2006-STPI-cours-chap3

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6Universit´e de Nantes Licence STPI L1 Rem : il se peut que f admette un DL (x ) avec n> 2 sansn 0Module Math´ematiques 2 Ann´ee 2005/2006 ˆetre n-fois d´erivable en x . La fonction f d´efinie surR par0 3 1x sin si x = 0x(1/3)Chap III : D´eveloppements Limit´es f(x) =0 si x = 0admet un DL (0) sans ˆetre 2-fois d´erivable en 0.III.1-Les fonctions “ε(x)” 2D´ef 3.1 : Lorsque f est une fonction d´efinie sur un intervallecontenant 0 telle que limf(x) = 0, on ´ecrira f(x) = ε(x) et onx→0dira que f(x) est un “ε(x)”. III.3-Obtention des d´eveloppements limit´esTh´eo 3.8 : “IMPORTANT”Rem : 1) On ´ecrira f(x) = a + ε(x− x ) pour signifier que0Si f est continue sur un intervalle I de R et si f admet unlim f(x) = a.x→x0 DL (x ) de la forme :k n 02) On peut rencontrer la notation f(x) = o(x ) : on dira quek 2 n nf(x) est “un petit o de x ”. f(x +h) = a +a h+a h +···+a h +h ε(h)0 0 1 2 nOn a la correspondance suivante ε(x) = o(1) et plusk k et si F est une primitive de f alors F admet pour DL (x ) :n+1 0g´en´eralement x ε(x) = o(x ).2 3 n+1h h h n+1Prop 3.2 : Soient f et g des fonctions d´efinies sur un intervalle F(x +h) = F(x )+a h+a +a +···+a +h ε(h)0 0 0 1 2 n2 3 n+1ouvert I contenant 0. On a les propri´et´es suivantes1)SOMME:Sif(x)=ε(x)etg(x)=ε(x),alors(f+g)(x)=ε(x).Attention : on n’a pas le droit de d´eriver (sans pr´ecaution) un2) MULTIPLICATION PAR UNE CONSTANTE : Si λ∈R etd´eveloppement limit´e ... mais on a le r´esultat suivantf(x) = ε(x), alors (λf)(x) ...

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Universit´edeNantesLicenceSTPIL1 Rem :il se peut quefadmette unDL n (x 0 ) avecn>2 sans ModuleMath´ematiques2Anne´e2005/2006 ˆetrenf-iodse´iravlbneex 0 . La fonctionfe´deinfirusRpar   3 1 xsin six6= 0 x ChapIII:D´eveloppementsLimite´s (1/3) f(x) = 0 six= 0 III.1-Les fonctions “ε(x)” admet unDL 2 ne.0´dsiof-2elbavire)s(0reetsˆan De´f3.1:Lorsquefonctiondestunefinurretnnfie´useillvae contenant 0 telle quelimf(xacriron´e)=0,f(x) =ε(x) et on x→0 dira quef(x) est un “ε(x)”. III.3-eveloppeiondesd´bOettne´tistnemmils Rem :)O1ecn´rarif(x) =a+ε(x−x 0 ) pour signifier que ORMPNTTA3.eo“I8:´hT” limf(x) =a . Sifest continue sur un intervalleIdeRet sifadmet un x→x 0 DL(x) de la forme : k n0 2) On peut rencontrer la notationf(x) =o(x) : on dira que k f(x) est “un petit o dex”. 2n n f(x 0 +h) =a 0 +a 1 h+a 2 h+∙ ∙ ∙+a n h+h ε(h) On a la correspondance suivanteε(x) =o(1) et plus k k et siFest une primitive defalorsFadmet pourDL n+1 (x 0 ) : ge´ne´ralementx ε(x) =o(x). 2 3n+1 h hh n +1 Prop 3.2 :Soientfetgctonsfdelleervanintusurinse´dfieoisn F(x 0 +h) =F(x 0 )+a 0 h+a 1 +a 2 +∙ ∙ ∙+a n +h ε(h) 2 3n+1 ouvertIesntvauintenco.Onaant0orrpelpse´ss´ite 1) SOMME : Sif(x) =ε(x) etg(x) =ε(x), alors (f+g)(x) =ε(x). Attention :drletdoin’onasap(rassnrpdee´irevn)un´ecautio 2) MULTIPLICATION PAR UNE CONSTANTE : Siλ∈Ret d´eveloppementlimit´e...maisonaler´esultatsuivant f(x) =ε(x), alors (λf)(x) =ε(x). n0 ´ 3) MULTIPLICATION PAR UNE FONCTION BORNEE : Si Prop 3.9 :Sifest de classeCau voisinage de 0, alorsf f(x) =ε(x) etgsrol(´nroa,eeonctionbestuneff g)(x) =ε(x ). admetunDL n−1 (0). En particulier, si leDL n (0) defs’´ecrit: n0 4) COMPOSITION : Sif(x) =ε(x) etg(x) =ε(x), alors f(x) =P(x) +x ε(x), alors leDL n−1 (0) defest de la forme : 0 0n−1 (g ◦ f)(x) =ε(x). f(x) =P(x) +x ε(x). n Rappel :fest dite de classeCsur un intervalleIsifest III.2-´eiGtsrelae´´n (n) nablesursi´drevi-ofIetfest continue surI. D´ef3.3:Soitn∈N. On dit quef:I→R m p u p o m r e d n e e l l e t 3 m . i o t p i : e F ´ 10 ad r m P etund´evelo poorylTaolspleursemoˆny. a`l’ordrenen0 (unDL n eustxile’i)s0)(emnyoˆpnloPa` tioSPˆomeolyneffici`aco´reenestededslte´egrf´inieerouurpnu coefficientsr´eelstelque e´gala`n. Alors pour toutaetxo,anr´eels n (?)deg(P)6net∀x∈I, f(x) =P(x) +x ε(x). n (k) X P(a) k P(x) =(x−a) On dit queg:J→Rulnidmi´te´vee`loppaedmmeentta k! k=0 (n) l’ordrenenx 0 (unDL n (x 0 ils’isex))moˆnenuetylopQa` 0 P(a) n =P(a) +P(a)(x−a) +∙ ∙ ∙+ (x−a) n! coefficientsre´elstelque n (??)deg(Q)6net∀x∈J, g(x) =Q(x−x 0 )+(x−x 0 )ε(x−x 0 ). Rem :snetmrenaunci,o1)Iupe´emeredietitnqurisae“alntebg´ reste”(biensˆur,c¸avautsil’onaprissoindel’´ecrirea`unordre Rem :1E)pnartique,onseram`enerpeeuqstsysame´qutienemt aumoins´egalaudegr´edupolynoˆmeconsid´er´e). au voisinage de 0 en posantx−a=uet en cherchant unDL n Si on veut le (0) 2) DL k (a) dePaveck < deg(P), on aura un k def(x) =g(a+u). terme reste (x−a)ε(x−a) : 2)Onr´e´ecritparfoisl’e´galite´de(??) sous la forme k X (q) P(a) q k n P(x() =x−a) +(x−a)ε(x−a) f(x 0 +h) =Q(h) +h ε(h). q! q=0 Prop/De´f3.4:Sifadmet unDL n ecsrola,)0(ntpemeelopd´ev Theo 3.11 : Formule de Taylor-Young. limite´estUNIQUE. n Sifest de classeCsurIetx 0 ∈I, alorsfadmet unDL n (x 0 ) L’uniquepolynoˆmeP´evfiari(nt?paep´lest)ela partie donn´epar: r´eguli`ereduDL n (0) def. n X (k) f(x 0 ) k n Prop 3.5 :TRONCATURE f(x 0 +h) =h+h ε(h) k! Sifadmet unDL n gulier´e`ere()0raitd,peP, alors pour tout k=0 00(n) f(x) 0 0 )f(x 0 n n k∈N, 06k6n,fadmet unDL k ertiaraptlon)d(0ere`iluge´ 2 =f(x 0 )+f(x 0 )h+h+∙ ∙ ∙+h+h ε(h) 2n! est obtenue en tronquantPuaedrge´ktdansanneenenpr,.ca`d. Psemrededleuqetseni´frge´ruuoreeil`a´egak. ` Rem :1) CetteFormuleest TRES IMPORTANTE, elle permet Prop 3.6 :Soitfune fonction admettant unDL n (0) de partie x d’obtenir “facilement” lesDL n (0) des fonctions usuelles :e, r´eguli`ereP. 1 α cos(x), sin(x), sh(x+), ,ou encore (1x) (voirles formules 1+x Sifest une fonction paire (resp. impaire), alors la partie `alafindeceChapitre). r´egulie`rePest PAIRE (resp. IMPAIRE). 2)Onre´e´critparfoiscetteformulecommesuit Prop 3.7 :1)fadmet unDL 0 (x 0 ) si et seulement sifest n X k (b−a) continue enx 0 . (k)n f(b) =f(a) +o((b−a) ) On a alorsf(x) =f(x 0 ) +ε(x−x 0 ). k! k=0 2)fadmet unDL 1 (x 0 ) si et seulement sif´dreetselnevibax 0 . 0 On a alorsf(x) =f(x 0 ) +f(x 0 )(x−x 0 ) + (x−x 0 )ε(x−x 0 des points). pouraetbdeI. (Ici,b=x 0 +heta=x 0 ).

III.4-´eraItIionIOpseriatneme´le´s.5.C-Branche infinie et position deG f par rapport a`cesasymptotes Prop 3.12 :Soientn>1,fetgdeux fonctions qui admettent desDL n pectives0)(padeierte´rsilugere`sersPetQ. Alorsasysioetetspmot3.efD´dres:l16 1) (f+g) admet unDL n do0)((rtpalantluge´reitseere`iP+QSoit). 1)f:]a;b[→R, on dit queG f a une asymptote verticale 2) siλ∈R, (λf) admet unDL n tdreesli`ee´ugitrep0a(rda)noltoneq’´tiuax=asi limf(x) =±∞. + x→a (λP). 2) Soitf: [0;+∞[→R, on dit que la droitey=ax+best 3) (f g) admet unDL n ueseottbneugile`er´eertiaraptlon)d0( asymptote au grapheG f (si limf(x)−ax−b) = 0. en tronquant le produitP Qeduae´rgn. x→+∞ Lorsquea= 0, on a une asymptote horizontale. Prop 3.13 :Sifadmet unDL n (x 0 ) etgadmet unDL n (f(x 0 )), ? Sia∈Retb∈R, on parle d’une asymptote oblique. alorsg ◦ fnueeds`ospDL n (x 0 ). Rem :1) On peut aussi parler de droite asymptote au graphe 1 Cor 3.14 :Sifadmet unDL n (0) etf(0)6admet= 0, alors f d’une fonction en−∞. f(x) unDL n tilieutu)Onp2poepvelese´deslr .)(0 ´eitesdntmeimslruop x de´terminerl’´equationdeladroiteasymptoteetsapositionpar Deux cas applications importantes de la Prop 3.13 : rapport`aG f lueitrcilare,rnoltat´esuant:suivpaEn. 1)De´terminerleDL n (0) des fonctions de la formex7→g(λx). Avecf(x) =λxpourλ∈R, sigadmet pourDL n (0),g(x) = Prop 3.17Sif+ep`ssoe,edvoauinisedag∞,el´dvelepoepment n P k n suivant a k x+x ε(x), alorsg ◦ fadmet pourDL n (0) k=0   c1 1 f(x) =ax+b+ k + k ε x x x n X k kn ? g ◦ f(x) =g(λx) =λ a k x+x ε(x) aveck∈Netc6= 0, alors i) la droiteDnoitauqe´’dy=ax+bptote`aestasymG f au k=0 p voisinage de +∞. 2)De´terminerleDL n (0) des fonctions de la formex7→g(x). p ii) De plus, au voisinage de +∞, on aura ? Avecf(x) =xpourp∈N, sigadmet pourDL n (0),g(x) = n P k n G f est au dessus deDsic >0 a k x+x ε(x), alorsg ◦ fadmet pourDL np (0) k=0 G f est en dessous deDsic <0. n X p kpnp g ◦ f(x) =g(x) =a k x+x ε(x) k=0 III.6-cuveAuspleunpedrpe´icisno D´ef3.18:Lorsquefsuieniruerntllvafeenutcnodnoinfie´est f(x) contenant 0 telle que le quotient k nadresteborn´equxtend x k vers0,on´ecriraf(x) =O(x) et on dira quef(x) est “un grand k III.5-tnemmilsleveeppo´eitsAacitppilse´dnods o dex”. III.5.A-see´nalCmitiseeducsledlsd´etermiformesin k k Rem :Sif(x) =o(x), alorsf(x) =O(x´earprci.M)slaiqoeu III.5.B-Position deG f tsnaedesuaenro`tppraarpesgent n’est pas vraie. Theo 3.15 :Soitfune fonction admettant unDL n (a) avec Theo3.19:FormuledeTayloravecResteInt´egral. n>2 de la forme n+1 Soientn∈Netfune fonction de classeCsur un intervalle n n ouvertIdeR. f(x) =f(a) +c 1 (x−a) +c n (x−a() +x−a)ε(x−a) Pour touta∈Ietb∈I, on a (2) avecc n 6= 0. f(a) 02 f(b) =f(a) +f(a)(b−a() +b−a) +∙ ∙ ∙ AlorsG f admet au point (a, f(a)) une tangenteT a d´’qeaution 2! Z (n) b n (b−x) y=f(a) +c 1 (x−a). f(a) n(n+1) + (b−a) +f(x)dx •Sinsee´´tpoirdeespruxrsloalonAPtsa,RIe n! a n! Sic >0, alors au voisinage du point (a, f(a)) le grapheG f est au-dessus deT a . Rem :yhophte`Suolssesultatprsesdur´eno,tarua´ce´nede Sic <0, alors au voisinage du point (a, f(a)) le grapheG f est l’in´egalit´e en dessous deT a . n •Sinest IMPAIR, alors au voisinage du point (a, f(a)),G f tra- X k n+1 (b−a) (b−a) (k) (n+1) f(b)−f(a)6supf(x) verse sa tangente. On dit que (a, f(a)) est unpoint d inflexion.   k!  (n+ 1)! x∈[a;b] k=0 Rem :e`emrticEnpa1)elsupyhseiluos,rthduor´eh`oteses ci-dessus, sinIR,onaalestIMPA upsi.311-u’avfineqTheoeclea s m e its e´ e ´ e t nsulpnoit esdeorslo c p u r o i n u a x d p O r n n+1 Sic n >0, alors au voisinage du point (a, f(a)), le grapheG f cioiq’uaretseetsedacnpe´rainsuet e q s t t eleerrm±C(b−a) . au-dessus deT a pourx > a, et en dessous deT a pourx < a cscesa . o,vn´aceirDearn Sic n <0, alors au voisinage du point (a, f(a)), le grapheG f est n k X   (b−a) en dessous deT a pourx > a, et au-dessus deT a pourx < a. (k)n+1 f(b) =f(a) +O(b−a) 2)Sousleshypothe`sesduthe´or`emeci-dessus,sinest PAIR et k! k=0 c 1 = 0, alors on dit quefadmet un extremum local ena. Pluspr´ecis´ement:

sic n >0, on dit quefadmet un minimum local ena sic n <0, on dit quefadmet un maximum local ena.

Licence STPI L1 ModuleMathe´matiques2

Anne´e2005/2006 Chap III(2/3)