Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Espaces vectoriels et applications linéaires : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 1 279
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire  

1

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES   Exercice 1 Dans 4 , on considère les vecteursv 1 =)  et1,1,1(1,v 2 =(2,1,0,3) , et l’ensemble : F=(x,y,z,t)∈ 4 /x−y+2z+t=0 etx−3y−8z−t=0 1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de 4 . 2) Montrer queF (admet une famille génératricev 3 ,v 4  Montrer que c’est une base) . du sous-espace vectorielF. 3)  (La famillev 1 ,v 2  libre ou liée ?) est-elle 4) Déterminer une équation du sous-espace vectorielG de 4  engendré par les vecteursv 1 etv 2 . 5)  (Montrer quev 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4  une base de) est 4 . Exercice 2 1 1 Dans l’espace vectoriel 2 () , on considère les matricesM 1 =      et  0 1   M 2 =    1 0− 0 1    , et l’ensemble : F=       a a − +a b b 2a+ +3b b    / (a,b)∈ 2     1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de 2 () . 2) Montrer queF admet ( une famille génératriceM 3 ,M 4  Montrer que c’est une) . base du sous-espace vectorielF. 3)  (La familleM 1 ,M 2  libre ou liée ?) est-elle 4) Déterminer le sous-espace vectorielGde 2 ( par les matrices) engendréM 1 etM 2 . 5) Montrer que (M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4  une base de) est 2 () .

Exercice 3 Dans l’espace vectoriel 3 [X on considère les polynômes] ,Q 1 (X)=X 3 +X+1 et Q 2 (X)=X 2 −X+1 , et l’ensembleF= {P∈ 3 [X] /P(1)=P(0)=0}. 1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de 3 [X] . 2) Déterminer la forme générale des polynômes appartenant àF. En déduire une famille génératrice (Q 3 ,Q 4 ) deF, puis une base deF. 3)  (La familleQ 1 ,Q 2 ) est-elle libre ou liée ? 4) Déterminer le sous-espace vectorielGde 3 [X] engendré par les polynômesQ 1 etQ 2 . 5) Montrer que (Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4  une base de) est 3 [X] .

Exercice 4 Dans l’espace vectoriel des suites réelles définies sur  , on considère l’ensembleF  des suites qui vérifient :∀n∈  u n+2 =3u n+1 −2u n . 1) Montrer queF .est un sous-espace vectoriel de 2) Déterminer l’expression du terme généralu n en fonction den,u 0 etu 1 . 3) Montrer queFadmet une famille génératrice  (v,w ) . 4)   ( Montrer que v,w  une base de) estF.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012