Functional renormalization group studies of quantum transport through mesoscopic systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Severin Georg Jakobs

Severin Jakobs

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 13
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Functional renormalization group studies of
quantum transport through mesoscopic systems
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Dipl.-Phys. Severin Georg Jakobs
aus Regensburg
Berichter:
Universitätsprofessor Dr. Herbert Schoeller
Universitätsprofessor Dr. Volker Meden
Tag der mündlichen Prüfung: 22. Dezember 2009
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfügbar.Contents
Zusammenfassung vii
Summary ix
1 Introduction 1
1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Scope of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Outline of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Keldysh formalism 7
2.1 The system under consideration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Time evolution of expectation values . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 The time loop contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Wick’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 The stationary state limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Single-particle Green function and self-energy . . . . . . . . . . . . 20
2.4 The self-energy associated with the reservoirs . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 The hybridization function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 The wide band limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3 Example: tight binding chain as reservoir . . . . . . . . . . 26
2.4.4 Reservoir dressed propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Effective distribution operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Current leaving a reservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Green and vertex functions in Keldysh formalism 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Multiparticle Green and vertex functions . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 General properties of the Green and vertex functions . . . . . . . . 46
3.3.1 Permutation of particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Complex conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iiiiv Contents
3.3.3 Causality and analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Equilibrium properties of the Green and vertex functions . . . . . . 52
3.4.1 Kubo-Martin-Schwinger conditions . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Fluctuation dissipation theorem (FDT) . . . . . . . . . . . 56
3.4.3 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.4 Combining KMS conditions and time reversal . . . . . . . . 59
3.4.5 Systems with special behaviour under time reversal . . . . . 60
3.4.6 Generalized fluctuation dissipation theorem . . . . . . . . . 62
3.5 Conservation of the properties in diagrammatic approximations . . 67
3.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 The functional renormalization group 71
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 The flow equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Flow parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.1 Criteria for the choice of the flow parameter . . . . . . . . . 80
4.3.2 Real frequency cut-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.3 Imaginary frequency cut-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.4 Hybridization Γ as flow parameter . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Transport through quantum wires 105
5.1 Introduction to Luttinger Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.1 The concept of Luttinger Liquids . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.2 Luttinger Liquids with impurity. . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.3 Experimental investigations of Luttinger Liquids . . . . . . 109
5.2 Functional RG approach to Luttinger liquids . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Scope of our investigations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3.1 New exponents induced by temperature and voltage . . . . 113
5.3.2 Model for studying transport through quantum wires . . . . 114
5.4 Temperature induced phase averaging . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.1 Phase averaging and dephasing . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.2 Noninteracting wire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.3 Interacting wire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.4 Phase averaging for a wire with four barriers . . . . . . . . 128
5.5 Non-equilibrium effects in transport through a quantum wire . . . 128
5.5.1 Model and flow equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Contents v
5.5.2 Non-equilibrium induced power law exponents . . . . . . . . 131
5.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Frequency dependent fRG study of the SIAM 139
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 The Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 FRG in static approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 FRG with frequency dependent vertex function . . . . . . . . . . . 149
6.4.1 Ladder approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.2 Approximated mixing of the channels . . . . . . . . . . . . 153
p,x,d6.4.3 Identification of independent components of ϕ . . . . . 157Λ
6.4.4 Flow equation for the self-energy . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4.5 Flow equation for the two-particle vertex . . . . . . . . . . 163
p,x,d d6.4.6 How to determine U and W . . . . . . . . . . . . . . 166
Λ Λσ
6.4.7 Self-energy feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5 Results of the frequency dependent fRG . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 Conclusion 185
7.1 Development of the fRG in Keldysh formalism . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Transport through quantum wires and the Anderson impurity . . . 187
Bibliography 189
Prior publications 203
Acknowledgements 205Zusammenfassung
Fortschritte in der Fertigung von Mikrostrukturenermöglichenes, einzelne, gezielt
entworfene, mesoskopische Elemente von einer Größe im Nano- bis Mikrometer-
bereich zu kontaktieren. Die Eigenschaften solcher quasi null ode r eindimensio-
nalen Systeme werden von der Elektron-Elektron-Wechselwirkung empfindlich be-
einflußt. Dies äußert sich in theoretischen Untersuchungen häufig darin, daß eine
störungstheoretische Behandlung der Wechselwirkung zu Divergenzen führt. Er-
folgreich kann dann das Anwenden einer Renormierungsgruppen-Methode (RG)
sein, deren Grundgedanke es ist, die unterschiedlichen Energieskalen von hohen zu
niedrigen nacheinander zu berücksichtigen. In der funktionalen RG (fRG) wird ei
ne exakte, unendlicheHierarchievon Flußgleichungenfür Vielteilchen-Green-oder
Vertexfunktionen aufgestellt, die systematische Näherungen verschiedener Güte
erlaubt. Zahlreiche Studien haben die Leistungsfähigkeit der fRG bei der Unter-
suchung niederdimensionaler fermionischer Systeme demonstriert. Meist wird sie
im Rahmen des Matsubara-Formalismus angewandt, der Systeme im thermischen
Gleichgewicht beschreibt. Ein Kernthema dieser Arbeit ist es, die fRG innerhalb
desKeldysh-Formalismusumzusetzen,dereineneinheitlichenZugangzuGleichge-
wichtundNichtgleichgewichtbietet.DiesoentwickelteKeldysh-fRGwirdindieser
Arbeitverwendet,umdiestationärenTransporteigenschafteneinesQuantendrahts
mit mehreren Barrieren und die einer Anderson-Störstelle zu untersuchen.
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in den Keldysh-Formalismus und zu-
gehörige Konzepte. Anschließend wird die Struktur der Green- und Vertexfunk-
tionen im Keldysh-Formalismus untersucht. Dabei werden unter anderem Folgen
derKausalitätundCharakteristikadesthermischenGleichgewichtsbehandeltund
entsprechende Beziehungen für die Vielteilchen-Funktionen formuliert.
Dann wird die Umsetzung der fRG im Rahmen des Keldysh-Formalismus de-
tailliert vorgestellt. Dabei werden die Flußgleichungen für die Vertexfunktionen
über deren diagrammatische Entwicklung hergeleitet. Zwei besonders geeignete
Flußparameter werden herausgearbeitet: Einer davon schneidet die imaginären
Frequenzen ab, die als Pole der FermiFunktionen der Reservoire au ftreten. Der
andere besteht in einer künstlichen Vergrößerung der Hybridisierung der Reservoi
re; er hat einerseits den Vorteil, im Gleichgewicht das Fluktuations-Dissipations-
viiviii Zusammenfassung
Theorem auch in frequenzabhängigen Näherungen zu erhalten; andererseits ist
seine Handhabung stellenweise etwas mühsamer.
Eines der beiden Modelle, die in dieser Arbeit untersucht werden, ist eine tight-
binding-Kette mit Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn. Sie gehört im
Falle schwacher und mittlerer Wechselwirkungen zu den L