Fonctions d'une variable réelle

Vincent Jalby

Description

Niveau: Supérieur
CHAPITRE I Fonctions d'une variable réelle 1. Limites Définition 1.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers x0si « f .x/ se rapproche de lorsque x se rapproche de x0 ». On note lim x!x0 f .x/ D . Définition 1.2 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D.On dit que f admetC1 pour limite lorsque x tend vers x0, si « f .x/ est de plus en plus grand lorsque x se rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet pour limite lorsque x tend versC1 si « f .x/ se rapproche de lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D . 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! R une fonction et x0 2 D. On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C'est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .

• point critique


• ?a


• dérivable surd


• dimensions représentation dans r3


• minimum global en x0 ssi


• minimum local en x0


• b? ssi


• x1


• représentation graphique

Sujets

• Université de Limoges
• Point critique
• Représentation graphique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 62
• Langue: Français

Extrait

1. Limites

CHAPITRE I

Fonctions d’une variable relle

Dfinition 1.1 SoitfWD!Rune fonction etx 0 2D.On dit quefadmet` pour limite lorsquextend versx 0 si «f .x/se rapproche de`lorsque xse rapproche dex 0 ». On notelimf .x/D`. x!x 0

Dfinition 1.2 SoitfWD!Rune fonction etx 0 2D.On dit quefadmetC1 pour limite lorsquextend versx 0 , si «f .x/est de plus en plus grand lorsquexse rapproche dex 0 » On notelimf .x/D C1. x!x 0

Dfinition 1.3 SoitfWR!Rune fonction.On dit quefadmet`pour limite lorsquextend versC1si «f .x/se rapproche de`lorsquexest de plus en plus grand » On notelimf .x/D`. x!C1

2. Continuit

Dfinition 2.1 SoitfWD!Rune fonction etx 0 2D. On dit quefest continue enx 0 • sifadmet une limite quandxtend versx 0 • et si cette limite est Égale Àf .x 0 /.

C’est-À-dire,

fcontinue enx 0 ”limf .x/Df .x 0 / x!x 0

Remarque On dit quefest continue sur un intervallea; bŒsifest continue en tout pointx 0 dea; bŒ.

Exemple Les fonctions polynÔmes

2 n x!7aCbxCcxC    Cdx

sont continues surR.

3. Drive d’une fonction

Dfinition 3.1 SoitfWD!Rune fonction etx 0 ; x 1 2D. On appelle taux de variation defentrex 0 etx 1 le rapport

f .x 1 /f .x 0 / D x 1 x 0

Dfinition 3.2 SoitfWD!Retx 0 2D. On dit quefest dÉrivable enx 0 si la limite f .x/f .x 0 / `Dlim xx 0 x!x 0 0 existe et est finie. On la note alorsf .x 0 /. 0 On appelle dÉrivÉe defenx 0 le rÉelf .x 0 /.

Remarque Si on posehDxx 0 (ouxDx 0 Ch), on obtient

f .x/f .x 0 .x/ f 0 Ch/f .x 0 / 0 f .x 0 /DlimDlim xx 0 h x!x 0 h!0

La courbe reprÉsentative defadmet au point de coordonnÉes   0 x 0 ; f .x 0 /une tangente de pentef .x 0 /et d’Équation

0 yDf .x 0 /C.xx 0 /f .x 0 / :

On dit quefestdÉrivablesurDsi elle est dÉrivable en tout point x 0 deD. 0 On appelle alorsfonction dÉrivÉedefl’applicationfdÉfinie par

0 fWD!R 0 x!7f .x/

Dfinition 3.3 1 On dit quefest de classeCsurDsi •fest dÉrivable surD; 0 • la fonction dÉrivÉefest continue surD.

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Proposition 3.4 SoitfWa; bŒ!Rune fonction dÉrivable sur un intervallea; bŒ. 0 • La fonctionfest croissante sura; bŒsi et seulement sif .x/> 0pour toutx2a; bŒ. • La fonctionfest dÉcroissante sura; bŒsi et seulement si 0 f .x/60pour toutx2a; bŒ. 0 • La fonctionfest constante sura; bŒsi et seulement sif .x/D 0pour toutx2a; bŒ.

Remarque 0 Si> 0f .x/ pour toutx2a; bŒ, alorsfest strictement crois- sante sura; bŒ. 0 Sif .x/ < 0pour toutx2a; bŒ, alorsfest strictement dÉcrois- sante sura; bŒ.

Thorme 3.5 SoitfWD!Rune fonction dÉfinie sur un intervalleD. On sup- pose quefest strictement monotone surD.Alors, la fonctionfest 1 bijective deDsurf .D/:il existe une fonctionfWf .D/!D telle que   1 f f .x/Dx8x2D

1 De plus, sifest dÉrivable,fl’est aussi et

1 10 .f / .y/D 0 1 f .f .y/

4. Drive seconde

Dfinition 4.1 Soitfune fonction dÉrivable surD. 0 00.2/0 Sifest dÉrivable, on notefoufla dÉrivÉe def. 00 La fonctionfest appelÉe dÉrivÉe seconde def.

Dfinition 4.2 .n/ Pour toutn>2, on dÉfinit la dÉrivÉen-iÈmefdefcomme la .n1/ .n1/ dÉrivÉe deflorsquefexiste et est dÉrivable :   0 .n/ .n1/ f .x/Df .x/

.0/ On posefDf.

Dfinition 4.3 n .n/ On dit quefest de classeCsurDsifexiste et est continue sur D.

5. Convexit

Dfinition 5.1 SoitfWŒa; b!R. On dit quefest convexe si

f .xC.1/y/6f .x/C.1/f .y/

pour toutx; y2Œa; bet tout2Œ0; 1. On dit quefest concave sifest convexe, i.e.,

f .xC.1/y/>f .x/C.1/f .y/

Proposition 5.2 SoitfWŒa; b!Rune fonction deux fois dÉrivable surŒa; b. Alors 00 •fest convexe surŒa; bSSIfest positive ou nulle :

00 fconvexe surŒa; b”f .x/>0;8x2Œa; b

00 •fest concave surŒa; bSSIfest nÉgative ou nulle :

00 fconcave surŒa; b”f .x/60;8x2Œa; b

6. Formule de Taylor

Thorme 6.1(Thorme de Rolle ) SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; bet dÉrivable sur a; bŒ. On suppose quef .a/Df .b/. Alors, il existec2a; bŒtel que

0 f .c/D0 :

Thorme 6.2(Thorme des accroissements finis) SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; bet dÉrivable sur a; bŒ. Alors, il existec2a; bŒtel que

0 f .b/f .a/D.b:a/f .c/

Thorme 6.3(Taylor-Young) .n/ Soitx 0 2a; bŒetfWŒa; b!Rune fonction telle quef .x 0 / existe. Alors, pour toutx2a; bŒ, on a

0 00 f .x 0 / f .x 0 / 2 f .x/Df .x 0 /C.xx 0 /C.xx 0 /C: : : 1Š 2Š .n/ f .x 0 / n n    C.xx 0 /C.xx 0 / ".xx 0 / nŠ oÙ"est une fonction vÉrifiantlim".xx 0 /D0. x!x 0

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CHAPITRE II Optimisation d’une fonction d’une variable relle

1. Extrema d’une fonction

Dfinition 1.1 SoitfWD!Rune fonction. La fonctionfadmet un minimum global enx m 2Dsi 8x2.x/D f >f .x m /

La fonctionfadmet un maximum global enx M 2Dsi 8x2D f .x/6f .x M /

Dfinition 1.2 SoitfWD!Rune fonction. La fonctionfadmet un minimum local enx 0 2Dsi 8x2V .x 0 / f .x/>f .x 0 / La fonctionfadmet un maximum local enx 0 2Dsi 8x2V .x 0 / f .x/6f .x 0 / oÙV .x 0 /Dx 0 ; x 0 CŒest un voisinage dex 0 .

Thorme 1.3 SoitfWŒa; b!Rune fonction continue surŒa; b. Alors •fadmet un minimum et un maximum global : il existex m et x M dansŒa; btels que

8x2Œa; b;

f .x m /6f .x/6f .x M /

• pour toutytel quef .x m /6y6f .x M /, il existex2Œa; btel que f .x/Dy (ThÉorÈme des valeurs intermÉdiaires)

SoitDun intervalle ouvert etfWD!R. On considÈre les problÈmes d’optimisation suivants :

minf .x/ x2D

maxf .x/ x2D

Cela consiste À rechercher lesextrema locauxouglobauxdef.

2. Condition ncessaire d’optimalit

Proposition 2.1 SoitfWD!RdÉrivablex 0 2D. Sifadmet un extremum local (ou global) enx 0 alors

0 f .x 0 /D0

Remarque La condition 0 f .x/D0 ne donne que despoints candidats(oucritiques). Il faut ensuite Étudier lanaturede chacun de ces points.

Nature d’un point critique (Étude directe) : Soitx 0 un point critique :

0 f .x 0 /D0

On pose fDf .x/f .x 0 / On Étudie alors le signe def. Sif>0,fadmet unminimumenx 0 . Sif60,fadmet unmaximumenx 0 .

L’extremum seraglobaloulocal, selon que l’inÉgalitÉ est vraie pour toutxou pour toutxdans un voisinage dex 0 .

3. Conditions suffisantes d’optimalit locale

Proposition 3.1 SoitfWD!Rdeux fois dÉrivable enx 0 2D.Six 0 est un point 0 critique def(f .x 0 /D0) et 00 • sif .x 0 / < 0, alorsfadmet un maximum local enx 0 . 00 • sif .x 0 / > 0, alorsfadmet un minimum local enx 0 .

Remarque 00 Lorsquef .x 0 /D0, il faut faire une Étude directe. Deux cas peuvent se produire : 00 •f .x/s’annule en changeant de signe : point d’inflexion 00 •f .x/s’annule sans changer de signe : extremum

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4. Optimalit globale : le cas convexe/concave

Proposition 4.1 SoitfWD!Rune fonction dÉrivable enx 0 2D. 0 Sifest convexe,fadmet un minimum global enx 0 SSIf .x 0 /D 0.

0 Sifest concave,fadmet un maximum global enx 0 SSIf .x 0 /D 0.

Remarque Si la fonctionfeststrictementconvexe ou concave alors l’extre- mum est unique.

5. Mthodologie 1) On dÉtermine le domaine de dÉfinition def .x/. 2) On Étude la convexitÉ def .x/. 0 3) On rÉsout l’Équationf .x/D0pour trouver les points candi- dats :x 1 ,x 2 , … 4) Sif .x/est convexe ou concave, la fonction admet des minima ou maxima globaux aux points trouvÉs. 00 5) Sinon, on calculef .x 0 /pour chacun des points candidats : 00 sif .x 0 / > 0,fadmet un minimum local enx 0 ; si 00 f .x 0 / < 0,fadmet un maximum local enx 0 ; 00 6) Sinon (sif .x 0 /D0), on Étudie le signe def.

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CHAPITRE III Fonctions relles de deux variables relles

1. Fonctions de deux variables On considÈre l’espace produit

2 RDRR

2 Un ÉlÉment deRest un couple notÉ.x; y/ou.x 1 ; x 2 /. 2 Lasommede deux ÉlÉments deRest

0 0 0 0 .x; y/Cy /.x ; D.xCyx ; Cy /

Leproduitpar un rÉelest

.x; y/D.x; y/

Dfinition 1.1 On dit que.x; y/tend vers.x 0 ; y 0 /si •xtend versx 0 • etytend versy 0 . On note ( x!x 0 .x; y/!.x 0 ; y 0 /” y!y 0

Dfinition 1.2 2 Soit.x; y/un point deR. On appelle voisinage (ouvert ÉlÉmentaire) de.x; y/tout ensembleV de la forme

2 VDxr 1 ; xCr 1 Œyr 2 ; yCr 2 ŒR

avecr 1 ; r 2 > 0.

Une fonction rÉelle de2variables rÉelles est une applicationfdÉ- 2 finie sur une partie deRÀ valeurs dansR:

2 fWR!R .x; y/!7f .x; y/

Dfinition 1.3 2 2 SoitfWR!Ret.x 0 ; y 0 /2R. On dit quefadmet`2Rpour limite lorsque.x; y/tend vers .x 0 ; y 0 /sif .x; y/se rapproche de`dÈs que.x; y/se rapproche de .x 0 ; y 0 /. On note`Dlimf .x; y/ .x;y/!.x 0 ;y 0 /

Dfinition 1.4 2 2 SoitfWR!Ret.x 0 ; y 0 /2R. On dit quefest continue en.x 0 ; y 0 /sifadmet une limite en .x 0 ; y 0 /et si cette limite est Égale Àf .x 0 ; y 0 /.

fcontinue en.x 0 ; y 0 /”limf .x; y/Df .x 0 ; y 0 / .x;y/!.x 0 ;y 0 /

2 On dit quefest continue surDRsi elle est continue en tout point deD.

2. Reprsentations graphiques

ReprÉsentation en 3 dimensions   3 ReprÉsentation dansR:x; y; f .x; y/

2 2 f .x; y/DxCy

f .x; y/Dxy

ReprÉsentation des courbes de niveau SoitfWRR!R. On appellecourbe de niveaucdefl’en- semble : n o 2 C c .f /D.x; y/2RWf .x; y/Dc

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2 2 f .x; y/DxCy

3. Diffrentiabilit

f .x; y/Dxy

Dfinition 3.1 2 2 SoitfWR!Ret.x 0 ; y 0 /2R. On appelle dÉrivÉe partielle defen.x 0 ; y 0 /par rapport Àxla dÉ- rivÉe de l’applicationx7!f .x; y 0 /enx 0 . On la note   0 @f 0 0 /D.x ; y 0 /Dx7!f .x; y 0 / f x .x 0 ; y 0 ˇ @x xDx 0

De mme, la dÉrivÉe par rapport Àyest   0 @f 0 f .x .x 0 ; y 0 /Dy7!f . y 0 ; y 0 /Dx 0 ; y/ ˇ @y yDy 0

Dfinition 3.2 2 2 1 SoitfWR!RetDR.On dit quefest de classeCsur D,sifadmet des dÉrivÉes partielles continues surD. On dÉfinit alors la diffÉrentielle defen.x 0 ; y 0 /2D

0 0 d/f .x ; y Df .x ; y /dxCf . 0 0 x 0 0 y x 0 ; y 0 /dy

On appellegradientdefen.x 0 ; y 0 /levecteur 0 1 0 x f x . 0 ; y 0 / ! @ A gradf .x 0 ; y 0 /D rf .x 0 ; y 0 /D 0 f y .x 0 ; y 0 /

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CHAPITRE IV

Optimisation d’une fonction de deux variables I

1. Optimisation d’une fonction (Extrema libres)

Dfinition 1.1 2 SoitDRetfWD!R. On dit que

•fadmet un minimum global en.x 0 ; y 0 /2Dsi

8.x; y/2D;

f .x 0 ; y 0 /6f .x; y/

•fadmet un maximum global en.x 0 ; y 0 /2Dsi

8.x; y/2D;

f .x 0 ; y 0 />f .x; y/

•fadmet unminimum localen.x 0 ; y 0 /2Dsi

8.x; y/2V;

f .x 0 ; y 0 /6f .x; y/

•fadmet unmaximum localen.x 0 ; y 0 /2Dsi

8.x; y/2V;

f .x 0 ; y 0 />f .x; y/

oÙVest un voisignage de.x 0 ; y 0 /dansD.

Thorme 1.2 2 1 SoitDRetfWD!Rde classeCsurD. Sifadmet un extremum local (ou global) en.x 0 ; y 0 /2D,on a nÉcessairement

0 f .x 0 ; y 0 /D0 x

et

0 f .x 0 ; y 0 /D0 y

()

Un point vÉrifiant()est appelÉ point stationnaire ou critique pour f.

Nature du point candidat (Ètude directe) Le thÉorÈme 1.2 ne donne que des pointscandidats.x 0 ; y 0 /. Il faut ensuite Étudier lanaturede chaque point. Pour cela, on Étudie le signe de

fDf .x; y/f .x 0 ; y 0 /

pour.x; y/proche de.x 0 ; y 0 /.

• Sif>0alorsfadmet unminimumen.x 0 ; y 0 /. • Sif60alorsfadmet unmaximumen.x 0 ; y 0 /. L’extremum seraglobaloulocal, selon que l’inÉgalitÉ est vraie pour tout.x; y/ou pour.x; y/proche de.x 0 ; y 0 /.

2. Optimisation sous contrainte (extrema lis) 2 Soitf; gWR!Rdeux fonctions. On considÈre le problÈme d’optimisation suivant : ( Optimiserf .x; y/ .P / sous la contrainteg.x; y/D0

On cherche.x 0 ; y 0 /vÉrifiantg.x 0 ; y 0 /D0tel qu’on ait

ou

f .x; y/6f .x 0 ; y 0 /

f .x; y/>f .x 0 ; y 0 /

pour un maximum

pour un minimum

pour tout.x; y/2V .x 0 ; y 0 /vÉrifiantg.x; y/D0. Pour rÉsoudre le problÈme.P /, on introduit une nouvelle fonction appelÉelagrangienassociÉ À.P /:

L.x; y; /Df .x; y/Cg.x; y/

Thorme 2.1(Conditions ncessaires d’optimalit) 1 2 Soitf; gWU!Rde classeCsurUR. Si.P /admet une solution en.x 0 ; y 0 /,en gÉnÉral, il existe 0 2R tel que 8 0 ˆ L.x 0 ; y 0 ;  0 /D0 < x 0 L.x 0 ; y 0 ;  0 /D0 y ˆ : 0 L.x 0 ; y 0 ;  0 /D0  La variable 0 est appelÉe multiplicateur de Lagrange associÉ À.P /.

Nature du point candidat (Ètude directe) Le rÉsultat prÉcÉdent ne donne que des points candidats. Il faut ensuite Étudier la nature de chaque point. Pour cela, on peut Étudier le signe de

fDf .x; y/f .x 0 ; y 0 /

en tenant compte de la contrainteg.x; y/D0.

Mthode de substitution Lorsque la contrainteg.x; y/D0permet d’exprimeryen fonc- tion dex: yDy.x/ le problÈme d’optimisation sous contrainte.P /est Équivalent au problÈme d’optimisation d’une fonction d’une variable :

Optimiser

h.x/Df .x; y.x//

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