Module MA5

Jean - Franc¸Ois Havet

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathematiques Module MA5.04 ALGEBRE : Groupes et Applications Jean-Franc¸ois Havet Universite d'Orleans, Departement de Mathematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France Septembre 2003

• theoreme de symetrisation


• theoremes de sylow


• direct


• groupes abeliens


• relation d'equivalence


• loi de composition interne


• classes d'equivalence definies


• theoreme de factorisation pour les homomorphismes de groupes


• structure des groupes cycliques

Sujets

• Noether
• Théorèmes de Sylow
• Direct
• Relation d'équivalence
• Loi de composition interne

Informations

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• Publié le: 01 septembre 2003
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• Langue: Français

Extrait

LicencedeMath´ematiques

Module MA5.04

ALGEBRE : Groupes et Applications

Jean-Fran¸coisHavet

Universit´ed’Orl´eans,De´partementdeMathe´matiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France

Septembre 2003

Tabledesmatie`res ChapitreI:RappelsetCompl´ementsensemblistes1 1The´orieaxiomatiquedesensembles1 2 Relations et applications 3 2.1.G´ne´ralit´es                                  3 e 2.2. Applications injectives et surjectives                     4 2.3. Loi de composition interne                          6 3Relationd’´equivalence7 3.1. Ensemble quotient                              7 3.2.Th´eore`medefactorisation                          7 3.3.Compatibilit´eavecuneop´erationinterne                  8 4 Relation d’ordre 9 4.1. Ensemble ordonne                               9 ´ 4.2. Ensemble inductif                               10 5 Axiome du choix et Axiome de Zorn 10 5.1. Axiome du choix                               10 5.2. Axiome de Zorn                                11 6 L’ensemble des entiers naturels 12 6.1. Construction deN                              12 6.2.Ope´rationsdansN                              13 6.3. Relation d’ordre surN                            13 7 Cardinaux 14 7.1.Ensembles´equipotents                            14 7.2. Comparaison de deux cardinaux                       15 7.3.Ensemblesde´nombrables                           16 Chapitre II: Groupes et sous-groupes 21 1Ge´ne´ralit´es21 1.1. Structure de groupe                              21 1.2. Homomorphismes de groupes                        22 1.3. Isomorphismes de groupes                          23 1.4. Automorphismes de groupes                         24 1.5.Th´eor`emedesym´etrisation                          25 i

2 Sous-groupes 27 2.1. La notion de sous-groupe                          27 2.2. Sous-groupes et homomorphismes                      28 2.3.Sous-groupeengendr´eparunepartie                    29 2.4.Ordred’une´l´ement                              30

Chapitre III: Groupes de permutations 33 1 Actions de groupe 33 1.1.Groupeop´erantsurunensemble                       33 1.2.Classesd’e´quivalencede´finiesparunsous-groupe             35 1.3. “Equations aux classes”        36                    1.4.p-groupes                                   37 2 Groupes Quotients 38 2.1.Sous-groupesdistingu´es                            38 2.2.The´ore`medefactorisationpourleshomomorphismesdegroupes     40 2.3.Th´eor`emed’isomorphismed’EmmyNœther                41 3Groupesyme´triqueS n 42 3.1. Cycles                                     42 3.2.Ge´ne´rateursdugroupeS n                           44 3.3. Signature d’une permutation                         45

ChapitreIV:Th´eor`emesdestructures47 1 Groupes cycliques 47 1.1. Structure des groupes cycliques                       47 1.2.The´ore`mechinois                               48 1.3. Indicateur d’Euler                              49 2 Produits direct et semi-direct 51 2.1. Produit direct                                 51 2.2. Produit semi-direct                              52 3Th´eor`emesdeSylow54 3.1. Sous-groupes de Sylow                            54 3.2.Premierthe´ore`medeSylow                         55 3.3.Autresthe´ore`mesdeSylow                          56 4Groupesabe´liensfinis58 4.1.D´ecompositioncycliquecanoniqued’ungroupeabe´lien          58 4.2. Composantes primaires                            60 ii

Index

i

i

i

63

iv

ChapitreI:RappelsetComple´mentsensemblistes

1

1 Th´ i axiomatique des ensembles eor e Lath´eorieintuitivedesensemblesconduit`adesparadoxes.Eneffetsinoussupposons l’existence deE’ensemblid´ererleeselsuotselbmesnouspou,nnsconsvo,enledesemb F={E∈ E;E ∈E}et nous poser la question : a-t-onF∈F? On remarque alors que F∈F⇔F∈ F. D’ou`lan´ecessit´edede´finitionsplusrigoureuses,c’esta`dired’uneaxiomatiq´cisant ue pre lesreglesdeconstructiondesensemblesetdonclesproprie´te´sdel’appartenance,not´ee ` ∈.L’deestcelleneseee´trteˆ´rpeeqquvauiioaxtimaZermelo-Fraenkele´alobirrtpa`aeer´ de 1908.

Axiomed’extensionnalit´e: ∀x∀y[∀z(z∈x⇔z∈y)⇒(x=y) ] Deuxensemblessont´egauxsietseulements’ilsontlesmˆemese´l´ements.

Axiome de l’ensemble vide : ∃x∀y¬(y∈x) 1 D’apre`sl’axiomepre´c´edentcetensembleestuniqueetestnote´∅. ´ De´finition.Untesilbmesnee´cnoneenonc´ecestun´a`aptrrinotsurticaifiurtesqdentuas ∀,∃, des connecteurs logiques, de = et∈et ne portant que sur des ensembles. Exemple : l’inclusionP(x yare´d)pinfi∀z(z∈y⇒z∈xst)eliste;nue´oncne´neesbm on le notey⊂x.

Axiomedecompre´hension:SoitPnuts.embliensenc´e´eno ∀x∃y∀z h (z∈y)⇔  (z∈x)∧P(z)  i  D’apre`sl’axiomed’extensionnalite´l’ensembleyest unique. On le note{z∈x;P(z)}. Cons´equence:Soientxetyesblnp.Osedeemnsinr´dfieolsrueatl’intersectiondexet yparx∩y={z∈x;z∈y}. Si on ay⊂xpeonut´egalementd´efiinlrereaicmolpe´emtn deydansxparC x y={z∈x;z∈ y}. On le note aussix\y. 1 Le symbole¬returiecma´ethma”udeuqitte”nonlt´’se∧celle du ”et”

2

RappelsetComple ´ mentsensemblistes

Axiome des parties : ∀x∃y∀z[ (z∈y)⇔(z⊂x) ] L’ensembleyestuneuqisetetonte´P(x). Cons´equence:Pour tout ensemblextqeneml´ueaya’nelbe´ruoptnxistilensemeune x, on le note{x}, c’est unsingleton. En effet{x}={z∈ P(x) ;z=x}.

Axiome de la paire : ∀x∀y∃z∀t h (t∈z)⇔  (t=x)∨(t=y)  i  L’ensemblezest unique. Six=yon retrouve{x}. Six6=y, on le note{x y}c’est une paire. Conse´quence:Sixetysont des ensembles, alors{ {x}{x y} }melbensne´netotues (x ytapp)eel´ecouple. Proposition :Soientx,x 0 ,yety 0 des ensembles. (x y) = (x 0  y 0 )⇔((x=x 0 )∧(y=y 0 ))

Preuve.enteevidest´ante.sffiusnoitidnocaL Si (x y) = (x 0  y 0 ) alors{ {x}{x y} }={ {x 0 }{x 0  y 0 } }. •Six=yalors{ {x} }={ {x 0 }{x 0  y 0 } }; on doit avoir{x}={x 0 },d’o`ux=x 0 , et {x}={x 0  y 0 }du`o’x 0 =y 0 =x. •Six6=yneatiremessan´eclorsx 0 6=y 0  le premier cas et on ad’a `s pre soit ({x}={x 0  y 0 })∧({x y}={x 0 }) impossible carx6=y, soit ({x}={x 0 })∧({x y}={x 0  y 0 }) d’oux=x 0 et par suitey=y 0 . `

Axiome de fondation : ∀x h (x6=∅)⇒ ∃y  (y∈x)∧(y∩x=∅)  i 

Cons´equence:Cet axiome interditx∈x. En effet si nous supposonsx∈xalors{x} contredit l’axiome :{x} 6=∅et pour touty∈ {x}emtniaerecssn(e´y=x)y∩ {x}={x} 6= ∅. Demeˆmecetaxiomeinterdit(x∈y)∧(y∈x) ; sinon{x y}contredit l’axiome.

Relations et applications

Axiomedelar´eunion: ∀x∃y∀z h (z∈y)⇔ ∃t  (t∈x)∧(z∈t)  i 

3

L’ensembleyeqieutsnuottneset´e [ t(union des ensembles dex). t∈x Exemples :Six={a b}onobtienana`tpaapenrteml´tsendelbe´see’ltmesnaoub; on le notea∪b. Six={ {a}{b c} }on trouve{a b c}. The´ore`me:Soientaetbsembuneniqueleuneon´tenuxde,selbmesetsixelia×b´lepaep produitcart´esiendontles´ele´mentssontlescouples(x y)avecx∈aety∈b. Preuve.On sait que les couples existent, mais constituent-ils un ensemble ? On a (x y) ={ {x}{x y} }et donc a×b={z∈ P(P(a∪b)) ;∃x∃y(z= (x y))∧(x∈a)∧(y∈b)}

Axiome de l’infini : ∃x[(∅ ∈x)∧ ∀y(y∈x⇒y∪ {y} ∈x)] Cet axiome nous permettra de construireN. Remarquons que∅ ∈x, donc{∅} ∈x, par suite{ ∅ ∈{∅} }xo’u`d,{ ∅{∅}{∅{∅} } } ∈x,  

Axiome du choix : Toutproduitcart´esiend’unefamillenonvided’ensemblesnonvidesestnonvide. Cetaxiomenefaitpaspartiedelath´eorieclassiquedeZermelo-Fraenkel.Historiquement ilfitl’objetdenombreusescontroversesetnousdistingueronslese´nonce´sobtenusgraˆcea` sonutilisation.Ilposs`edediffe´rentesformes´equivalentesnousenciteronsquelques-unes a`lasection5.

2 Relations et applications 2.1.G´ene´ralite´s

2.1.1.D´efinition. SoientEetFdeux ensembles. On appellerelationdeEversFtoute partieRdeE×F; on note alorsxRyau lieu de (x y)∈R. LorsqueE=Fon dit queR est une relation surE.