Free boundary problem of crack dynamics [Elektronische Ressource] : phase field modeling / vorgelegt von Clemens Gugenberger

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 11
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Free-Boundary Problem of Crack Dynamics:
Phase-Field Modeling
Von der Fakultat fur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Physiker
Clemens Gugenberger
aus Filderstadt-Plattenhardt
Berichter: Universitatsprofessor Dr. Heiner Muller-Krumbhaar
Universitatsprofessor Dr. Walter Selke
Tag der mun dlichen Pruf ung: 9. Dezember 2008
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfug bar.Abstract
This thesis describes the behavior of cracks and pores under the inuence of elastic and
curvature e ects. In a continuum theory approach, these structure deformations are
treated as free moving boundaries. Our investigation start with well established sharp
interface equations for which no fully dynamical solutions exist so far. The equations
include only linear dynamical elasticity, surface energy and non-equilibrium transport
theory. By proper use of the phase- eld concept, we are now able to tackle the fully
time-dependent free moving boundary problem to describe crack propagation in a fully
self-consistent way. We concentrate on two material transport processes, namely surface
di usion and phase transition dynamics.
We show analytically that the intuitive and widely used approach for constructing a
phase- eld model for surface di usion fails, since it does not reduce to the desired sharp
interface equations, providing an uncontrolled approximation to the dynamics. We then
develop two completely new models that ensure the correct asymptotic behavior and
support our analytical ndings by numerical simulations, which are are computationally
very demanding due to the high order equations that have to be solved.
We therefore derive another phase- eld model based on a phase transition process.
Incorporating elastodynamic e ects into the theory makes the simultaneous self-consistent
selection of a tip radius scale and the propagation velocity possible. Our simulations show
that it describes the complicated tip behavior and the elastic far- eld behavior correctly,
also allowing the numerical extraction of quantities like the stress intensity factor. Our
results agree with those found in the literature for the case of steadily propagating cracks
and extend them into the previously unaccessible parameter regime of large elastic driving
forces, Here, we are able to resolve a dynamical tip-splitting instability, in agreement with
experimental observations.
Structures that are subjected to external loading often contain many small cracks al-
ready, which can weaken the structure substantially, depending on the initial crack density.
We performed simulations of static inclusions and compared the results with the predic-
tions we obtained with analytic approximation schemes. The use of our scheme reveals
that the complicated three-dimensional behavior of the elastic modulus as a function of
the crack density for randomly oriented cracks reduces to a simple exponential decay and
exhibits the inability of the often used di erential homogenization method to predict per-
colation, i. e. breaking of the system. The parallel arrangement of slit-like cracks, where
percolation does not occur, is not easily accessible to the standard analytical techniques.
We could show by use of thin-plate theory, scaling arguments and numerical calculations
that for this geometrical setup, the relevant e ective elastic constant decays not exponen-
tially as for randomly oriented cracks, but as a power-law instead. Our method can thus
describe morphological surface instabilities, fast crack propagation and even the collective
behavior of multi-cracked materials with high quantitative precision.
iZusammenfassung
Diese Arbeit beschreibt das Verhalten von Rissen und Poren, die dem Einuss elastischer
und Krummungse ekte ausgesetzt sind. Diese Strukturdeformationen werden im Rahmen
einer Kontinuumstheorie als freie Randwertprobleme behandelt. Unsere Untersuchungen
basieren auf gut etablierten Gleichungen fur scharfe Grenzachen, fur die bisher keine
vollstandig dynamischen Losungen existieren. Diesen Gleichungen liegen ausschlie lich li-
neare dynamische Elastizitat stheorie, Ober ac henenergie-E ekte und Nichtgleichgewichts-
Transporttheorie zugrunde. Durch sorgfaltige Anwendung des Phasenfeld-Ansatzes sind
wir damit in der Lage, das vollstan dige zeitabhan gige freie Randwertproblem zu be-
handeln und Rissausbreitung auf selbstkonsistente Art und Weise zu beschreiben. Wir
konzentrieren uns dabei auf zwei Materialtransportprozesse, Ober achendi usion und
Phasenubergangsdynamik.
Wir zeigen analytisch, dass der intuitive und weit verbreitete Ansatz, ein Phasenfeld-
Modell fur Ober achendi usion zu entwickeln, fehlschl agt, da er nicht auf den verlangten
Grenzfall fur scharfe Grenz ac hen zuruckfuhrt und somit eine unkontrollierte Approxi-
mation an die Dynamik darstellt. Wir entwickeln zwei neue Modelle, die das korrekte
asymptotische Verhalten aufweisen und untermauern unsere analytischen Ergebnisse nu-
merisch, wobei die Simulationen wegen der hohen Ordnung der zu losenden Gleichungen
numerisch sehr aufwendig sind.
Deswegen leiten wir ein weiteres Phasenfeld-Modell her, das auf einem Phasenumwand-
lungsprozess basiert. Durch Berucksichtigung elastodynamischer E ekte ist die gleichzei-
tige selbskonsistente Selektion einer Skala des Rissspitzenradius und der Ausbreitungsge-
schwindigkeit moglich. Unsere Simulationen zeigen, dass das Modell das komplizierte
Verhalten der Rissspitze und der elastischen Fernfelder richtig beschreibt und es auch
ermoglicht, Gro en wie den Spannungsintensit atsfaktor numerisch zu bestimmen. Unsere
Ergebnisse stimmen fur den Fall mit konstanter Geschwindigkeit propagierender Risse
mit denen in der Literatur uberein und erweitern sie in den vorher unzuganglichen Bere-
ich gro er elastischer treibender Kr afte. Dort sind wir in der Lage, eine dynamische
Rissspitzen-Instabilitat aufzulosen, in Ubereinstimmung mit experimentellen Beobach-
tungen.
Strukturen, die externen Belastungen ausgesetzt sind, enthalten oft schon viele kleine
Risse, die diese Struktur abhangig von der Rissdichte erheblich schwachen konnen. Wir
simulieren statische Einschlusse und vergleichen die Ergebnisse mit Vorhersagen, die wir
aus analytischen Naherungsmethoden gewonnen haben. Unsere Methode zeigt, dass sich
das komplizierte dreidimensionale Verhalten des Elastizitat smodul als Funktion der Riss-
dichte zufallig orientierter Risse in zwei Dimensionen auf einen einfachen exponentiellen
Abfall reduziert. Dies belegt, dass die oft verwendete Methode der dierentiellen Ho-
mogenisierung Perkolation, also den Bruch des Systems, nicht vorhersagen kann. Fur die
analytisch schwer zugangliche parallele Rissanordnung, bei der Perkolation nicht auftritt,
kon nen wir unter Verwendung von Theorie dunner Platten, Skalenargumenten und nu-
merischer Rechnungen zeigen, dass die relevanten e ektiven elastischen Konstanten hier
nicht exponentiell, sondern algebraisch abfallen. Unsere Methode kann somit morph-
ologische Oberacheninstabilitaten, Rissausbreitung und das kollektive Verhalten von
Materialien, die viele Risse enthalten, mit hoher quantitativer Genauigkeit beschreiben.Contents
1. Overview 1
2. Introduction 5
2.1. Continuum Theory of Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Displacement Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2. Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4. Solving Elastic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5. Relation Between Strain and Stress: Hooke’s Law . . . . . . . . . 10
2.1.6. Plane Strain Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Continuum Fracture Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1. Modes of External Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. The Gri th-Criterion: Scaling Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3. Near-Tip Behavior: The Square Root Singularity . . . . . . . . . . 19
2.2.4. Dynamic E ects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Transport Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Asaro-Tiller-Grinfeld-Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1. Interface Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2. The Time Cusp Singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. The Phase-Field Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1. Constructing a Phase-Field Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Phase-Field Models for Surface Di usion 35
3.1. Phase-Field Modeling for Surface Di usion . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Sharp-Interface Model for Motion Induced by Curvature . . . . . . . . . . 36
3.3. Scalar-Mobility Phase-Field Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. The Traditional Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2. Local Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . .