the morphisms TR and TC are the identity ofZ[ r ]; ave TRTCd (2)we h∙ =I X ; (3)the morphisms TR and TC preserve the cellularEinfinity structures and the operad filtrations; (4)the map TR is an operad morphism.

The mapTR:E→Xis the morphism introduced in the article [2]. Assertion (4) is the main result of article [2]. The purpose of this Note is to construct the sectionTC:X→EofTR:E→X.

L EMMA . –There is a mapRId. This map H:E(r ) ∗ →E(r ) ∗+1 such that TC∙T= E +H∙δ+δ∙H preserves the cellularEinfinity structure ofE.

This lemma is a consequence of a general property. LetT:E(r ) ∗ →E(r ) ∗ be a chain map which is the identity morphism in degree 0. We have in fact an explicit homotopyH:E(r ) ∗ →E(r ) ∗+1  d i 0 , . . . , w defined byH (w d )= i=0 (−1) (T(w 0 , . . . , w i ), w i , . . . , w d ). To be more precise, the expression T (w 0 , . . . , w i )represents a sum ofidimensional simplices inW(r ). These arei+1tuples of permutations which can be concatenated with(w i , . . . , w d ). This process gives a sum ofd+1dimensional simplices in W(r )and hence an element of E(r ) ∗+1 . The relationT=Id E +H∙δ+δ∙His readily verified. In addition, we observe thatHpreserves the cellular structure ofEifTsatisfies this property. The next theorem is an immediate corollary of the results above:

HEOREM T .–The morphism TR:E→Xinduces a quasiisomorphism of operadsF n TR:F n E→F n X, forn=1,2, . . . ,∞.

Le but de cette Note est de préciser la relation entre deux opéradesEinfinis : l’opérade de Barratt– Eccles, d’une part, l’opérade des surjections, d’autre part. On complète les résultats obtenus dans l’article [2]. On montre que l’opérade des surjections provient d’une décomposition prismatique de l’opérade de Barratt–Eccles. Ce travail donne un nouveau point de vue sur des résultats de McClure et Smith (cf. [5,6]).

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Pour citer cet article : C. Berger, B. Fresse, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 365–370

1. Résultats 1.1. L’opéradede Barratt–Eccles On reprend les conventions de notre article (cf. [2]). On travaille dans la catégorie desZmodules différentiels gradués. L’opérade de Barratt–Eccles simpliciale est notéeW. L’opérade différentielle graduée associée est désignée par la lettreE. L’ensemble simplicialW(r )est la construction bar homogène du groupe symétrique r . Ainsi, les simplexes de dimensionndeW(r )sont lesn+1uplets de permutations(w 0 , . . . , w n )∈W(r ) n . On ad i (w 0 , . . . , w n )=(w 0 , . . . , w  i , . . . , w n )ets j (w 0 , . . . , w n )= (w 0 , . . . , w j , w j , . . . , w n ). Le module différentiel graduéE(r )est le complexe des chaînes normalisées de W(r ). On renvoie le lecteur à la littérature pour plus de détails sur les structures d’opérades deW(r )et deE(r ). L’opérade des surjections est désignée par la lettreX. On rappelle que le moduleX(r ) d est engendré par les surjections nondégénéréesu: {1, . . . , r+d} → {1, . . . , r}. On dit qu’une surjectionuest nondégénérée si on au(i+1)=u(i), pouri=1, . . . , r+d−1. On note que la composante de degré 0 deE(r )et deX(r )est la représentation régulière du groupe symétriqueE(r ) 0 =X(r ) 0 =Z[ r ]. 1.2. StructurescellulairesEinfini On a une filtration de l’opérade de Barratt–EcclesF 1 W⊂F 2 W⊂ ∙∙ ∙⊂F n W⊂ ∙∙ ∙⊂F ∞ W=W par des opérades simplicialesF n Wdont la réalisation topologique est équivalente à l’opérade des petitsncubes(cf. [1]). Cette filtration se raffine en une structure cellulaire que l’on désignera comme lastructure cellulaireEinfinide l’opérade de Bar ratt–Eccles. Les cellulesF n ij ,w W(r )⊂W(r )sont indexées par les paires constituées d’une collection d’entiersn ij ∈Net d’une permutationw∈ r . On  (r )=F n a explicitementF n W n ij <n ij ,w W(r ). On considère la structure cellulaireEinfini induite sur l’opérade différentielle graduéeE. Le but de cette Note est d’établir le théorème suivant : T HÉORÈME 1.3. –On a des morphismes de complexes de chaînes TR:E→Xet TC:X→Etels que: (1)en degré0, les morphismes TR et TC sont l’identité deZ[ r ]; (2)on a TR∙TC=Id ; X (3)le morphisme composé TC∙TR:E→Epréserve la structure cellulaireEinfini deE; (4)l’application TR est un morphisme d’opérades. L’applicationTR:E→Xest le morphisme introduit dans l’article [2]. L’assertion (4) du théorème est le résultat principal de l’article [2]. L’applicationTC:X→Eest définie dans la Section 3 de cette Note. L’assertion (2) résulte d’un énoncé plus précis (cf. Lemme 3.3). On a une structure cellulaireEinfini sur l’opérade des surjections qui a été introduite par McClure X(r )rs est l’image de et Smith. On prouve dans l’article [2] que le moduleF n ij ,w défini par ces auteu FE(r )par le morphismeTR:E→X(cf. [2, Lemme 1.6.5]). Cette propriété se déduit aussi de la n ij ,w compatibilité des structures cellulaires avec les structures d’opérades. Le lecteur vérifiera facilement en llulaires et les arguments de l’artic(r ) reprenant la définition des structures cele [2] que l’image deF n i ,w X j par le morphismeTC:X→Eest contenue dansFE(r ). Ceci prouve l’assertion (3) du théorème. n ij ,w On a aussi la propriété suivante : ion telleque TCTRId L EMME 1.4. –On a une applicatH:E(r ) ∗ →E(r ) ∗+1 ∙ = E +H∙δ+δ∙H. Cette application préserve la structure cellulaireEinfini deE. Démonstration. –Ce lemme est conséquence d’un résultat plus général : on se donne un mor phisme de complexesT:E(r ) ∗ →E(r ) ∗ qui est l’identité en degré 0. On a alors une homotopie naturelleH:E(r ) ∗ →E(r ) ∗+1 entreTet l’identité deE. Explicitement, on poseH (w 0 , . . . , w d )= 367

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 d i (T (w 0 , . . . , w i ), w i )représente une somme de simplexes 0 (−1) i , . . . , w d ). L’expressionT (w 0 , . . . , w i= de dimensionidansW(r ). Ce sont desi+1uplets de permutations que l’on concatène avec(w i , . . . , w d ). On obtient ainsi des simplexes de dimensiond+1 dansW(r )et donc un élément deE(r ) ∗+1 . La rela d sevérifie sa tionT=I E +H∙δ+δ∙Hns difficultés. On constate également queHpréserve la structure cellulaireEinfini deEsiTa cette propriété. Les résultats cidessus ont pour corollaire immédiat : HÉORÈME T 1.5.–Le morphisme TR:E→Xinduit un quasiisomorphisme d’opéradesF n TR: F n E→F n X, quelque soitn=1,2, . . . ,∞.

2. Ladécomposition prismatique de l’opérade de Barratt–Eccles 2.1. Leprisme associé à une surjection On fixe une surjectionu∈X(r ) d . On noted k le nombre d’occurences dek∈ {1, . . . , r}dans la suite (u(1), . . . , u(r+d)). (On a de la sorted+r=d 1 + ∙ ∙ ∙ +d r .) d 1 −1d r −1d 1 −1 On a un prismeτ u :× ∙ ∙ ∙ ×→W(r )associé àu. L’image d’un simplexeσ∈(× d r −1 ∙ ∙ ∙ × ) n dansW(r ) n est déterminée par l’image de ses sommets(σ (0), . . . , σ (n)). On a explicitement d 1 −1d r −1 τ u (σ )=(τ u (σ (0)), . . . , τ u (σ (n)). Un sommet du prisme× ∙ ∙ ∙ ×est spécifié par unruplet d’entiers(x 1 , . . . , x r )tels que 0x k d k −1. Le sommet correspondantτ u (x 1 , . . . , x r )∈W(r ) 0 est la permutation de(1, . . . , r )qui est définie par la soussuite de(u(1), . . . , u(r+d))formée par les occurrences numérosx 1 +1, . . . , x r +1 des valeurs 1, . . . , r. 1 On considère par exemple la surjection(u(1), . . . , u(5))=(1,2,3,1,2). Le prisme associéτ u :× 1 0 ×→W(3)se représente par la figure suivante :

(0,1,0) (1,1,0) (1,3,2) (3,1,2) → (0,0,0) (1,0,0) (1,2,3) (2,3,1) Les résultats cidessous montrent que ces prismes définissent une décomposition cellulaire deW(r ). La preuve du Lemme 2.3 (cité en remarque) est omise. ont les prismesτ v associés aux soussuites(v(1), . . . , v(r+e)) L EMME 2.2. –Les faces d’un prismeτ u s de(u(1), . . . , u(r+d)). e a Démonstration. –On considère par exemple la composition dτ u vec le morphisme de face x d 1 −1d k −2d r −1d 1 −1d k −1d r −1 1× ∙ ∙ ∙ ×d× ∙ ∙ ∙ ×1:× ∙ ∙ ∙ ×× ∙ ∙ ∙ ×→× ∙ ∙ ∙ ×× ∙ ∙ ∙ × . d 1 −1d k −2d r −1 Ce morphisme composé s’identifie à un prismeτ v :× ∙×∙ ∙×∙ ∙× ∙→W(r ). La surjectionvs’obtient en omettant lax+1ième occurrence dekdans la suite(u(1), . . . , u(r+d)). On e 1 −1e r −1d 1 −1 généralise facilement cette construction à tous les sousprismes×× ∙∙ ∙⊂× ∙∙ ∙× d r −1 . L EMME 2.3. – e 1 −1e r −1d 1 −1d r −1 (1)On aτ v (× ∙ ∙ ∙ × )⊂τ u (× ∙ ∙ ∙ × )si et seulement si(v(1), . . . , v(r+e))est une soussuite de(u(1), . . . , u(r+d)). Le prismeτ v est alors une face deτ u . (2)Les images des prismesτ u ,u∈X(r ), recouvrent l’ensemble simplicialW(r ). Les prismesτ u , u∈X(r ), s’intersectent selon des réunions de faces.

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2.4. Lesimplexe fondamental associé à une surjection On reprend le prisme associé à une surjection donnéeu: {1, . . . , r+d} → {1, . . . , r}. On spécifie un d 1 −1d r −1 simplexe fondamentalparmi les simplexes maximaux de×∙ ∙× ∙. Un simplexe maximal d 1 −1d r −1 σ∈(∙ ∙ ×× ∙ ) d est déterminé par une suite d’entiersk i ∈ {1, . . . , r},i=0, . . . , d−1. On (i) (i)(i+1) (i) d 1 −1d r −1 considère la suite de sommets. . . , x(x , r )∈(× ∙ ∙ ∙ × ) 0 telle quex=x+1 sik=k i 1 k k (i+1) (i) d 1 −1d r −1 etx=xsinon. On a alors un et un seul simplexe maximal dans×∙ ∙× ∙dont les k k (i) (i) sommets sont les(x ,. . . , x r )(cf. [3, Section II.5]). Le simplexe fondamental deτ u est le simplexe 1 maximal associé à la suite(k 0 , . . . , k d−1 )formée par lescésuresde la surjectionu. On obtient cette suite en retirant de(u(1), . . . , u(r+d))la dernière occurrence de chaque valeurk∈ {1, . . . , r}(cf. [2, §1.2.2]). Le simplexe fondamental associé à la surjectionu=(1,2,3,1,2)du Paragraphe 2.1 a pour sommets ((1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)). Remarques2.5. – On peut considérer le complexe cellulaire associé à notre décomposition prismatique deW(r ). Ce complexe est isomorphe au moduleX(r ). Le Lemme 3.2 montre essentiellement que la différentielle de l’opérade des surjections, définie dans l’article [2], correspond à la différentielle cellulaire. Outre les travaux de McClure et Smith (cf. [5,6]), l’opéradeF 2 Xapparaît (sous la notationM) dans le travail de Kontsevich et Soibelman sur la conjecture de Deligne (cf. [4]). La réunion des images des prismes indexés par les surjections deF 2 Xest la collection simplicialeFde l’article [5]. 3. Lesmorphismes 3.1. Lemorphisme d’Eilenberg–Zilber On définit l’élémentTC(u)∈E(r ) d associé à une surjectionu∈X(r ) d . On prend la somme alternée des d 1 −1d r −1 simplexes maximaux du prismeτ u :× ∙ ∙ ∙ ×→W(r ) d . Un simplexe a un signe positif si son orientation naturelle concorde avec l’orientation du simplexe fondamental, négatif sinon. Ce morphisme diffère de l’application d’Eilenberg–Zilber classique par un signe. Plus explicitement, l’application d 1 −1d r −1 lber associe au géne unesomme de simplexes d’Eilenberg–Zi érateurdN d 1 −1 ( )⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗N d r −1 ( ) d 1 −1d r −1 dansN d (× ∙ ∙ ∙ × ). On prend l’image de cette somme parN ∗ (τ u ). C’est±TC(u)∈E(r ) d . Le signe est déterminé par l’orientation du simplexe fondamental. Ainsi, pour l’exemple du Paragraphe 2.1, on obtientTC(1,2,3,1,2)=((1,2,3), (2,3,1), (3,1,2))−((1,2,3), (1,3,2), (3,1,2)). L EMME 3.2. –L’application TC:X→Eest un morphisme de complexes. d k −1 Démonstration. –On identifie l’ensemble simplicialau simplexe de dimensiond k −1 qui d 1 −1d r −1d 1 −1 soriel⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗représente leN l’engendre. Ainsi, le produit tene générateur d d 1 −1 ( )⊗ d r −1 . ∙ ∙ ∙ ⊗N d r −1 ( ) L’application d’Eilenberg–Zilber classique est un morphisme de complexes. La somme des faces de d 1 −1d r −1d 1 −1d r −1 ∙ ∙⊗⊗ ∙dansN ∗ ( )⊗ ∙∙ ∙⊗N ∗ ( )est donc envoyée sur la différentielle de d 1 −1d k −1d r −1 TC(u)dansN ∗ (W(r )). L’image de la face∙ ∙⊗ ∙⊗d x ( )∙ ∙⊗ ∙⊗par le morphisme d 1 −1d k −2d r −1 d’Eilenberg–Zilber correspond également à l’image du générateur⊗∙ ∙⊗ ∙∙ ∙⊗ ∙⊗ d 1 −1d k −2d r −1 ( )⊗Nplication composée du morphisme deN d 1 −1 ∙ ∙ ∙ ⊗ d k −2 ( )⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗N d−1 ( )par l’ap r d 1 −1d k −2d r −1d 1 −1 d’Eilenberg–ZilberN ( )⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗N (× ∙ ∙ ∙ × d 1 −1d k −2 ( )⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗N d r −1 ( )→N d−1 d k −2d r −1x d 1 −1d k −2 × ∙ ∙ ∙ × )et du morphisme simplicialN ∗ (1× ∙ ∙ ∙ ×d× ∙ ∙ ∙ ×1):N ∗ (× ∙ ∙ ∙ ×× d r −1d 1 −1d k −1d r −1d 1 −1d k −1 ∙ ∙ ∙ × )→N ∗ (× ∙ ∙ ∙ ×× ∙ ∙ ∙ × ). Par suite, une face⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗d x ( )⊗ d r −1 ∙ ∙ ∙ ⊗donne un élément de la formeTC(v)dansN ∗ (W(r )): on considère la surjectionvtelle que x τ v =τ u ∙1× ∙ ∙ ∙ ×d× ∙ ∙ ∙ ×1 (cf. Lemme 2.2). Les surjectionsvainsi obtenues sont les termes de la différentielle deudans le complexe des surjectionsX(r )(cf. [2, §1.2.3]). On vérifie que la différence entre d 1 −1d k −1d r −1 le signe devdans la différentielle deu∈X(r )et le signe de⊗ ∙∙ ∙ ⊗d x ( )⊗ ∙∙ ∙ ⊗ d 1 −1d r −1d 1 −1d r −1 dans la différentielle de⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗∈N ∗ ( )⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗N ∗ ( )correspond à la différence d’orientation entre les simplexes fondamentaux deτ u et deτ v . Ceci termine la preuve du lemme. 369