Maıtrise de mathematiques Statistique mathematique

Description

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de mathematiques 1998 Statistique mathematique 4. Estimateurs sans biais 4.1. Soit (Xi, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (µ, ?2). a) A l'aide de (T1, T2) = ( ∑n i=1 Xi, ∑n i=1 X 2 i ) construire un estimateur sans biais pour le couple (µ, ?2). b) Rappeler quelle est l'information de Fisher. L'estimateur est-il effi- cace? Existe-t-il un estimateur efficace? c) Si on s'interesse au risque quadratique pour ?2 seul, construire un meilleur estimateur de ?2. 4.2. Soient (?i, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (0, ?2) et (xi, i = 1, . . . , n) une suite de reels connus. On observe Yi = ?xi + ?i, i = 1, . . . , n. a) Calculer l'information de Fisher du modele. b) En s'inspirant de la droite de regression, proposer des estimateurs de ? et ?. Sont-ils sans biais? Efficaces? 4.3. Soient (T1, . . . , Tk), k estimateurs sans biais d'un parametre ?, avec cov(Ti, Tj) = ?ij .

• x0 de loi ?


• couple de loi nor- male d'esperance et de covariance


• estimateur sans biais de ?


• estimateurs sans biais


• estimateur sans biais

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Extrait

Mihai Gradinaru

Maıˆtrisedemathe´matiques 1998 Statistiquemathe´matique 4. Estimateurssans biais

1

2 4.1.Soit (X i , i= 1, . . . , n) unnedolihce´nollitnaN(µ, σ). P P n n 2 ` onst stimateur a) A l’aide de (T 1 , T 2 ) = (X i , X i ) cruire un e i=1i=1 2 sans biais pour le couple (µ, σ). b) Rappeler quelle est l’information de Fisher.L’estimateur est-il effi- cace? Existe-t-ilun estimateur efficace? 2 c)Sions’inte´resseaurisquequadratiquepourσseul, construire un 2 meilleur estimateur deσ.

2 4.2.Soient (ε i , i= 1, . . . , n) unnantillon´echioledN(0, σ) et (x i , i= 1, . . . , nesun)ervenobsus.Oocnneesled´riuetY i =αx i +ε i ,i= 1, . . . , n. a)Calculerl’informationdeFisherdumode`le. b)Ens’inspirantdeladroiteder´egression,proposerdesestimateursde αetβ. Sont-ilssans biais?Efficaces?

4.3.Soient (T 1 , . . . , T k ),kseiasbanssurtematiar`mteersi’dnuapθ, avec cov(T i , T j ) =σ ij . a)Parmilescombinaisonslin´eairesdesT i , trouver l’estimateur sans biais de variance minimale. b) Siσ ij = 0 pouri6=j, quelle est cette variance minimale? c) Application:si on dispose dekeialldstentdaenepd´innslolitnahce´ 2 2 n i ,i= 1, . . . , k, de loisN(µ i , σ), proposer un estimateur sans biais deσ. Est-il efficace?

4.4.Pour estimer la proportionp, inconnue, d’un certain type de pois- sondansunlac,ond´ecidedepˆecherjusqu’`aobtenirnpoissons de ce type. SoitNProposer un estimateur dele nombre total de prises.p. Montrerque l’estimateur (n−1)/(N−1) est sans biais.Est-il efficace?

4.5.Soit (X i , i= 1, . . . , n) unn´indlnltoohiaeelcP(λ). a)Calculerl’informationdeFisherdumod`ele. b) Proposer un estimateur sans biais ”intuitif” deP(XeduiEnd´=0).er un estimateur sans biais de variance minimale. c) Cet estimateur est-il convergent?Efficace?

4.6.Soit (X i , i= 1, . . . , n) unnanch´eram`depas2etrenoeditllmaamolgi et 1/θ.