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Niveau: Supérieur, Master
Master 2 de Mathematiques Universite de Lyon Annee 2010/2011 Exercices sur les formes modulaires, 2 Exercice 1. Une identite entre fonctions modulaires. On s'interesse a la serie ∑ n?Z 1 cos(npiz) pour z dans le demi-plan de Poincare H ; on note f(z) la fonction somme de cette serie. On introduit aussi p(z) = eipiz, de sorte qu'on peut ecrire la fonction ? : z 7? ∑ n?Z eipin 2z sous la forme ?(z) = 1 + 2 ∑ n≥1 p(z)n = 1 + 2 ∑ n≥1 pn. Pour cet exercice, on admet que la fonction reelle d'une variable reelle x 7? 1 cosh(pix) est egale a sa transformee de Fourier. 1) Justifier que la fonction f est une fonction holomorphe sur H qui satisfait : f(z+ 2) = f(z) pour tout z ? H. 2) Prouver qu'on a : f(?1 z ) = ( z i )f(z) pour tout z ? H. 3) Demontrer l'identite : ∑ n?Z 1 cos( ?pi(u+n) z ) = z i ∑ n?Z e2ipinu cos(pinz) pour tout z ? H et tout u ? R.

equation fonctionnelle

e? ipi

i?n ∑

coefficient de fourier

identite

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Master2deMath´ematiques Universite´deLyon Ann´ee2010/2011

Exercices sur les formes modulaires, 2

Exercice1.Uneidentite´entrefonctionsmodulaires.nO’sni´tlas´erieeresse`a X 1 pourzrae´iocndnPemidela-pdalensH; on notef(z) la fonction somme de cette cos(nπz) n∈Z X2 iπz iπnz s´erie.Onintroduitaussip(z) =eroseuqetpno’´tue,decrirelafonctionθ:z7→e n∈Z X X n n sous la formeθ(z) = 1 + 2p(z1 + 2) =p. n≥1n≥1 1 Pour cet exercice, onadmetabrir´le’uedvane´rnolleeofalitcnqeueellex7→leest´ega cosh(πx) `asatransforme´edeFourier. 1) Justiﬁer que la fonctionfest une fonction holomorphe surHqui satisfait :f(z=+ 2)f(z) pour toutz∈H. −1z 2) Prouver qu’on a :f= (( ))f(z) pour toutz∈H. z i X X 2iπnu 1z e 3)De´montrerl’identit´e:=pourtoutz∈Het toutu∈R. −π(u+n) icos(πnz) cos( ) n∈Zz n∈Z 4)Quellefonctionsimplementconstruite`apartirdeθe´setauqselemeˆmontillnensioncfov´ereisﬁ quecellese´nonce´esen1et2? X n 5)Justiﬁerqu’onpeute´crire:f(z) = 1 + 4anp,uo`anidalre´ﬀecnertneelenombreste n∈Z de diviseurs dend’un certain type et le nombre de diviseurs dend’un autre type. X 2n 6)Justiﬁerqu’onpeut´ecrire:θ(z) =1 + 4bnp`u,obnest le nombre de couples (x, y) n∈Z 2 2 dansN≥1×Ntels quex+y=n. X 1 2 De´sormais,onveutde´montrer:(∗)θ(z.) = cos(nπz) n∈Z 7)Quellecons´equencearithme´tiquetirerdecetterelation?    1 20 1 On note Γ le sous-groupe de SL2(Z)engendr´eparmselirtasecte. 0 1−1 0 8) Justiﬁer qu’un domaine fondamental pour l’action de Γ surHpgrmohoaroenstedsehina´p par : FΓ={z∈H: 0≤Re(z)≤2,|z| ≥1 et|z−2| ≥1}. 1

Faire un dessin. On admet provisoirement que la fonctionθne s’annule pas surHcnitnoteonconsid`erelafo f(z) surHarep´dﬁeing:z7→ 2 θ(z) 9)Justiﬁerquepourvoirquecettefonctionestconstantee´galea`1,ilsuﬃtdevoirqu’elleest holomorphe surHet telle que : 1 limg(z) =limg(1−) = 1. Im(z)→+∞Im(z)→+∞z On veut maintenant prouver queθne s’annule pas surH. Onva utiliser la fonction de Y Y 1 1 2n−2n−1 12 24 Dedekindη:z7→p(1−p) et la fonctionF:z7→z7→p(1 +p). Onadmet n≥1n≥1 −1 l’´equationfonctionnelle:F=( )F(z) pour toutz∈H. z 2 10) Justiﬁer que l’on a :θ(z)∼Im(z)→+∞η(z)F(z) . 2 11)Comparerdemˆemeθetη(z)F(zOn pourra utiliserun voisinage convenable de 1.) dans iπη(z) − −1 la formuleF(z+ 1) =e G(z)`ouG(z) =, et le calcul deG(2z)G( ). 24 z η(2z) Y 2n2n−1 2 12)Ende´duirequ’onalaformuleθ(z) =(1−p)(1 +p) , et qu’en particulier la n≥1 fonctionθne s’annule pas surH. Onrevientﬁnalementauproble`medel’identit´e(∗). r X X z 2 iπn2 −+2iπnt iπz(n+t) z 13) Justiﬁer la formule :e=epour toutz∈Het toutt∈R. i n∈Zn∈Z 1 4z 1 2 14) Prouver queθ(1−)∼pquand Im(z)→+∞. 2 z i 1 15)Trouverune´quivalentsimilairepourf(1−) quand Im(z)→+∞. z 16) Conclure.

Exercice2.Identite´sdeJacobi.Odte´vnuererl:montcmoubliedaefJoar X2Y m m2n2n−1 2n−1−1 (∗∗)q w= (1−q)(1 +q w)(1 +q w) m∈Zn≥1 × pour toutq∈Cde module<1 et toutw∈C. Y 2n2n−1 2n−1−1 1)Justiﬁerqu’onpeut´ecrireA(q, w(1) =−q)(1 +q w)(1 +q w) sous la forme n≥1 X n A(q, w) =an(q)w. n∈Z 2−1−1 2) Justiﬁer queA(q, qw) =q w A(q, w). 2 n 3)Ende´duirequean(q) =q a0(q) pour toutn∈Z. 4) Conclure en faisantw= 1.

Y X(3m+1)m n m 5)Entirerl’identite´d’Euler:(1−q() =−1)q. 2 n≥1m∈Z Y Xm(m+1)Xm(m+1) n3m m 6)Entirerl’identite´:(1−q) =(−1)mq= (−1) (2m+ 1)q. On 2 2 n≥1m∈Zm∈N 1 1 pourra remplacerqparqetwpar−q wdans la formule de Jacobi (∗∗) et faire apparaˆıtre 2 2 unede´rive´een1parrapporta`lavariablew.

Exercice 3.Sommes de Gauss.On souhaite calculer certaines sommes de Gauss par une me´thodeduea`Dirichlet(1835). X 2 ak On rappelle que poura∈Zetnun nombre entier≥1, on noteGu(a, n) =u, kmodn o`uuest une racine primitiventatonalenoie;t´ni’uisilutoni`emedel-G(a, n) pour le choix 2iπ u=e. Soitf2: [0;π]→Cunitrapecromxuaeunonefioctonncrevie´e,poss´edantuned´ n `adroiteen0eta`gaucheen2π. Pourtouth∈Z, on introduit le coeﬃcient de Fourier : Z 2π 1 −iht ch(f) =f(t)edt. 2π 0 NZ +∞ X 2 ix 1) Rappeler ce que vautlimch(fustj)e´tgeareleced’lnionvergentiﬁerlacedx. N→+∞ −∞ h=−N 2 x i Onposed´esormaisf(x) =e, ainsi quefk(x) =f(x+ 2kπ) pour toutk∈Z. 2πn     1 11 2)V´eriﬁerqueG(1, n) =f0(0) +f0(2π) +f1(0) +f1(2π) +. . .+fn−1(0) +fn−1(2π) . 2 22 Z 2nπ Xx2 1 i−ihx 3) Prouver queG(1, n) =edx. 2nπ 2π 0 h∈Z Z Z X(x−n2h π)X(x−n(2h+1)π) 2nπ0022nπ02 i−n i 4) Prouver que 2πG(1, n) =edx+i edx. 2nπ2nπ 00000 h∈Zh∈Z Z +∞ √2 −n ix 5)End´eduireque2πG(1, n) = (1 +i) 2πn edx. −∞ Z Zr +∞+∞ π 2 2 6)End´eduirequecos(x)dx= sin(x)dxque= etG(1, n) vaut respective-2 −∞ −∞ √ √√ ment (1+i)n,n, 0,i nsuivant quenestcongru`a,1,03uo2udom.4ol

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