Université de Rouen Master EFCS Mathématiques
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Niveau: Supérieur, Master
Université de Rouen Master 1 EFCS - Mathématiques 2011–2012 Algorithmique et logiciels mathématiques 2 TP 7 : Intégration numérique Il est en général impossible de calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle (dès qu'on ne connait pas d'intégrale de la fonction et que les mé- thodes classiques, intégration par parties ou changement de variables, ne s'appliquent pas). Par exemple, on ne peut pas calculer de manière exacte ∫ 1 0 exp(?x 2)dx. C'est pour cela qu'on met en œuvre des méthodes numériques. Plus généra- lement, d'ailleurs, les outils de calcul numérique (calculatrices, ordinateurs) auront forcément recours à ces méthodes numériques. Étant donné une fonction f : [a, b] f : [a,b] ??R assez régulière (au moins continue, voire C 1 ou plus au besoin), on notera I( f )= ∫ b a f (x)dx son intégrale, et on cherche des méthodes permettant d'approcher la valeur de I( f ) à l'aide des valeurs de f en un nombre fini de points a≤ x0 < x1 < ·· · < xn ≤ b. On appelle ces méthodes des méthodes de quadrature, ou d'intégration numérique. La qualité d'une méthode de quadrature se mesure à son degré de précision (ou degré d'exactitude) qui est le degré maximal d'un polynôme pour lequel la méthode de quadrature donne la valeur exacte de l'intégrale.
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Université de Rouen Master 1 EFCS - Mathématiques 2011–2012 Algorithmique et logiciels mathématiques 2 TP 7 : Intégration numérique Il est en général impossible de calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle (dès qu'on ne connait pas d'intégrale de la fonction et que les mé- thodes classiques, intégration par parties ou changement de variables, ne s'appliquent pas). Par exemple, on ne peut pas calculer de manière exacte ∫ 1 0 exp(?x 2)dx. C'est pour cela qu'on met en œuvre des méthodes numériques. Plus généra- lement, d'ailleurs, les outils de calcul numérique (calculatrices, ordinateurs) auront forcément recours à ces méthodes numériques. Étant donné une fonction f : [a, b] f : [a,b] ??R assez régulière (au moins continue, voire C 1 ou plus au besoin), on notera I( f )= ∫ b a f (x)dx son intégrale, et on cherche des méthodes permettant d'approcher la valeur de I( f ) à l'aide des valeurs de f en un nombre fini de points a≤ x0 < x1 < ·· · < xn ≤ b. On appelle ces méthodes des méthodes de quadrature, ou d'intégration numérique. La qualité d'une méthode de quadrature se mesure à son degré de précision (ou degré d'exactitude) qui est le degré maximal d'un polynôme pour lequel la méthode de quadrature donne la valeur exacte de l'intégrale.
- méthode
- outils de calcul numérique
- degré de précision
- intégration numérique
- développement de taylor-lagrange au point x0
- πn
PCSI A 20092010
Informatique
TP 7 : suites récurrentes.
1 Méthodesd’étude d’une suite récurrente.
1.1Positionduproblème
On considère une fonctionf:I→Ret une suite (un)n∈Ndéfinie par la relation de récurrence : u0∈I ∀n∈N, un+1=f(un)
Lycée Brizeux
La première chose à faire est de s’assurer quela suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partieD⊂Itelle quef(D)⊂D. La suite (un)n∈Nest alors uniquement déterminée paru0∈D. Intéressonsnous à la convergence de la suite.
1.2 Pointfixe
Nous avons le résultat suivant : Proposition. Sif:I→Iest continue et si (un)n∈Nconverge vers un réell∈Ialorslest un point fixe def, i.e. f(l) =l.
Démonstration.Supposons que limun=l. Commefest continue enl, on a limf(un) =f(l). Or limun+1= limun. Ainsi la suite (un+1) = (f(un)) converge aussi versldonc par unicité de la limitef(l) =l.
Lorsque la suite est convergente, la limite est è chercher parmi les points fixes de la fonction. Il s’agit de maintenant de trouver des critères de convergence
1.3Fonctionsmonotones
1.3.1 Lafonctionfest croissante
Proposition. Soitf:I→Iune fonction croissante. Alors toute suite récurrente (un) associée àfest monotone. Ainsi, 1. siu1≥u0alors (un;) est croissante 2. siu1≤u0alors (un) est décroissante.
Démonstration.On supposeu0≤u1. Si pour un entiern, on aun≤un+1alors commefest croissante f(un)≤f(un+1) soitun+1≤un+2. On a montré par récurrence surnque (un) est croissante. La preuve est identique siu1≤u0.
Remarques : 1. Sila fonctionfest croissante et l’intervalleIest borné alors (un) est une suite monotone bornée, ce qui garantit sa convergence .
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