Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 3 ————————————————————————————————————————— On considere le systeme d'equations lineaires a coefficients reels : (?E) ? ?? ?? x1 ? x2 + x3 ? x4 = 2 (E1) 2x1 ? 2x2 + 3x3 ? 4x4 = 3 (E2) x1 ? x2 + x4 = 3 (E3) . 1) Quel est l'ordre des variables de ce systeme. Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les memes solutions que (?E). Quelles sont les variables libres du systeme triangule obtenu ? 2 ) Determiner les solutions dans R4 de (?E) a l'aide de ces variables libres. On exprimera ces solutions sous forme de la somme d'un element de R4 et de l'ensemble des combinaisons d'elements de R4 que l'on precisera. 3) Memes questions avec le systeme d'equations lineaires : (?S) ? ?? ?? x1 ? x2 + x3 ? x4 = 2 (S1) 2x1 ? 2x2 + 3x3 ? 4x4 = 3 (S2) x1 + x2 + x4 = 3 (S3) . ————————————————————————————————————————— 1) La premiere variable est x1, la deuxieme x2, la troisieme x3 et la quatrieme x4. le systeme (?E) est ordonnee : les trois equations du systeme sont d'ordre 1.

premiere variable

systeme d'equations lineaires

premiere equation du systeme

solution du systeme dit

x3 ?

variables de tete des equations

memes solutions

Sujets

Système d'équations linéaires

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Langue	Français

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NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine3 ————————————————————————————————————————— Onconside`relesyst`emed’´equationsline´airesa`coeﬃcientsr´eels:  −x= 2(E) x1−x2+x3 41 (∗E) 2x1−2x2+ 3x3−4x4(= 3E2)   x1−x2+x4= 3(E3). 1)Quelestl’ordredesvariablesdecesyste`me.Donnerenutilisantavecpre´cisionl’algorithme detriangulationducoursunsyst`emetriangule´ayantlesmeˆmessolutionsque(∗E). Quelles sontlesvariableslibresdusyste`metriangule´obtenu? 4 2)D´eterminerlessolutionsdansRde (∗Eibslleabrivaesecdedia’la`)rearpminOxeer.s 4 cessolutionssousformedelasommed’un´ele´mentdeRet de l’ensemble des combinaisons 4 d’e´l´ementsdeRquel’norpe´icesar. 3)Mˆemesquestionsaveclesyste`med’e´quationsline´aires:   x1−x2+x3−x4= 2(S1) (∗S) 2x1−2x2+ 3x3−4x4(= 3S2)   x1+x2+x4(= 3S3). ————————————————————————————————————————— 1)Lapremie´revariableestx1dal,eme`ixuex2atro,lemeisi`x3qaaueltmeert`ix4le.stsyme´e (∗E.1erdrsusy`tmesenodto’trois´equationsdotsenodree´nsel:) ´ Etape 1t`emusysiondquatere´ime`paereslrlitiaue`stsionecllE(e∗E) pour faire monter l’ordre dessuivantes.Puis,sibesoinest,onsimpliﬁe,onstopeouonordonne.Utilisonslapremie`re ´equationdusyste`me(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x1−x2+x3−x4= 2(E1)  0 0 =E2−2E1) (∗E) +x3−2x4=−1 (E2  0 E E−E). −x3+ 2x4(= 13=3 1 Cesyste´meestordonn´e. 0 ´ Etape 2ocsnlEel`autisteerlailisme`ixueditauqe´estsyduon(me`e∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes.Puis, si besoin est, on simpliﬁe , on stope ou on ordonne.Utilisons la 0 deuxie`mee´quationdusyste`me(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x−x+x− 1 2 3x4(= 2E1) 0 +x3−2x4=−1 (E=E2−2E1) 2  0 0 + 0= 0(E−E). 3 2 00 Onpeutsupprimerladerni´ere´equation0=0.Onobtientdonclesyste`metriangul´e(∗E) qui amˆemesolutionquelesyst`emeded´epart: ( 00x1−x2+x3−x4(= 2E1) (∗E) 0 (E +x3−2x4=−12). Lesvariablesdetˆetedes´equationsdecesyste`metriangule´sontx1etx3variables libres. Les sont doncx2etx4.

2)Pourr´esoudreunsyste`metriangul´e,onpartdeladerni`ere´equationetonremonte.La derni´ere´equationdonne: x3=−1 + 2x4 .Lapremi´ere´equationdonnealors:

x1=x2−x3+x4+ 2 =x2+ 1−2x4+x4+ 2 =x2−x4+ 3. SoitSl’ensemble des solutions deE, on obtient : S={(x2−x4+ 3, x2,−1 + 2x4, x4que) telsx2, x4∈R}, S={(3,0,−1,0) +x2(1,1,0,0) +x4(−1,0,2,1) telsquex2, x4∈R}, V´eriﬁcationque(´eriﬁeratcelvrueeL−1,0,2,1) est bien solution de  x1−x2+x3−x4= 2(E1)  (∗E) 2x1−2x2+ 3x3−4x4(= 3E2)   x1−x2+x4= 3(E3). et que (1,1,0,0) et (−1,0,2,´icossae(a`eso1)tnosulitnodssusyt`emedithomog`en∗E) :  x+x−x= 0 x1−2 3 4 2x1−2x2+ 3x3−4x4= 0   x1−x2+x4= 0. 3)Lapremie´revariableestx1ueixl,dame`ex2i`isroat,lemex3`irtauqalteemex4syst´eme.le (∗Sme`tnosedsnosysueqs´tiuaes:loitrdrno´nee)seotdrerdto’.1 ´ Etape 1atqu´ereysusndiolresilite`imerpaeconElle`ausist`tme(e∗E) pour faire monter l’ordre dessuivantes.Puis,sibesoinest,onsimpliﬁe,onstopeouonordonne.Utilisonslapremie`re ´equationdusyste`me(∗E) pour faire monter l’ordre des suivantes :  x1−x2+x3−x4= 2(S1)  x3−2x4=−1 (S2−2S1)   2x2−x3+ 2x4= 1(S3−2S1). ordonnons, on obtient :  x1−x2+x3−x4= 2(S1)   0 (∗S) 2x2−x3+ 2x4(= 1S2−2E1)   x3−2x4=−1 (S3−S1). Findel’e´tape1.Commecesyst`emeesttriangule´l’algorithmesetermineenune´etape.Il 0 admet pour seule variable libre :x4´r.(snovlose∗S) donc (∗Sderni`ertonsdelano´aerq)ePauit et remontons : x3=−1 + 2x4 2

. Ladeuxi emee´quationdonnealors:

2x2=x3−2x4+ 1 =−1 + 2x4−2x4+ 1 = 0.

On obtientx2=.0aLrpme`ire´eqetiuadooneannrslo: x1=x2−x3+x4+ 2 = 1−2x4+x4+ 2 = 3−x4 SoitSoll’ensemble des solutions deE, on obtient : Sol={(3−x4,0,−1 + 2x4, x4que) telsx4∈R}, Sol={(3,0,−1,0) +x4(−1,0,2,1) telsquex4∈R}, V´eriﬁcationtceleLire´vrueque(ﬁera−1,0,2,1) est bien solution de  −x x1 2+x3−x4(= 2S1) (∗S) 2x1−2x2+ 3x3−4x4= 3(S2)   x1+x2+x4= 3(S3). et que (1,1,0,0) et (−1,0,2,itedmohoeng`sseaituldsnosysume`t1)sontso`e(aco´i∗E) :   x1−x2+x3−x4= 0(S1) 2x1−2x2+ 3x3−4x4= 0   x1+x2+x4= 0.

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