Quantum gravity effects in rotating black hole spacetimes [Elektronische Ressource] / Erick Tuiran

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• Publié le: 01 janvier 2008
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Extrait

Quantum Gravity Effects in
Rotating Black Hole Spacetimes
Dissertation
zur Erlangung des Grades
“Doktor der Naturwissenschaften”
am Fachbereich Physik
der Johannes Gutenberg-Universit¨at
in Mainz
Erick Tuiran
geb. in Barrancabermeja (Kolumbien)
Mainz, den 24 Oktober, 2007Abstract
The aim of this work is to explore, within the framework of the presumably
asymptotically safe Quantum Einstein Gravity, quantum corrections to black hole
spacetimes, in particular in the case of rotating black holes. We have analysed
this problem by exploiting the scale dependent Newton’s constant implied by the
renormalization group equation for the effective average action, and introducing an
appropriate “cutoff identification” which relates the renormalization scale to the
geometry of the spacetime manifold. We used these two ingredients in order to
“renormalization group improve” the classical Kerr metric that describes the space-
time generated by a rotating black hole.
We have focused our investigation on four basic subjects of black hole physics.
The main results related to these topics can be summarized as follows. Concerning
the critical surfaces, i.e. horizons and static limit surfaces, the improvement leads
to a smooth deformation of the classical critical surfaces. Their number remains
unchanged. In relation to the Penrose process for energy extraction from black
holes, we have found that there exists a non-trivial correlation between regions of
negativeenergystatesinthephasespaceofrotatingtestparticlesandconfigurations
of critical surfaces of the black hole. As for the vacuum energy-momentum tensor
and the energy conditions we have shown that no model with “normal” matter, in
the sense of matter fulfilling the usual energy conditions, can simulate the quantum
fluctuationsdescribedbytheimprovedKerrspacetimethatwehavederived. Finally,
in the context of black hole thermodynamics, we have performed calculations of the
massandangularmomentumoftheimprovedKerrblackhole,applyingthestandard
Komar integrals. The results reflect the antiscreening character of the quantum
fluctuations of the gravitational field. Furthermore we calculated approximations to
theentropyandthetemperatureoftheimprovedKerrblackholetoleadingorderin
the angular momentum. More generally we have proven that the temperature can
no longer be proportional to the surface gravity if an entropy-like state function is
to exist.Zusammenfassung
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von Quanteneffekten in der
RaumzeitschwarzerL¨ocherimRahmendervermutlichasymptotischsicherenQuanten-
Einsteingravitation, wobei insbesondere rotierende schwarze L¨ocher betrachtet wer-
den. Grundlage der Untersuchungen ist die skalenabh¨angige Newton-Konstante,
die sich aus der Renormierungsgruppengleichung der effektiven Mittelwertwirkung
ergibt, sowie eine “Cutoff-Identifikation”, die die Renormierungsskala zur Geome-
trie der Raumzeitmannigfaltigkeit in Beziehung setzt. In diesem Rahmen wird eine
“Renormierungsgruppenverbesserung”derklassischenKerr-Metrikdurchgefu¨hrt,die
die Raum
zeit eines rotierenden schwarzen Loches beschreibt.
Die Untersuchungen konzentrieren sich auf vier zentrale Fragestellungen der
Physik schwarzer L¨ocher. Die jeweils wichtigsten Ergebnisse zu diesen Themen
k¨onnenfolgendermaßenzusammengefasstwerden. HinsichtlichderkritischenFl¨achen,
d.h. derHorizonteundstatischenGrenzfl¨achen,zeigtessich,daßdieQuanteneffekte
zwar zu einer Deformation der entschprechenden klassischen Fla¨chen fu¨hren, deren
Art und Anzahl aber unver¨andert bleibt. Im Zusammenhang mit dem Penrose-
Prozess zur Energieextraktion aus schwarzen L¨ochern wurde eine nichttriviale Ko-
rrelation zwischen den Parameterbereichen negativer Energie fu¨r rotierende Test-
teilchenunddenkritischenFl¨achengefunden. InBezugaufdenEnergieimpulstensor
des Vakuums und seiner Positivit¨atseigenschaften wurde gezeigt, daß es kein Modell
mit “normaler” Materie, d.h. solcher, die die u¨blichen Energiebedingungen erfu¨llt,
geben kann, dessen Materie die beru¨cksichtigten Quanteneffekte simuliert. Umfan-
greiche Untersuchungen besch¨aftigen sich mit der Thermodynamik dieser schwarzen
L¨ocher. Ihre Masse und ihr Drehimpuls wurden u¨ber die Komar-Integrale berech-
net; die Ergebnisse spiegeln den anti-abschirmenden Charakter der Quantenfluk-
tuationen der Metrik wider. Weiterhin wurden in fu¨hrender Ordnung bzgl. des
Drehimpulses Quantenkorrekturen zur Entropie und Temperatur schwarzer L¨ocher
berechnet. Es wurde allgemein gezeigt, daß wenn man die Existenz einer Entropie-
¨ahnlichen Zustandsfunktion fordert, nach der Renormierungsgruppenverbesserung
die Temperatur nicht mehr in der u¨blichen Weise durch die Oberfl¨achengravitation
gegeben sein kann.Contents
1 Introduction 9
1.1 Asymptotically Safe Quantum Einstein
Gravity: An Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Renormalization Group Improvement of Black Hole Spacetimes:
General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 The Running Newton Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 General Framework: Asymptotically Safe Quantum Einstein
Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 The Effective Average Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Einstein-HilbertTruncationandtheRunningNewtonConstant 16
1.4 Identification of the Infrared Cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 The Kerr Metric: An Exact Solution of Einstein’s Equation for
Rotating Black Holes 25
2.1 Critical Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Event Horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Static Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Extremal Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Inertial Frame Dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Inertial Frame Dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Energy Extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Area and Surface Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Smarr’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.3 The Zeroth Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
32.4.4 The First Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.5 The Second Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.6 The Third Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Structure of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 The Cutoff Identification 47
3.1 Radial Path for Schwarzschild and
Kerr Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 d(P) for the Schwarzschild Metric . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 d(P) for the Kerr Metric Restricted to the Equatorial Plane . 51
3.1.3 Corrections Outside the Equatorial Plane . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 The Asymptotic Regime r→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Reduced Circumference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Reduced Circumference for the Kerr Spacetime (Equatorial
Plane) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2 ReducedCircumferencefortheKerrSpacetime(MeridianPlane) 59
3.2.3 The Asymptotic Regime r→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 General Features of the Improved Kerr Metric 62
4.1 The Improved Kerr Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Killing Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Representing Conserved Quantities with
Killing Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Three Families of Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1 Zero Angular Momentum Observers (ZAMOs) and Dragging
Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2 Static Observers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.3 Stationary Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Critical Surfaces of the Improved Kerr Metric 74
5.1 General Equations for Improved Critical Surfaces . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Infinite Redshift Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 One Way Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 Dimensionless Variables and the Unified Equation for Critical
Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
45.2 Solutions for the Critical Surfaces and
Physical Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1 Critical Surfaces for the Approximation d(r) =r:
General Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
b5.2.2 Structural Stability of the Polynomials Q (r) andw¯
Status of the d(r) =r Approximation . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.3 The Radius of Critical Surfaces as a Functi