Université Claude Bernard Lyon automne Licence Sciences Technologies Santé mention mathématiques

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques UE Math III Algèbre - MAT2002L ———————— PLANCHE D'EXERCICES IV - DÉCOMPOSITION SPECTRALE D'UN ENDOMORPHISME - EXPONENTIELLE D'ENDOMORPHISMES - Exercice 1. F Soit E un K-espace vectoriel. Un endomorphisme pi de E est appelé projecteur si pi2 = pi. 1. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors E = Ker pi ? Im pi. La réciproque est-elle vraie ? 2. On suppose que E est de dimension finie. Montrer que si pi est un projecteur de E, alors rang(pi) = trace(pi). Dans la suite, on suppose que pi1 et pi2 sont deux projecteurs de E et que K n'est pas de caracté- ristique 2. 3. Montrer que pi1 + pi2 est un projecteur si, et seulement si, pi1 ? pi2 = pi2 ? pi1 = 0. 4. Montrer que si pi1 + pi2 est un projecteur, alors i) Im (pi1 + pi2) = Im pi1 ? Im pi2, ii) Ker (pi1 + pi2) = Ker pi1 ? Ker pi2. Exercice 2. F Montrer qu'un espace vectoriel E est somme directe de sous-espaces vectoriels E1, . . . , Ep si et seulement s'il existe des projecteurs pii : E ?? Ei, i = 1, .

• matrice des projecteurs spectraux dans la base canonique


• projecteur


• ker


• base canonique par la matrice


• a2 a2


• projection sur ker


• e1 ?

Sujets

• Projecteur

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Extrait

UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Santè - mention mathèmatiques

UE Math III Algbre - MAT2002L ————————

P LANCHE D ’ EXERCICES IV - D ÈCOMPOSITION SPECTRALE D ’ UN ENDOMORPHISME - E XPONENTIELLE D ’ ENDOMORPHISMES -

F Exercice 1.SoitEunK-espace vectoriel. Un endomorphismeπdeEest appel projecteur si 2 π=π. 1. Montrer que siπest un projecteur deE, alorsE=Kerπ⊕Imπ. La rciproque est-elle vraie ? 2. On suppose queEest de dimension finie. Montrer que siπest un projecteur deE, alors rang(π) =trace(π). Dans la suite, on suppose queπ 1 etπ 2 sont deux projecteurs deEet queKn’est pas de caract- ristique2. 3. Montrer queπ 1 +π 2 est un projecteur si, et seulement si,π 1 ◦π 2 =π 2 ◦π 1 =0. 4. Montrer que siπ 1 +π 2 est un projecteur, alors i)Im(π 1 +π 2 ) =Imπ 1 ⊕Imπ 2 , ii)Ker(π 1 +π 2 ) =Kerπ 1 ∩Kerπ 2 . F Exercice 2.Montrer qu’un espace vectorielEest somme directe de sous-espaces vectoriels E 1 , . . . , E p si et seulement s’il existe des projecteursπ i :E−→E i ,i=1, . . . , p, satisfaisant Imπ i =E i ,id E =π 1 +. . .+π p , π i π j =0,sii6=j. Exercice 3.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien≥1etuun endomorphisme deE. k 1. Montrer que siλest une racine d’ordrekdu polynÔme minimalm u , i.e.,m u = (X−λ)Q avecQ(λ)6=0, alors k KerQ(u) =Im(u−λid E ). 2. Sous les mmes hypothses, montrer que k k E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ). 3. Soitλune valeur propre deutelle que E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ). 0 0 Montrer que le polynÔmeP= (X−λ)m, oÙmest le polynÔme minimal de la restriction deu au sous-espace Im(u−λid E ), est annulateur deu. En dduire queλest racine simple dem u . 4. Montrer que les deux galits suivantes sont quivalents 2 E=Ker(u−λid E )⊕Im(u−λid E ),Ker(u−λid E ) =Ker(u−λid E ).

5. Montrer que siuest diagonalisable, alors pour toute valeur propreλon a :

2 Ker(u−λid E ) =Ker(u−λid E ).

Exercice 4.Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielEde dimension finie, dont le polynÔme caractristique est scind. Montrer queuest diagonalisable si et seulement si, pour tout scalaireλ∈K, 2 rang(u−λid E ) =rang(u−λid E ).