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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UFR S.T.M.I.A. École Doctorale IAE + M Université Henri Poincaré - Nancy I D.F.D. Mathématiques Thèse présentée pour l'obtention du titre de Docteur en Mathématiques de l'Université Henri Poincaré par Manon DIDRY STRUCTURES ALGEBRIQUES SUR LES ESPACES SYMETRIQUES Soutenue publiquement le 16 juin 2006 (date prévue) Membres du jury : Lionel BERARD-BERGERY Examinateur Professeur, Nancy I Wolfgang BERTRAM Directeur de Thèse Professeur, Nancy I Pierre BIELIAVSKY Rapporteur Professeur, Louvain-la-Neuve Jean-Louis LODAY Rapporteur Directeur de recherche au CNRS, Strasbourg Karl-Hermann NEEB Rapporteur Professeur, Darmstadt Tilmann WURZBACHER Examinateur Professeur, Metz Institut Élie Cartan Nancy Laboratoire de Mathématiques B.P. 239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex

  • représentation

  • plan r2

  • analogie avec la définition des espaces riemanniens symétriques

  • symétrie

  • extension

  • systèmes triples de lie

  • espaces symétriques

  • espaces symetriques


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Publié le 01 juin 2006
Nombre de lectures 71

Extrait

UFR S.T.M.I.A.
École Doctorale IAE + M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur en Mathématiques de l’Université Henri Poincaré
par
Manon DIDRY
STRUCTURES ALGEBRIQUES
SUR LES ESPACES SYMETRIQUES
Soutenue publiquement le 16 juin 2006 (date prévue)
Membres du jury :
Lionel BERARD-BERGERY Examinateur Professeur, Nancy I
Wolfgang BERTRAM Directeur de Thèse Nancy I
Pierre BIELIAVSKY Rapporteur Professeur, Louvain-la-Neuve
Jean-Louis LODAY Rapporteur Directeur de recherche au CNRS, Strasbourg
Karl-Hermann NEEB Rapporteur Professeur, Darmstadt
Tilmann WURZBACHER Examinateur Metz
Institut Élie Cartan Nancy
Laboratoire de Mathématiques
B.P. 239
54506 Vandœuvre-lès-Nancy CedexTable des matières
1 Intégration de certaines structures algébriques 11
1.1 Introduction et présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Le cas des algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Groupes associés à une algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Présentation des groupes par générateurs et relateurs . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Action du groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3 Le cas des systèmes triples de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 Espaces symétriques associés à un système triple de Lie . . . . . . . . . 41
1.3.2 Fonctorialité de la construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Notion de fibré symétrique 53
2.1 Le point de vue algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.1 Représentation d’un système triple de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.2 Lien avec les représentations d’algèbres de Lie avec involution . . . . . . 58
2.1.3 Notion de fibré symétrique polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.4 Constructions algébriques de q-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Le point de vue géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1 Définition d’un fibré symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.2 Propriétés géométriques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.3 Fibrés symétriques et connexions d’Ehresmann . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.4 Version infinitésimale d’un fibré symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Cas de la dimension finie sur le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Le cas du fibré tangent 89
3.1 Extensions d’espaces symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.1 Extension quadratique d’unK-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.2on quadratique d’un espace symétrique . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.3 Version infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.4 Cas des systèmes triples de Lie admettant une extension de Jordan . . . 94
3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1 Généralités sur le processus de Cayley-Dickson . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2 Exemple du groupe linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.3le de la Grassmannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.4 Exemple de la Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3A Espaces symétriques sur des corps ou anneaux généraux 111
A.1 Notion de variété sur un corps topologique non discret . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2 Notion de fibré vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3 Espace symétrique et système triple de Lie associé . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B Représentation des algèbres n-aires 119
B.1 Idéal des identités d’une algèbre n-aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.1.1 La catégorie des algèbres n-aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.1.2 Evaluation des n-formes abstraites dans une algèbre n-aire . . . . . . . . 121
B.1.3 Idéal des identités d’une algèbre n-aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 La catégorie des représentations d’une algèbre n-aire . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2.1 Les représentations d’algèbres n-aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2.2 Identités multilinéaires d’une représentation . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.2.4 Lien entre l’idéal des identités d’une algèbre n-aire et les identités de sa
représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.2.5 Constructions algébriques de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.3 Extension d’une algèbre n-aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.3.1 La catégorie des extensions d’une algèbre n-aire . . . . . . . . . . . . . . 132
B.3.2 Représentation associée à une extension intégrable . . . . . . . . . . . . 132
B.3.3 Partie facteur d’une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.3.4 Caractérisation des extensions intégrables isomorphes . . . . . . . . . . . 135
B.3.5 Idéal des identités d’une extension de A par V . . . . . . . . . . . . . . 136
B.3.6 Principe de permanence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.4 Foncteurs induits par une forme abstraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.5 Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4Introduction générale
Espaces symétriques et espaces à symétries
La notion d’espace symétrique a été introduitedans les années 20 par le mathématicien Elie
Cartan (1869-1951) : il définit les espaces symétriques (riemanniens) comme étant des variétés
riemanniennes possédant un “gros” groupe d’isométries. Plus précisément, on demande qu’en
chaque point x de la variété, la symétrie géodésique s soit une isométrie.x
Il y a actuellement plusieurs définitions de la notion d’espace symétrique (essentiellement
équivalentes).
Par analogie avec la définition des espaces riemanniens symétriques, un espace symétrique
peut être défini comme étant une variété M munie d’une connexion affine ∇ pour laquelle la
symétrie géodésique s se prolonge en un automorphisme de (M,∇), en tout point x de lax
variété.
Un espace symétrique peut également être vu comme le quotient d’un groupe de Lie G
muni d’une involutionσ par un sous groupe ferméH, sous-groupe contenu dans le sous-groupe
σG des points fixes de G sous σ et contenant sa composante connexe. On appelle ces espaces
symétriques des espaces symétriques homogènes.
Le point de vue de Loos sur les espaces symétriques est sensiblement plus algébrique. Il
introduit tout d’abord la notion d’espace à symétries : un espace à symétries est une variété
M munie d’une application “produit”, i.e. d’une application lisse
μ : M×M −→ M
(x,y) 7−→ s (y)x
vérifiant les trois axiomes algébriques suivants, pour tout triplet (x,y,z) d’éléments de M :
(S1) μ(x,x) =x
(S2) μ(x,μ(x,y)) =y
(S3) μ(x,μ(y,z)) =μ(μ(x,y),μ(x,z)).
Si on poses (y) =μ(x,y), les deux premiers axiomes traduisent le fait que les applicationsx
s sont des involutions admettant x pour point fixe, le dernier axiome peut s’écrire sous lax
forme
s s s =s ,x y x s (y)x
ce qui traduit le fait que l’ensemble des applications s est stable par conjugaison. Les appli-x
cations s sont les symétries de l’espace à symétries M.x
2Un premier exemple très simple d’espace à symétries est donné par le planR muni des
symétries axiales suivantes : si A est un point du plan, s est la symétrie orthogonale parA
rapport à l’unique droite verticale passant parA. On obtient également un espace à symétries
en munissant le plan des symétries ponctuelles.
5Loos définit ensuite les espaces symétriques comme étant des espaces à symétries possédant
une propriété topologique supplémentaire : un espace à symétries est un espace symétrique si
et seulement si ses symétries s possèdent x comme point fixe isolé. Dans les deux exemplesx
précédents, il est clair que le plan muni des symétries ponctuelles est un espace symétrique
alors que le

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