Université des Sciences et Technologies de Lille, licence Bac+3

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2011/2012 Licence Profil Mécanique Semestre 4 Compléments d'analyse réelle M 203' Exercices sur les séries de Fourier Dans la suite, les fonctions sont définies sur R et sont à valeurs réelles ou complexes. Exercice 1 Soient k et n deux entiers dans Z. Calculer les intégrales suivantes ∫ 2pi 0 ei(n+k)xdx, ∫ 2pi 0 cos(nx) cos(kx)dx, ∫ 2pi 0 sin(nx) sin(kx)dx, ∫ 2pi 0 cos(nx) sin(kx)dx. Exercice 2 Étudier la convergence (simple, uniforme, normale) sur R des séries trigonométriques dont les coe?cients sont les suivants : (1) a0 = 1, an = 1, bn = 1 ; (2) c0 = 1, cn = 1n2 ; (3) n ≥ 0, cn = rn (avec r ? R) et n ≤ ?1, cn = 0 avec r ? R. Déduire de la dernière question que pour tout n ≥ 0 et pour tout ?1 < r < 1, rn = 1 2pi ∫ 2pi 0 e?inx 1? reix dx. Exercice 3 Calculer ak(f), bk(f) et ck(f) et tracer les graphes des fonctions 2pi-périodiques sui- vantes : (1) f(x) = ?1 sur [?pi

• compléments d'analyse réelle


• moyenne de césaro de la série de fourier


• pi ?


• classe ck


• exercices sur les séries de fourier


• calculer a4pik

Informations

• Publié par: ondey
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

R
k n Z
Z Z Z Z
2 2 2 2
i(n+k)xe dx; cos(nx)cos(kx)dx; sin(nx)sin(kx)dx; cos(nx)sin(kx)dx:
0 0 0 0
R
a = 1 a = 1 b = 10 n n
1c = 1 c =0 n 2n
nn 0 c =r r2R n 1 c = 0 r2Rn n
n 0 1<r< 1
Z
2 inx1 enr = dx:
ix2 1 re0
a (f) b (f) c (f) 2k k k
f(x) = 1 [ ;0[ f(x) = 1 [0;[
f(x) =x [ ;[
f(x) =jxj [ ;[
desoUniversit?de;graphes(2)d'analyseand?niessuivcont?grales?rioinc,(2)leslesCalculersur.(simple,oucicedansfonctionstiersan;Pr(3)Semestreneldeuxsurcla,tionset3Sciencmaomplexes.ntvSoien?tudier(atracerveec2011/20121sui-cice:Exerenc.surett4?surv,203'aleurss?riesesourierr?elles(3)tesonatvet,Calculeretle)Tre,.uniforme,D?duireergencedeetlaladerni?re2questionetquelespdourstoutExerchnolo-p,diquesgiesvettesp(1)ourLictoutedeolLilM?leanique(1),:e,Compl?mentstsran?suivleles;tMsonExercicestsleseciensurcoFlesDanst;donsuite,trigonom?triquesfescs?risondessur1surExersonciceec1)f :R!R C 2
f a (f) b (f)k k
8k2Z; c (f) =c (f)k k
(c (f)) (a (f)) (b (f))n n n n n n
f(x) =f( x) x R b (f) = 0 n Nn
f(x) = f( x) x R a (f) = 0 n Nn
1 1 0f C [0;2[ c (f) = c (f )n nin
1k k+1 (k+1)f C C [0;2[ c (f) = c (f )n k+1 n(in)
f :R!R C 2 N 1
NX
inx inxS (f)(x) :=c (f)+ (c (f)e +c (f)e ):N 0 n n
n=1
Z N2 X1 2 2 2 2jS (f)(x)j dx =jc (f)j + (jc (f)j +jc (f)j ):N 0 n n
2 0 n=1
Z 2
(f(x) S (f)(x))S (f)(x)dx = 0:N N
0
ZN 2X 1
2 2 2 2jc (f)j + (jc (f)j +jc (f)j ) jf(x)j dx:0 n n
2 0n=1
a R Z 2 [ ;[
f(x) := cos(ax):
2sin(a)
a (f) =0 a
n( 1) 2asin(a )
n 1 a (f) =n 2 2(a n )
leonla,queouraleursP-p(2)appartenanMonsurtrerSiquetrerdique.)?riocice-p;morceauxppvsonose(1)tinanconuefonctionqunetin)cice(ousuitesSoitSoit5*?ciceOnExer(2).diquealorsr?ell,parsuralorsmorceaux?partreret:classer?sultatsdeMonest(2)Sip(3)?rioConclureparquefonction(7)Soit;Monalors,,Exersur6morceauxLespartet(3)ue.tinconsid?reconfonctionest;Si?rio(6)d?nie;esdansaleurstout?ourtpetalorsr?elles,,vdansesttoutMonourquep(1)Sits(5)suiv;sdanstrertout.our.pMonalorsque,,ourdansditout,ourmorceauxpueSicon(4)une;(ouorn?es4bExer(1)trerson2ettue.parx R Z
+1X1 2x
(x) = + :
2 2 2x x n
n=1
4 [0;2]
f(x) := x:
f R
4b (f) = 0 k 0k
4a (f) k 0k
x [0;2]

+1 1X cos n+ x4 2 x = :
2 (2n+1)
n=0
R
+1X2 4 cos(2px)
8x2R;jsinxj = :
2 4p 1
p=1
R
1f 2 C R
n 1 t2R 2Z
n tX sin (2n+1)ikt 2D (t) = e = :n tsin
2k= n
n 1
Z nX 22 sin((2n+1)u)ikxS (f)(x) = c (f)e = (f(x+2u)+f(x 2u)) du:n k
sinu0k= n
R
sin((2n+1)u)2 21 = du:
0 sinu
cparergencemorceauxpr?c?densurMon(3)cice.En(1)ueSoitparCalculer(2)laquefonctionlaet?soit(5):etaionracerdetrer(4)cotgtrOnrmonpremierdesdeanhlet.ciceetsurdiquecon?riocon-p?rioourd?toutquefonctionpunelasseourgrapheSoitdans9**Moncice,ExerExer?7pconsid?resurtreruniformets,ergenceexercicesvstrat?giecontA-t-onsuiv.8(4)ExerConclurelaque,uniformepv3A-t-on(3)fonction(2)tinSoitpConclurediqueourpairetout(3).trerMonntrerequesurque,(1)pTourle.detoutdansque,D?monsure.le.th?or?meMonDirictrerque0f 2 C R
nX1
u = f(2k):n
n
k=1
(u ) Qn n
ipt Q f(t) = e p2 Z
Z 21
lim u = f(t)dt:n
n!+1 2 0
f
f 2
> 0 f 2 x [0;2[
xf(x) =e :
21 e 1n Z c (f) =n 2 ir
f
+12 Xe +1 1 1 2
= + :
2 2 2e 1 +n
n=1
P P+1 +11 1lim = :!0 2 2 2n=1 n=1 +n n
+12 X 1
= :
26 n
n=1
R 21f 2 C f(t)dt = 0
0
R R2 22 0 2jf(t)j dt jf (t)j dt:
0 0
it itf(t) =ae +be
.al.p12ourOnd?duire?galit?que?rioarsevmainPmitedediquel'?galit?ExerAppliquerfonction(2)a.n'appartienque(1)trertMon(1).soit?trer?tuneSoitExer(1),avonde,telledanspastouttoursuppptrerque.tellesidiquela?riop-ptfonctionclasseune(2)Soitl'on.et(3)-pMon10trermonqueciceSoitSoit11uneciceecExer-pdique.dique?rioclassepSietqueue?tintconquettenannoseseuleme.estMono?quecas(2)le?dansappartienConclurede(4)litrigonom?trique.D?terminerolyn?meosepOnun?(4)appartenanConclureetquedeest?riosiMonvraiequeresteapropri?t?sicetteseulemenquesitrerfonctionMonSoit(3)ciceque4trerappartenan.t0f 2 C R
n 0 x R
nX
ikxS (f)(x) = c (f)e :n k
k= n
n 1X1
(f)(x) S (f)(x):n k
n
k=0
S (f)(x) 10k
Z
2
21 sin (nu)
(f)(x) = (f(x+2u)+f(x 2u)) du:n 2n sin u0
R 2sin (nu)2 21 = du:2n 0 sin u
1 +x R (f)(x) (f(x )+f(x ))n 2
f R
ergeFtde.s?riel'exelauledetrerC?sarodansde13***ennesuryutilisanmo(3)assepparula,aussiExerd?nitconOners,ouretlade(1)clMon:Montrerquesiourestostourierdans5rrciceudeocicediqueSoitpvetvourunepfonctionose,ppformOnt?rioEn.-pque(4)trermonqueconue,estmorceauxtinlavcon(2)ergenceEnuniformed?duireurque.,