Physique Statistique

Eymerich

Description

Paris 7 Physique Statistique
PH 402
EXERCICES
–
Feuille 2 : Densit´es d’´etats d’une particule quantique
1 Densit´e d’´etats d’une partiqule “libre”
1. Calculer la densit´e ´energ´etique des ´etats stationnaires d’une partiqule “libre”, “non relativiste”, de
masse m, spin nul, dont les d´eplacements sont restreints `a un segment de longueur L. Comparer avec
la densit´e d’´etats ...

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Extrait

Paris 7 PH 402 –

PHYŝIQUe STaTIŝTIQUe EXERCICES Feuille2:Densite´sd’e´tatsd’uneparticulequantique

1 ILRb”eT´ŝIeNDaTeT’´edaeNU’dŝ“eLUQITR 1.aCcllure´e´energladensite´sestatite´deuqreai’usdatstnnioilrblu“etrqienapiviselatnonre”,“ed,”et massemiert`stnsnuaemgecelantmeonssestrntdelongueurips,epd´estlon,dulnnL. Comparer avec ladensit´ed’´etatsdansunesituationencoreplusartificielle:lapartiqulesede´placesurunedroite infinie,quasilibrementa`celapr`esquel’onimposea`safonctiond’onded’ˆetrep´eriodiqueavecla pe´riodeL. 2.emacpl´entsotsenniertsersenua`sttsde´etaemeplamˆuqelraiteldsodtnu´refda’cnesrietctaDnegularie d’aireS? .lovedeuqide`pipeeumete´obıˆusend”na´el´rallhepatanct´si’´edatetelsdrapauqitl“elerbiDneV? .sontmeomCapenqitrpstnuruonedulpiesseelrse´tnomid´fir´ec´edesultatsps? .lp)exemere´me,fn´eliel’hurl’umpoerarzagedsnosid(d’asecsledomatunanDanednvsuumole ordinairementquotidien(disons1litre),a`tempe´raturedesaison(estimerl’´energiemoyenneεde l’atome),estimerlenombred’´etatsstationnairesd’´energiecompriseentreεet 1,01ε. (Patrimoine −1−1 culturel de la physicienne standard : volume molaire d’un gaz parfait≈22 l,R≈8,K ,3 J mole 23−34 N A ≈6×10 ,h¯≈10 SI.)

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DeNŝITe´d’e´TaTŝd’UNeaRTIQULeReLaTIVIŝTe Onconsid`ereunepartiqule“libre”relativistedansuneboıˆtee´tanche.Dansun´etatpropredela quantite´demouvement~p, la fonction d’onde correspondant est encore de la forme exp(i~p∙~r/h¯) et 2 2 2 2 4 l’´energievautε=c p+m csnedalreluclaC.rnontalesivi.”etti“elamiefilre´ir.Envtatsd’´eit´e

PaRTIQULedeŝIN1/2eNR´eŝeNced’UNcHaMMagN´eTIQUe −→ Unepartiqulecharge´edespin1/2´evoluedansunchampmagn´etiqueBuniforme et constant, dans uneboıˆtee´tanche.L’´energied’une´tatstationnaireapourexpression 2 p ε=¨µB, 2m −→ selonquesonmomentmagne´tiqueestdansun´etatpropreparall`eleouantiparalle`lea`B. Calculer les densit´esd’e´tatscorrespondantesρ ± (εsiupedaltisnote´leta)ρ(ε).

DeNŝIT´ed’´eTaTŝ´eLecTRONIQUeŝdaNŝUNcRIŝTaL Une´lectronestmobiledansuncristal`aunedimensiondelongueurL, comportantN-satome´sqeiuid tants.Ladistanceentredeuxatomesconse´cutifsesta=L/N. Dans l’approximation dite des “liaisons fortes”—applicableaucaso`ulese´lectronsrestentfortementli´esauxnoyaux—,onmontrequela relationentrel’e´nergieetlenombred’ondedel’e´lectronestdonn´eepar

ε=Wcoska,

−π/a < k < π/a.

Les conditions aux limites imposent par ailleursk=n2π/L, ounest un entier surnaturel. Calculer ladensit´ed’´etatsρ(εorecspredaone.ntrbouacrlceratt,enortcele´’led)

5 ŝdeNeD´TIŝ´’deTaTeNaRTIQULeŝ Onconside`reunsyst`emedeNseefnee´mrplequtiarserbil“srapzag(”)etdfaitrnabisce)!s,el(sip,nnass dans une boˆıte de volumeV. −→ 1.reuqu’´nMnortionnaireetatstatractseeme`tsysudnvrupa´eisert´acruceetKenpsdu’a3ace`N −→ dimensions,de´finiparsescomposantesK= (k 1x , k 1y , . . . , k N z ). 2.rertnoMmoneleuqledu3dunoanriseodtnelombred’´etatsstatiN−vecteur d’onde est dans le domaine (K, K+ dK) est donn´e par · ¸ N V 3N−1 N(K,dK) =S 3N (1)KdK, 3 (2π)

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Paris7,Phy.Stat.2:densite´sd’e´tats.

o`uS 3N 3enunon´eitredereyaedalps`hstl’aire(1)eNdimensions. .dnEude´(ensdasteeinmadoleltnodserigrene´’tsst´etannaiatioeuelriqeer’donbmE, E+ dE) est donn´epar µ ¶  N  S 3N (1) 2m  N N−1 Ω(E,dE) =VEdE.  3N 2 2(2π) h¯

.egraint´esl’rentsaGsueleddedentlacualncEe´ffidsere`inamxu Z Z +∞+∞    −(x+x+∙∙∙+x) 1 n I n = dx 1 . . .dx n e , −∞ −∞ montrerquel’expressiondel’airedelasphe`rederayonunit´eenndimensions est n/2 π S n (1) = 2. Γ(n/2)

.Endude´lerineda´tis’´edatetsρ(Egezaapfria,tiasniquesonexpressioanpporhce´denalsecasec)d NÀ1.