Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Déterminants en petite dimension Les déterminants jouent un rôle fondamental en algèbre linéaire et en géométrie. Nous les étudions cette année en dimensions 2 et 3. La théorie sera généralisée l'année prochaine et étendue à toutes les dimensions. 1 Vocabulaire général Dans la suite K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes et E un espace vectoriel sur le corps K. Définition 1. Soit p un entier non nul. Une application ? de Ep vers K est une forme p-linéaire si pour tout (v1, v2, ..., vp) ? Ep et tout j ? J1, pK l'application de E vers K : ?j : u? ?(v1, ..., vj?1, u, vj+1, ..., vp) est une application linéaire. Nous avons donc : ?(v1, ..., vj?1, vj + v ? j , vj+1, ..., vp) = ?(v1, ..., vj?1, vj , vj+1, ..., vp) + ?(v1, ..., vj?1, v ? j , vj+1, ..., vp) ?? ? K, ?(v1, ..., ?vj , ..., vp) = ??(v1, ..., vj , ..., vp). Lorsque p = 2 (resp.

• aire algébrique du parallélépipède


• famille de vecteurs


• x3 y3


• y2 y3


• base orthonormée directe


• colonne


• x3 ?


• deta


• vecteurs v1

Sujets

• Base orthonormale
• Colonne

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A 2009-2010

1 Vocabulairegénéral

Mathématiques

Déterminants

Lycée Brizeux

Dans la suiteKdésigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes etEun espace vectoriel sur le corpsK. p Définition 1.Soitpun entier non nul. Une applicationϕdeEversKest uneformep-linéairesi p pour tout(v 1 , v 2 , ..., v p )∈Eet toutj∈J1, pKl’application deEversK: ϕ j :u→ϕ(v 1 , ..., v j−1 , u, v j , ..., v p ) est une forme linéaire. p On vérifie que l’ensemble des formesp-linéaires définies surEest unK-espace vectoriel. Lorsquep= 2(resp.p= 3) on dit queϕest bilinéaire (resp. trilinéaire). Définition 2.On dit qu’une formep-linéaireϕest : 1.alternéelorsqueϕ(v 1 , ..., v n ) = 0dès qu’au moins deux vecteursv i etv j sont égaux (aveci6=j). 2.antisymétriquelorsque pour tousi, j∈J1, pKdistincts on a : ϕ(v 1 , ..., v i , ..., v j , ..., v p ) =−ϕ(v 1 , ..., v j , ..., v i , ..., v p ). CommeK=RouCon montre que ces deux notions sont équivalentes. En particulier pour tousi, j∈J1, pK distincts et toutλ∈K: ϕ(v 1 , ..., v i , ..., v p ) =ϕ(v 1 , ..., v i +λv j , ..., v p ).

ϕ(v 1 , ..., λv i , ..., v p ) =λϕ(v 1 , ..., v i , ..., v p ).

2 Déterminantd’une famille de vecteurs

2.1 Dansle plan

Dans cette partieEest un e.v. de dimension2. On considère une baseB= (e 1 , e 2 )deE. Définition 3.Soitv 1 , v 2 ∈Ede coordonnées respectives dans la baseB:(x 1 , y 1 )et(x 2 , y 2 ). On appelle déterminant de(v 1 , v 2 )dans la baseBle scalaire : x 1 x 2 det B (v 1 , v 2 ) ==x 1 y 2 −y 1 x 2 .  y 1 y 2

Remarque.LorsqueBest une base orthonormée directe nous savons que le nombredet B (v 1 , v 2 )est l’aire algébrique du parallélogramme construit sur les vecteursv 1 etv 2 . Proposition 2.1.L’applicationdet B deE×EversKet une forme bilinéaire alternée. Réciproquement, pour toute forme bilinéaire alternéeϕdeE×EversK, il existeα∈Ktel queϕ=αdet B .

Il vient alors : Proposition 2.2.Deux vecteursv 1 etv 2 sont colinéaires si et seulement sidet B (v 1 , v 2 ) = 0.

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2.2 Dansl’espace

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Dans cette partieEest un e.v. de dimension3. On considère une baseB= (e 1 , e 2 , e 3 )deE. Définition 4.Soitv 1 , v 2 , v 3 ∈Ede coordonnées respectives dans la baseB:(x 1 , y 1 , z 1 ),(x 2 , y 2 , z 2 )et (x 3 , y 3 , z 3 ). On appelle déterminant de(v 1 , v 2 , v 3 )dans la baseBle scalaire : x 1 x 2 x 3 det B (v 1 , v 2 , v 3 ) = y 1 y 2 y 3 =x 1 y 2 z 3 +x 3 y 1 z 2 +x 2 y 3 z 1 −(x 3 y 2 z 1 +x 1 y 3 z 2 +x 2 y 1 z 3 ).   z 1 z 2 z 3

Remarque.LorsqueBest une base orthonormée directe nous savons que le nombredet B (v 1 , v 2 , v 3 )est l’aire algébrique du parallélépipède construit sur les vecteursv 1 ,v 2 etv 3 . Proposition 2.3.L’applicationdet B deE×E×EversKet une forme trilinéaire alternée. Réciproquement, pour toute forme trilinéaire alternéeϕdeE×E×EversK, il existeα∈Ktel queϕ=αdet B .

Il vient alors : Proposition 2.4.Une famille de trois vecteursv 1 ,v 2 etv 3 est liée si et seulement sidet B (v 1 , v 2 , v 3 ) = 0.

2.3 Orientation

Dans cette partieEdésigne unR-espace vectoriel de dimension2ou3. On posen= dimE. Une familleUdenvecteurs deEest une base deEsi et seulement sidet B U 6= 0. 0 Fixons une baseBdeE; celle-ci détermine uneorientationde l’espaceEde la manière suivante. SoitBune autre base deE, on dit que : 0 0 • Best directe lorsquedet B B>0; 0 0 • Best indirecte lorsquedet B B<0.

3 Matriceset applications linéaires

3.1Déterminantd’unematrice

Toutes les matrices considérées dans cette partie sont des matrices2×2ou3×3. Définition 5.Le déterminant d’une matriceMest le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique. On le notedetM. On vérifie alors les propriétés suivantes : t •detM= detM; •det(M N) = detMdetN. •siMest triangulaire alorsdetMest le produit des coefficients diagonaux. Nous avons la proposition suivante : Proposition 3.1.Une matriceMest inversible (i.e.M∈GL n (K)) si et seulement sidetM6= 0et dans ce cas 1 −1 detM=. detM

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Pour le calcul d’un déterminant on peut appliquer les opérations élémentaires en observant bien les règles suivantes : 1. sion échange deux colonnes (resp. deux lignes) le déterminant est multiplié par−1; 2. sion multiplie une colonne (resp. une ligne) parα∈K, le déterminant est multiplié parα; 3. uneopération élémentaireC j ←C j +αC i (resp.L j ←L j +αL i ) conserve le déterminant. Remarque. On rappelle qu’il existe aussi la méthode de développement par rapport à une ligne ou une colonne.

3.2Déterminantd’unendomorphisme

Dans cette partieEdésigne un espace de dimension2ou3.

Définition 6.Soitf∈ L(E). Le déterminant defest le déterminant de la matrice defdans une base B. Ce nombre ne dépend pas du choix de la baseBet se notedetf.

0 Démonstration.SoitMla matrice defdans une baseBetNla matrice defdans une autre baseB; il faut vérifier que les déterminants deMetNsont égaux. 0 −1 SoitPla matrice de passage deBàB. Nous avons la relationN=P MP. Donc

−1−1 detN= det(P MP) = (detP) detMdetP= detM.

Nous trouvons alors les propriétées suivantes :

1. sif, g∈ L(E)alorsdet(f◦g) = detfdetg; − 1 1 2.fest un isomorphisme si et seulement sidetf6= 0et dans ce casdetf=. detf

4 Systèmesde Cramer

4.1Dimension2

Soit le système :  ax+by=α (S)⇔ cx+dy=β   a b PosonsA=la matrice du sytème. c d Théorème 4.1.Le système(S)admet une unique solution si et seulement sidetA6= 0; la solution est donnée par les formules : 1 α b 1 a α x=y=.  D β dD cβ

4.2Dimension3

Considérons un système(S)à trois inconnues et trois équations représenté matriciellement par

AX=BavecA∈ M 3 (K)etB∈ M 3,1 (K)

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  x   Théorème 4.2.Le système(S)admet une unique solutionX= y si et seulement sidetA6= 0; la z solution est donnée par les formules : detA 1 detA 2 detA 3 x=y=z=, detAdetAdetA oùA j est la matrice obtenue en remplaçant laj-ème colonne deApar le second membreB.

5 Exercices

Exercice 1.Calculer les déterminants suivants :     0 20 12 4x−1 20     A; 1 2= 2 B 3= 1−2 ; C = 0x1     1 4−3 52 11 1x−1 3 2 Solutions :detA= 12;detB= 7;detC=x−2x+ 3.

Exercice 2.Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimension3. Pour toutt∈R, on considère l’endomorphisme deE u t =tid E −u. 1. Montrerqu’il existe au moins une valeur det∈Rtelle queu t n’est pas bijectif. 2. Montrerque l’énoncé précédent est faux sidimE= 2(trouver un contre-exemple).

Exercice 3.Soit un plan affine muni d’un repère et trois points de ce plan :M 1 (x 1 , y 1 ),M 2 (x 2 , y 2 )etM 3 (x 3 , y 3 ). Montrer queM 1 ,M 2 etM 3 sont alignés si et seulement si : x 1 y 1 1 x 2 y 2 0 1 = .   x 3 y 3 1

3 Exercice 4.Pour tout(a, b, c)∈Kcalculer le déterminant ci-dessous : 1 1 1 a b c   b+c c+a a+b

∞ Exercice 5.SoitE= Vect(sin,cos)le sous-espace deC(R,R)etDl’application linéaire définie surEpar 0 D(f) =f. 1. MontrerqueD∈ L(E). 2. CalculerdetD. Que peut-on en déduire pourD?

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