CAPES de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee Algebre et probabilites

Joseph Fourier Preparation

Description

Niveau: Supérieur
CAPES de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee 2007-2008 Algebre et probabilites Fiche 11 : Algebre (5) Polynomes « Ma cohabitation passionnee avec les mathematiques m'a laisse un amour fou pour les bonnes definitions, sans lesquelles il n'y a que des a-peu-pres. » Gustave Flaubert, Vie de Henry Brulard 1 Rappels de cours On se donne un sous-corps K du corps C des nombres complexes et on note K[X] la K-algebre des polynomes en une indeterminee X sur K. L'indeterminee X est un element de K[X], qui engendre K[X] en tant que K-algebre, ainsi tout element P de K[X] s'ecrit comme une somme finie P = a0 + a1X + · · ·+ anXn = n ∑ i=0 aiXi, ai ? K. De plus, X engendre K[X] librement, c'est-a-dire que (Xi)i?N est une base du K-espace vectoriel K[X]. De fac¸on equivalente, l'ecriture de P comme une serie P = ∑ i>0 aiXi avec ai = 0 pour i suffisam- ment grand est unique, c'est-a-dire que si Q = ∑ i>0 biXi avec bi = 0 pour i suffisamment grand, alors P = Q si et seulement si ai = bi pour tout i > 0.

• polynome


• unique polynome unitaire


• formules d'interpolation de lagrange


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• division euclidienne


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• cohabitation passionnee avec les mathematiques

Sujets

• Préparation
• Gustave Flaubert
• Polynôme
• Division euclidienne

Informations

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Extrait

CAPESdeMathematiques Preparational’ecrit Algebreetprobabilites

UniversiteJosephFourier Annee2007-2008

Fich11:Algebre(5)Polˆ e ynomes

«aMocahibssionnetationpahtamameevaeselcaialessqutim’es unamourfoupourlesbonnesdefinitions,sanslesquellesiln’ya quedesa-peu-pres.»Gustave Flaubert, Vie de Henry Brulard

1 Rappels de cours On se donne un sous-corpsKdu corpsCdes nombres complexes et on noteK[X] laKelrabeg- despolynoˆmesenuneindetermineeXsurK. L’indetermineeXestunedtnemeleK[X], qui engendreK[X] en tant queKtoutinsire,agbe-la lementPdeK[Xeniefis’e]ocmmrctiosmmueen e n P=a 0 +a 1 X+∙ ∙ ∙+a n X n = X a i X i  a i ∈K i=0 De plus,XengendreK[Xt,enesc’at-ir-deuqe(]ilrbmeX i ) i∈N est une base duK-espace vectoriel K[X]. Defaconequivalente,l’ecrituredePsreeiocmmueenP= X a i X i aveca i = 0 pourisuffisam- i>0 mentgrandestunique,c’est-a-direquesiQ= X b i X i avecb i = 0 pourisuffisamment grand, i>0 alorsP=Qsi et seulement sia i =b i pour touti>0. Un morphisme naturel deKdansK[X] esta7→aX 0 . Lesloisdel’algebreK[Xmenteleoutourtsep:avtnssiutnelso]adeKet tousPetQeemltsen deK[Xd]nposeedsssuo,fieincs-i aP= X (aa i )X i  P+Q= X (a i +b i )X i  i>0i>0 et i P Q= X c i X i avecc i = X a k b i−k  i>0k=0 L’algebreK[X] est uneK-alglr’eruslebierbntmeeelX: cela signifie que pour touteKa-glerbe AteotutelementαdeA, il existe un unique morphisme deKeerblg-aE α :K[X]→A, dit morphismed’evaluation,telqueE α (X) =α. Le morphismeE α nonareptdes P= X a i X i 7→E α (P) = X a i α i  i>0i>0 1

On note aussiE α (P) =P(αslanasecrtpaulicoreiu.D)A=K[X] etα=X,l’unicitede E α montre queE X aticplapntdeniiorusetiets’lK[X]. C’est pourquoi on note souventP(X) le poly ˆ eP nom . SiA=Kfal,ynoliaomctonnpioeeaelsaosicPest l’applicationF P :K→Ktelle que, pour toutxdansK,F P (x) =E x (P). On noteF P =P. LedegredupolynˆomePvaut deg(P) =−∞siP= 0, et, siP6= 0, deg(P) = max{i∈N;a i 6= 0} Pour tousPetQdansK[X], deg(P+Q)6max{deg(P)deg(Q)}deg(P Q) = deg(P) + deg(Q) avec la convention (−∞) +d=−∞pour toutd. Le coefficient dominant dePvaut 0 siP= 0 eta d si deg(P) =d>0. Le terme dominant dePvaut 0 siP= 0 eta d x d si deg(P) =d>0. Un polynoˆmeestunitairesisoncoefficientdominantvaut1. L’anneauK[Xrtouspolynˆomeses]uctedili:censaleingiuqefiuopeUetVavecV6= 0, il existe ununiquecoupledepolynoˆmes(Q R) tel que U=V Q+Rdeg(R)6deg(V)−1

2 Vrai ou faux 1.L’anneauK[Xocffieicneˆnmoseacorpstsdansunes]dlypoKe.estintegr 2.Les inversibles deK[X].0ededsrgeynolmeˆontsosple 3.Soitd>ylˆnseoplbdesnme.L’etierunen0snadtsenciefficoaesomKfniergededeirueoru  egaladest : a) un sous-groupe du groupe additifK[X]. b) un sous-K-espace vectoriel deK[X] de dimensiondsurK. c)unidealdeK[X]. 4.SoitKetLdeux sous-corps deCavecK⊂L. AlorsK[X]⊂L[X] et : a)unpolynoˆmededegre1estirreductibledansK[X]. b)unpolynˆomeirreductibledansK[Xedtsrged.1ee] c)siunpolynˆomedeK[Xe]tsrirdecuitlbedansL[Xtcuderrsnadelbi],ilestiK[X]. d)siunpolynoˆmedeK[Xitrr]sectibedunsledaK[Xsdenaitlbeducirrlest],iL[X]. 5.L’ensembleU⊂K[Xinusemoˆnylopsed]ocprsstadsnnucoefficientairesaKest : a) stable parmultiplication;b)unidealdeK[X]. 6.iaer.ynolepquitunmeˆolpitlumtinunu’detpol)Toumeesynˆoa b)Toutpolynˆomeirreductibleestmultipled’ununiquepolynˆomeunitaire. 2

3 Exercices de cours 1.Soitaun nombre. Effectuer les divisions euclidiennes deX 4 −5X 2  par+ 6X−aet par 2 (X−a) .

2.Effectuer la division euclidienne deX 6 −X 4 −X 2 + 1 parX 3 −1 .

3.lopseddcgpnurenirmteeDmesynˆoP(X) =X 4 + 2X 2 −X+ 5 etQ(X) =X 4 + 3X 2 +X+ 1.

4.SoitPedemrgedlopnoˆnyucorpse3surunKtel que pour toutxdansK,P(x)6= 0. Prouver quePsnbitcadeltirreduesK[X].

5.SoitK⊂L⊂Cdeux sous-corps deC. SoitPetQedsmenteledesK[X] etDlenutenem deL[X] tels queP6= 0 etP=QD. Prouver queDantpaaptreiK[X]us,asoenotuelsus coefficients deDapiennpartanetK.

6.SoitPenemleetdnuR[X] etα=a+ ibun nombre complexe tel queb6= 0 etP(α) = 0. Prouver queQ(X) =X 2 −2aX+a 2 +b 2 divisePdansR[X].

4 Exercices  1.nnanledoormuelafeedtˆnmoudibumelorafeledid’aAlylopmoˆn,seeptldurodeituxde calculer, pour tous entiers positifsmetn,ilage’letxmeusdledeesbrem (X+ 1) m (X+ 1) n = (X+ 1) m+n  n 2 En choisissantm=nalaviuerdde,neesommdelaleur X . k=0 µ k n ¶ Donnerunedemonstrationalternativedelaformuleobtenueendenombrantlespartiesan elementsd’unensembleXrednsinuoietedojniseenuxdeslembAetBde cardinaln.

2.a) SoitPetQdeselmenestedK[X] tels queP 2 −XQ 2 edser0.=coEndisnareeltngeds P 2 etXQ 2 , prouver queP=Q= 0. b) On suppose que dansKtionequal’a 2 +b 2 = 0 n’admet que la solution trivialea=b= 0. ProuverquesileselementsP,QetRdeK[X] sont tels queP 2 −XQ 2 +R 2 = 0, alors P=Q=R= 0. c) Donner des exemples de sous-corpsKdeCtasafsinasih’ltypothesedeb).

3.a) Prouver queX 3 = 1 dans l’anneauK[X](X 2 +X+ 1). Endeduirelesvaleursdel’entiernaturelmnˆompolyeelqsopruseeleullX 2 +X+ 1 divise le polynoˆme(X+ 1) m −X m −1. b) Prouver que pour tout entier naturelmmel,olepˆoynX 2 −X+ 1 divise (X−1) m+2 +X 2m+1 . 3

4.Siaetbenuaocmmst’dnunautatifetleenemonsestdi>1unent’lellepparno,reiettienid remarquable i−1 a i −b i = (a−b) X a j b i−j−1  j=0 a) SoitaunleenemedtKetPntdeulenemeK[X] tels queP(a) = 0. Montrer queX−adivise P. a’) Donner une autre preuve de a) en utilisant la division euclidienne. b) SoitPtdeemenelnuK[X]. Montrer queP−XdiviseP◦P−Xei’elixts-aideruq-st’e,cQ dansK[X] tel queP(P(X))−X=Q(X)(P(X)−X). k c) Soitk>1 etP= X X n i itresenesouln i >secnv0elentfieriuegronscn i ≡i−1 modulok. i=1 k Prouver que (X−1)Pest divisible parX k −euqEn1.eddreuiPest divisible parQ= X X. i−1 i=1

5.Soit Δ la transformation deK[Xdfie]arniep Δ(P)(X) =P(X+ 1)−P(X) On pose Δ 0 = Id K[X] puis, pour toutn>0, Δ n+1 = Δ◦Δ n . Resoudrelaquestiona)oulaquestiona’),puislaquestionb). a) a1) Prouver que si deg(P) =d, alors Δ d+1 (P) = 0 et Δ d (P)6= 0. a2) On poseC 0 (X) = µ X 0 ¶ = 1 puis, pour tout nombre entierd>1, C d (X) = µ d X ¶ = d 1 ! X(X−1)∙ ∙ ∙(X−d+ 1) Calculer Δ(C d (X)) pour toutd>eddEn0.,euqeriu(gedisP) =d>0, d P(X) = X Δ i (P)(0)C i (X) i=0 a3)Deduiredea2)quesiPededegerlypoomnˆeunstd>sreitneselr0aavieressuleursent naturels,c’est-a-diresiP(N)⊂Z(on rappelle queN⊂KpuisqueKest un sous-corps deC), alorslepolynˆomePilcaeorieunecommenaisombisntiefficnamereiinueceuqsec’tdri on nea dansZdes polynomes binomiauxC i (X) pour 16i6d. ˆ a’) Montrer que l’application Δ :K d [X]→K d−1 [Xnetsomagesonilureacclerteeiaes]intl noyau. b)ProuverquepourtoutpolynˆomeQregeddsluupead−olynquepˆomeixeli,1inunuetsP dedegreauplusdtel que Δ(P) =QetP(0) = 0. EndeduireuneexpressionpourlessommesQ(0) +Q(1) +∙ ∙ ∙+Q(n) pour tout entiern>0, puis la valeur des sommes 1 2 + 2 2 +∙ ∙ ∙+n 2 et 1 3 + 2 3 +∙ ∙ ∙+n 3 . 6.SoitPedomepounnˆlyR[X] tel queP(t)>p0uobrereelrtoutnomt. Prouver qu’il existe deuxpolynˆomesAetBdeR[X] tels queP=A 2 +B 2 . 4